Лекция 7. Интегральная формула Коши

Теорема 4.13.1. Если функция аналитична в замкнутой односвязной области , и – внутренняя точка области , то

, (4.11)

где обход контура производится в положительном направлении.

Равенство (4.13) называется интегральной формулой Коши.

Д оказательство. ▶ Подынтегральная функция аналитична всюду в области за исключением точки . Опишем произвольную окружность с центром в точке радиуса (рис. 37). Функция является аналитической в полученной двусвязной области и на её границе . Согласно теореме Коши 4.12.6 для двусвязной области

. (4.12)

Преобразуем правую часть равенства (4.12) к виду:

Поскольку функция f(z) аналитична в точке , она непрерывна в этой точке. Поэтому для любого  > 0 найдётся число () > 0 такое, что для всех z  _ выполняется неравенство f(z)  f(z₀) < , если только радиус  < . Тогда в первом слагаемом подынтегральная функция ограничена

.

Применим свойство 5 об оценке интеграла (§ 11). Обозначив через l длину окружности _, найдём

.

В силу произвольности  имеем . Возвращаясь к равенству (4.12), запишем

,

откуда . Теорема доказана. ■

Таким образом, интегральная формула Коши позволяет находить значение аналитической функции в любой точке области, зная значение функции только на границе области. Кроме того, если точка лежит вне контура C, то функция аналитическая всюду в , и по теореме Коши 4.12.1 для односвязной области . Формула Коши справедлива и в том случае, если аналитична лишь внутри области D и непрерывна на контуре C.

Интегральная формула Коши позволяет выразить значение аналитической функции во внутренней точке односвязной области D через интеграл по контуру C, ограничивающему область D, в виде

.

Однако этот интеграл имеет смысл и в том случае, когда задана произвольная кривая (не обязательно замкнутая) и на ней – произвольная непрерывная функция

.

Интеграл в этом случае называется интегралом типа Коши.

Теорема 4.13.2. Функция , определённая интегралом типа Коши, является аналитической в каждой точке плоскости, не лежащей на кривой . Она обладает в таких точках производными всех порядков, причём

.

Доказательство. ▶ Докажем сначала, что в любой точке , не лежащей на кривой , существует

.

Для этого оценим разность между значением интеграла и разностным отношением

.

Обозначим через минимум расстояний между и точками кривой и будем считать, что . Тогда для всех на имеем ,

и , .

Обозначим также через наибольшее значение модуля функции на кривой . Такое значение существует, так как функция непрерывна на , следовательно, ограничена. Теперь по свойству 5 интеграла получаем

,

где – длина линии .

Правая часть стремится к нулю вместе с , поэтому существует предел

.

Точно таким же образом можно доказать, что существует

и, вообще, производные всех порядков существуют и определяются формулой

. ■

Следствие 4.13.3. Если функция аналитична в замкнутой области , то внутри этой области обладает производными всех порядков, причём эти производные находятся по формулам:

, , n = 1, 2, 3,…

Из теоремы 4.13.2 и её следствия получаем, что все производные аналитической функции также являются аналитическими функциями (так как они, в свою очередь, дифференцируемы). Другими словами, из существования в некоторой области первой производной функции комплексного переменного следует существование всех её производных.

Пример 4.13.1. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция является аналитической в круге , за исключением точек и . Опишем около точек и окружности ₁ и ₂ таких радиусов, чтобы они не пересекались и целиком лежали внутри круга (рис. 38).

П о теореме Коши 4.12.6 для многосвязной области имеем

.

Преобразуем подынтегральную функцию так, чтобы в числителе дроби оказалась функция  – аналитическая внутри контуров соответственно ₁ и ₂, а в знаменателе – разность ( ), где точка лежит внутри указанных контуров. Получаем

.

К каждому из интегралов применим формулу Коши:

,

.

Окончательно получим

.

Пример 4.13.2. Вычислить .

Решение. В круге подынтегральная функция аналитична всюду, кроме точки . Здесь нужно применить формулу вычисления производной аналитической функции:

,

отсюда , где – функция аналитическая внутри контура C и на C, точка лежит внутри C.

В нашем примере и . Получаем

.