Экзамен 2021 / Панков Практикум по АСП 21.05

3.72 Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий(t) 0.5 t . Найти вероятность того, что на участке времени от t0 0.5 до t0 1.5 появится меньше трех событий.

3.73По шоссе в одном направлении движутся 2 простейших потока автомобилей с интенсивностями 2,5 и 3,5 машины в минуту соответственно. Найти вероятность того, что за время t=5 минут: а) не проедет ни одного автомобиля, б) проедет ровно 6 автомобилей, в) менее 4 автомобилей, г) четное число автомобилей.

3.74В результате статистической обработки промежутков времени T между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и

нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Написать плотность распределения интервала времени между соседними событиями в данном потоке.

3.75 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов. Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.

4

S1 S2

2

5 2

2

S3 S4

1

3.76Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,002 отказа в час. Найти вероятность того, что а) за 200 часов работы наступит более 2 отказов, б) за 100 часов не будет ни одного отказа, в) за 100 часов будет нечетное число отказов.

3.77Производится детерминированное прореживание простейшего потока с

интенсивностью на четыре потока: если номер события имеет вид 4k l,

l 1,4, k 0,1,2,..., то это событие направляется соответственно в канал с номером l. Какое распределение и мат.ож. имеют промежутки между событиями в каждом из новых потоков?

3.78На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 9 вызовов в две минуты.

3.79Найти вероятность того, что за 3 минуты а) не придет ни одного вызова, б) придет хотя бы 1 вызов. Найти наиболее вероятное число вызовов за 5 мин.

3.80Пассажир выходит на остановку автобуса в некоторый момент времени, никак не связанный с расписанием движения. Автобусы следуют друг за другом случайно с интервалом времени, распределенным по показательному закону с параметром длины l 4 (мин). Найти плотность распределения

41

времени T , которое придется пассажиру ждать автобуса и выразить его характеристики mt , t через интенсивность потока автобусов .

3.81 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов. Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.

4

S1 S2

2

S3 S4

2

3.82 Даны три простейших потока событий с интенсивностями 1 0.15 и2 0.25 и 3 0.2 соб/мин. Найти вероятность того, что за 5 минут: а) поступит не более 2-х требований объединенного потока, б) не поступит ни одного требования объединенного потока, в) Найти наиболее вероятное число требований за 10 минут.

3.83 2. Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий (t) 2 2t . Найти вероятность того, что на участке времени от t0 1 до t0 2 появится меньше трех событий.

3.84На АТС поступает два простейших потока вызовов с интенсивностями 10 и 5 вызовов в минуту. Для объединенного потока найти вероятность того, что за 3 минуты а) не придет ни одного вызова, б) придет хотя бы 1 вызов, в) придет четное число вызовов.

3.85Пассажир выходит на остановку автобуса в момент времени никак не связанный с расписанием. Поток автобусов представляет собой поток Эрланга 3-го порядка с параметром 0,6 (авт/час). Найти плотность распределения

того интервала T* между автобусами, на который попал пассажир, его математическое ожидание и дисперсию.

3.86На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 15 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за 5 минут а) придет 3 вызова, б) придет хотя бы 2 вызова. Найти наиболее вероятное число вызовов за полминуты.

3.87Производится случайное прореживание простейшего потока событий с интенсивностью 12 соб/мин, причем сохраняется, только каждое четвертое событие. Каким будет поток, получающийся в результате такого прореживания. Найти его интенсивность, плотность распределения, математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение интервала времени между соседними событиями в потоке.

3.88Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов системы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Все потоки событий

42

простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.

1

S1 S2

S3 S4

4

3.89По шоссе в одном направлении движутся 3 простейших потока автомобилей с интенсивностями 2.5, 3, и 3.5 автомобилей в минуту. Найти вероятность того, что для объединенного потока за 5 минут: а) проедет не более 3-х автомобилей, б) не проедет ни одного автомобиля, в) проедет нечетное число автомобилей.

3.90В результате статистической обработки промежутков времени T между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и

нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Написать плотность распределения интервала времени между соседними событиями в данном потоке.

