Лекция 2. Множества точек расширенной комплексной плоскости

Кроме представления о комплексных числах как о точках плоскости или как о радиус-векторах во многих задачах полезен другой способ их геометрического представления.

Рассмотрим сферу S, касающуюся комплексной плоскости в точке (рис. 15). Точку назовём южным полюсом сферы S. Обозначим через N точку сферы диаметрально противоположную точке O и назовём её северным полюсом. Северный полюс N соединим прямыми со всевозможными точками плоскости. Каждой точке z комплексной плоскости при этом соответствует вполне определённая точка Z сферы – та, в которой прямая Nz пересекает сферу. И наоборот, каждой точке Z сферы (кроме точки N) соответствует вполне определённая точка z плоскости – та, в которой прямая Nz пересекает плоскость.

Таким образом, между точками сферы (без точки N) и точками плоскости установлено взаимно однозначное соответствие. Точку Z назовём сферическим изображением точки z.

Т очке сферы сопоставим новое комплексное число . Комплексное «число» с геометрической точки зрения выполняет ту же функцию, что и другие комплексные числа, – указывает положение соответствующей точки на сфере. Однако, это новое «число» не может участвовать в арифметических операциях, так как последние определены только для комплексных чисел (точек сферы), соответствующих точкам плоскости. Отметим, что для комплексного числа понятия arg z, Re z, Im z не определены, но модуль числа равен .

В отличие от точки (число ), которую назовём бесконечно удалённой точкой или бесконечностью, все остальные точки сферы (остальные комплексные числа), будем называть конечными.

Комплексная плоскость с присоединённой бесконечно удалённой точкой называется расширенной комплексной плоскостью в отличие от конечной комплексной плоскости.

Тогда между полной сферой и расширенной комплексной плоскостью устанавливается взаимно однозначное соответствие, которое называется стереографической проекцией комплексной плоскости на сферу S. Сфера S называется сферой Римана.

В дальнейшем придётся иметь дело с различными множествами на расширенной комплексной плоскости, и, во избежание недоразумений, определим смысл терминов, которыми будем пользоваться.

Определение 4.3.1. Окрестностью точки называется множество точек z, удовлетворяющих условию .

Условие определяет на комплексной плоскости круг с центром в точке и радиуса без ограничивающей его окружности (рис. 16). Действительно, рассмотрим два комплексных числа , и найдём модуль разности этих чисел

.

Приравняем полученное выражение к и возведём обе части в квадрат .

Как видим, полученное уравнение определяет на плоскости окружность с центром в точке и радиусом .

Множество точек z, удовлетворяющих условию называется проколотой окрестностью точки (круг с выброшенным центром) (рис. 17).

О пределение 4.3.2. Окрестностью бесконечно удалённой точки называется множество точек , удовлетворяющих условию (внешность круга с центром в точке радиуса ).

Точка называется внутренней точкой множества , если она принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Точка называется внешней точкой множества , если можно указать окрестность этой точки, в которой нет точек множества . Точка называется граничной точкой множества , если в любой окрестности этой точки найдутся точки как принадлежащие, так и не принадлежащие множеству .

С овокупность всех граничных точек множества называется его границей. На рис. 18 изображены внутренняя , внешняя и граничная точки множества .

Множество точек плоскости называется открытым, если все его точки внутренние.

Определение 4.3.3. Открытое множество называется связным, если его нельзя разбить на два открытых множества, не имеющих общих точек.

Определение 4.3.4. Замкнутое множество называется связным, если его нельзя разбить на два замкнутых множества, не имеющих общих точек.

Связное открытое множество называется областью. Область расширенной комплексной плоскости называется -связной областью, если её граница состоит из связных замкнутых множеств. Отметим, что любую -связную область можно представить как односвязную область, в которой прорезано дырок.

Приведём несколько примеров.

М ножество – кольцо между концентрическими окружностями радиусов r и R с центром в начале координат – связное множество (рис. 19). Множество не является связным, так как состоит из двух кругов (открытых множеств), не имеющих общих точек (рис. 20). Примерами областей являются внешность круга , кольцо , внутренность многоугольника и др. Замкнутый круг не является областью, так как не выполняется условие открытости.

Область , к которой присоединена её граница , называется замкнутой областью и обозначается , т.е. .

Пусть граница области состоит из конечного числа линий (замкнутых или нет) и точек. Тогда число связных множеств, на которые разбивается граница области, называется порядком связности этой области. В частности, если граница области связна (состоит из одного связного множества), то эта область называется односвязной. Односвязная область обладает следующим свойством: какую бы замкнутую непрерывную линию мы ни провели в этой области, множество, ограниченное этой линией, также принадлежит данной области.

Н апример, круг – односвязная область; кольцо – двусвязная область, так как граница кольца состоит из двух окружностей и (рис. 21). Область G, изображённая на рис. 22, – четырёхсвязная, так как граница этой области состоит из четырёх отдельных частей: 1) и , 2) , 3) , 4) .

О пределение 4.3.10. Множество называется ограниченным, если существует круг конечного радиуса такой, что .

Например, множество точек , удовлетворяющих условию является неограниченным множеством, так как граница множества состоит из прямых Re z = 0, Im z = 1, Im z = 2 (рис. 23).