3.91 Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и найти предельные вероятности состояний для системы S, описываемой марковским процессом с непрерывным временем, граф состояний которой изображен ниже (вдоль стрелок указаны интенсивности перехода):

2 S0 4

3

S1 S2

1

1S3 2

3.92В аэропорт прибывает пуассоновский поток самолетов, в среднем 7 самолетов за 10 минут. Найти вероятность того, что 1) за 30 минут прибудет не менее 4-х самолетов; 2) за 1 минуту прибудет не более одного самолета, 3) за 10 минут прибудет не менее двух самолетов.

3.93Производится случайное прореживание простейшего потока событий с интенсивностью 10 соб/мин, причем сохраняется, только каждое k-ое событие. Каким будет поток, получающийся в результате такого прореживания. Найти его интенсивность, плотность распределения и математическое ожидание интервала времени между соседними событиями в потоке. k=2. Найти вероятность того, что за 1 минуту не поступит ни одного события в образованном потоке.

43

3.94В СМО поступает в среднем 70 заявок в час. Найти вероятность того, что за время t 10 минут в СМО поступит: а) ровно k 3 заявок, б) менее 3 заявок, в) более 2 заявок.

3.95Производится случайное прореживание простейшего потока событий с интенсивностью , причем сохраняется только каждое третье событие. Каким будет поток, получающийся в результате такого прореживания. Найти его интенсивность, математическое ожидание и вероятность того, что за 2 минуты не поступит ни одного события в образованном потоке.

3.96Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов. Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.

3.97 По шоссе движется два простейших потока автомобилей с интенсивностями 0,7 и 0,9 авт/сек. Найти наиболее вероятное число автомобилей объединенного потока за одну секунду. Какова вероятность того, что за две секунды проедет 1) четыре автомобиля, 2) более двух автомобилей объединенного потока?

3.98 2. Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий (t) 3t 2. Найти вероятность того, что на участке времени от t0 5 до t0 7 появится больше трех событий.

3.99 В аэропорт прибывает три простейших пуассоновских потока самолетов в среднем с интенсивностями 1, 2 и 2.5 самолет/час. Найти наиболее вероятное число самолетов объединенного потока за один час. Какова вероятность того, что за 2 часа прибудет десять самолетов объединенного потока?

3.100 Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий(t) 1 2t. Найти вероятность того, что на участке времени от 0 до 10 мин. появится не менее двух событий.

3.101 Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,003 отказа в час. Найти вероятность того, что а) за 300 часов работы не наступит ни одного отказа отказов, б) за 100 часов работы наступит ровно три отказа; в) за 200 часов придет четное число отказов.

3.102 Производится детерминированное прореживание простейшего потока с интенсивностью 5 на три потока: если номер события имеет вид 3k l, l 1,2,3, k 0,1,2,..., то это событие направляется соответственно в канал с

44

номером l. Какое распределение и мат.ож. имеют промежутки между событиями в каждом из новых потоков?

3.103 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов. Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.

3.104 Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,001 отказа в час. Найти вероятность того, что а) за 100 часов работы наступит более 4 отказов, б) за 200 часов придет четное число отказов. Найти наиболее вероятное число отказов за 200 часов.

3.105 В результате статистической обработки промежутков времени T между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и дисперсии величины T : mt 0.2 (мин), Dt 0,24 (мин2). Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Написать плотность распределения интервала времени между соседними событиями в данном потоке.

3.106 Поток вызовов, поступающих на АТС – простейший пуассоновский поток. Математическое ожидание числа вызовов, поступающих за 2 секунды, равно 7. Найти вероятность того, что 1) за 1 секунду поступит ровно 6 вызовов; 2) за 1 секунду не поступит ни одного вызова. Найти наиболее вероятное число вызовов, поступающих за 3 секунды.

3.107 Пассажир выходит на остановку автобуса в момент времени никак не связанный с расписанием. Поток автобусов представляет собой поток Эрланга k-го порядка с параметром . Написать плотность распределения того интервала T* между автобусами, на который попадет пассажир. Найти его математическое ожидание и дисперсию. k 4, 4 авт/час.

3.108 Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний системы Sи найти предельные вероятности состояний системы, описываемой марковским процессом с непрерывным временем, граф состояний которой изображен ниже (вдоль стрелок указаны интенсивности перехода):

45

3.109 Даны три простейших пуассоновских потока с интенсивностями 1, 2 и 3 соб/мин. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) поступит не более 2-х требований объединенного потока, б) поступит больше одного требования объединенного потока. Найти наиболее вероятное число поступающих событий за одну минуту.

3.110 Производится случайное прореживание простейшего потока событий с интенсивностью 5 соб/мин, причем сохраняется только каждое четвертое событие. Каким будет поток, получающийся в результате такого просеивания. Найти его интенсивность, а также плотность распределения интервала времени между соседними событиями в потоке. Найти вероятность того, что за 2 минуты не поступит ни одного события в образованном потоке.

3.111 Даны три простейших пуассоновских потока с интенсивностями 1.5, 1 и 2 требований/мин. Найти вероятность того, что за 3 минуты: а) поступит не более 3-х требований объединенного потока, б) не поступит требований. Найти наиболее вероятное число поступающих требований за одну минуту.

3.112 В результате статистической обработки промежутков времени T между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и

дисперсии величины T : t 1.8 (мин), Dt 0,27. Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Написать плотность распределения величины T .

3.113 Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов системы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.

46

Раздел № 4 Элементы теории массового обслуживания.

4.1 Определить класс системы массового обслуживания по следующим основаниям: а) по характеру поступления заявок на обслуживание; б) по характеру поведения заявки в системе; в) по ограничению потока заявок; г) по числу каналов обслуживания.

a.В районной налоговой инспекции в отделе по налогообложению физических лиц работают 3 инспектора. Ежедневно декларации о доходах принимаются с 16 до 18 часов. Если плательщик заходит в отдел, когда все работники заняты, но до конца приема есть время, то он становится в очередь и ожидает приема. Если время приема закончено, то плательщик покидает отдел.

b.Частная компания имеет 5 вертолетов для коммерческих перевозок. Эти вертолеты обслуживаются двумя инженерами-техниками. Профилактические осмотры осуществляются раз в неделю в порядке очередности. В случае поломки какого-либо вертолета сначала выполняются ремонтные работы по устранению его неполадок и только потом плановый профилактический осмотр.

4.2 В мастерской бытового обслуживания работают 4 мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую в течение часа, равно 25, а среднее время обслуживания одного клиента мастером равно 6 минутам. Определить 1) вероятность того, что клиент получит отказ; 2) вероятность того, что клиент будет обслужен; 3) среднее число клиентов, обслуживаемых мастерской в течение часа; 4) среднее число занятых мастеров.

4.3 В парикмахерской работают 3 мастера. Если клиент заходит в парикмахерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в парикмахерскую в течение часа, равно 12, а среднее время обслуживания одного клиента мастером равно 15 минутам. Определить 1) вероятность того, что клиент получит отказ; 2) вероятность того, что клиент будет обслужен; 3) среднее число клиентов, обслуживаемых парикмахерской в течение часа; 4) среднее число занятых мастеров.

4.4Таможенный пропускной пункт обслуживает погранзастава из 7 пограничников. Время, которое каждый пограничник тратит на досмотр груза в среднем равно 20 минутам. Количество машин, прибывающих к таможенному пункту за час, в среднем равно 15. Определить основные характеристики СМО (вероятность того, что все пограничники свободны, вероятность того, что в очереди находится k машин, среднее число заявок, находящихся в очереди, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе, среднее время обслуживания одной заявки).

4.5Два рабочих обслуживают группу из 8 станков. В среднем каждый станок останавливается раз в час. Обслуживание 1 станка занимает у рабочего в среднем 10 минут. Найти среднее число неисправных автоматов, среднее число автоматов в очереди, ожидающих ремонта, среднее число свободных рабочих. Какова вероятность того, что не менее 3 станков находятся в рабочем состоянии.

47

4.6В железнодорожной кассе имеются 3 окна. Время, которое тратит кассир на обслуживание одной пассажира, равно 5 минутам, пассажиры подходят к кассе, в среднем , по 15 человек в час. Найти 1) вероятность того, что все кассиры свободны; 2) среднее число занятых кассиров; 3) среднее число пассажиров в очереди; 4) среднее число пассажиров у касс; 5) среднее время, которое пассажир проводит в очереди; 6) среднее время, которое пассажир тратит на приобретение билета.

4.7В кооперативе по ловле рыбы имеется 7 катеров, для ремонта которых используется два дока. Док может принять для ремонта только один катер. В среднем на ремонт 1 катера уходит 10 дней (1/3 месяца). Каждый функционирующий катер выходит из строя в среднем 2 раза в месяц. Найти 1) вероятность того, что оба дока свободны; 2) среднее число занятых доков; 3) среднее число катеров в очереди на ремонт; 4) среднее время, которое катер проводит в очереди; 5) среднее время от выхода катера из строя до завершения ремонта. Какова вероятность того, что не менее 4 катеров находятся в рабочем состоянии.

4.8Ремонтная бригада на трубопроводе состоит из 6 человек и работает по плану, в котором установлена очередность объектов, нуждающихся в профилактике и ремонте. Бригада выезжает на объект в полном составе и переходит на следующий объект только после окончания работ на предыдущем. В среднем за неделю поступает одна заявка. Одни рабочий мог бы выполнить полный объем работ, в среднем, за две недели. Найти среднее время, необходимое бригаде для проведения работ на одном объекте.

4.9Транспортная фирма, имеющая в своем распоряжении 7 машин, принимает заявки на перевозку урожая различных культур. В среднем, за рабочий день (12 часов) поступает 5 заявок. Время погрузки, доставки к хранилищу и разгрузки для одной машины , в среднем занимает 9 часов. Контора не принимает заявок на перевозку от хозяйств, пока не выполнить текущий заказ. Найти 1) вероятность того, что очередная заявка получит отказ; 2) вероятность того, что заявка будет обслужена; 3) среднее число заявок, которые фирма может обслужить за день.

4.10Бригада грузчиков из 7 человек работает на разгрузке грузовиков, прибывающих на овощную базу. Разгрузка одной машины производится всей бригадой, а машина, прибывающая в момент разгрузки, ставится в очередь. В среднем на базу за 2 часа прибывают три машины. Работая один, грузчик разгружает машину за 5 часов. Оценить эффективность такой организации разгрузки с точки зрения времени, затрачиваемого на разгрузку одной машины.

4.11Транспортная фирма, имеющая в своем распоряжении 6 машин, принимает заявки на перевозку урожая различных культур. В среднем, за рабочий день (12 часов) поступает 4 заявки. Время погрузки, доставки к хранилищу и разгрузки для одной машины , в среднем. Занимает 10 часов. Контора, помимо текущего заказа принимает 2 заявки на перевозку от хозяйств и обслуживает их по очереди. Найти 1) вероятность того, что очередная заявка

48

получит отказ; 2) вероятность того, что заявка будет обслужена; 3) среднее число заявок, которые фирма может обслужить за день.

4.12 Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) с отказами. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [час-1]. Среднее время обслуживания заявки равно tser [мин]. Время обслуживания распределено по показательному закону. Определить:

1)число каналов, при котором вероятность того, что заявка получит отказ, не больше α;

2)абсолютную пропускную способность СМО;

3)среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок;

4)среднее время пребывания заявки в СМО;

5)среднее время простоя одного (произвольно взятого) канала

4.13 Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) с ожиданием. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час]. Среднее время обслуживания заявки равно tser [мин]. Время обслуживания распределено по показательному закону. Определить:

а) существует ли стационарный режим работы СМО; б) среднее число заявок, находящихся в СМО; в) среднее время пребывания заявки в СМО; г) вероятность того, что все каналы заняты;

д) среднее время простоя одного (произвольно взятого) канала.

4.14 Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) с ожиданием и ограничением на длину очереди. Число мест в очереди равно m. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час]. Среднее время обслуживания заявки равно tser [мин]. Время обслуживания распределено по показательному закону.

a.n = 4; m = 3; λ = 6; tser = 40. Определить:

1)среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

2)вероятность того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию;

3)вероятность того, что в СМО будет не более 2-х заявок.

49

1)абсолютную пропускную способность;

2)среднее время пребывания заявки в СМО;

3)среднее число заявок в очереди.

j.n = 3; m= 4; λ = 6; tser = 15 . Определить:

1)относительную пропускную способность СМО;

2)среднее время ожидания заявки в очереди;

3)среднее число занятых каналов.

50