Добавил:

degenetard Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Анализ Случайных Процессов

Файл:

Экзамен 2021 / Панков Практикум по АСП 21.05

.pdf

Скачиваний:

202

Добавлен:

28.01.2022

Размер:

668.14 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

1.38 Стационарный случайный процесс X(t) имеет спектральную плотность

	2			\| \| 0 ,		a 0,	0 0.
SX ( ) a 1			,					Определить дисперсию случайного
	2
	0
процесса Y(t)		dX(t)			.

			dt			X(t)
1.39 Случайная			функция				задана	своим каноническим разложением

X(t) 1 t t2 Ut Vt2 , где U,V – некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю и дисперсиями D(U) D(V) 2. Найти характеристики

случайной функции Y(t) t X(s)ds.

1.40 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию

KX ( ) 1 | |. Найти взаимную корреляционную функцию случайных функций

X(t) и Y(t) dX(t) . dt

1.41 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию

KX ( ) 2 cos( ), | | T . Найти спектральную плотность случайной функции

Y(t) 1 X(t).

1.42 Случайная функция

X(t) задана

своим каноническим разложением

X(t) 3t 2 Usin3t V cos2t ,

где

U,V

–

некоррелированные

случайные

величины с мат.ож.,

равными нулю и дисперсиями D(U) 1, D(V) 2.

Найти

характеристики случайной функции Y(t) X(s)ds 3.

1.43 Стационарная случайная функция X(t)

имеет корреляционную функцию

KX ( ) exp( | |) (1 | |).

Найти

корреляционную

функцию

случайной

функции Y(t) a

dX(t)

функции X(t) имеет

1.44 Спектральная

плотность

случайной

вид:

SX ( ) a 1 | | ,

| | 1.

Найти

дисперсию

случайной

функции

Y(t) aX(t) b

dX(t)

X(t) задана

1.45 Случайная функция

своим каноническим разложением

X(t) cos3t Usin3t V cos3t ,

где

U,V

–

некоррелированные

случайные

величины с мат.ож.,

равными нулю и дисперсиями D(U) 4, D(V) 2.

Найти

характеристики случайной функции

Y(t) sin3t

dX(t)

cos3t: m (t), K

(t ,t

1 2

DY (t).

1.46 Случайная	функция X(t) Ut3 , где U –	случайная величина,
распределенная	по нормальному закону N(1, 4).	Найти математическое

ожидание и корреляционную функцию случайной функции Y(t) tdX(t) X(t).

1.47 Стационарная случайная функция X(t)

имеет корреляционную функцию

KX ( ) 1 | |,| | T .

Найти

спектральную

плотность

случайной

функции

Y(t) aX(t) b

dX(t)

X(t) задана своим

1.48 Случайная

функция

каноническим

разложением

X(t) 8t2

Ut Vt2 Wt3 ,

где

U,V,W –

некоррелированные

случайные

величины

мат.ож.,

равными

нулю,

дисперсиями

D(U) 4, D(V) 3, D(W) 2. Найти характеристики случайной функции

X(t):

mX (t), K X (t1,t2),

также

случайной

функции

Y(t) X( )d 3t :

mY (t),

KY (t1,t2), DY (t).

X(t) Usint,

1.49 Случайная

функция

где

U –

случайная

величина,

распределенная

по

равномерному закону

R(0,1). Найти математическое

ожидание

корреляционную

функцию

случайной

функции

Y(t) cost X(t) sint

dX(t)

1.50 Стационарная случайная функция X(t)

имеет корреляционную функцию

( ) exp( | |).

Найти

спектральную плотность

S* ( )

случайной

dX(t)

функции Y(t) a

X(t) задана

1.51 Случайная

функция

своим

каноническим

разложением

X(t) t3

t2 3 Ut2 Vt3 , где U,V – некоррелированные случайные величины

с мат.ож., равными нулю и

дисперсиями

D(U) 2, D(V) 3.

Найти

характеристики m (t), K

(t ,t

) случайной функции Y(t) (t 2)X(t) t2

1 2

1.52 Стационарная случайная функция X(t)

имеет корреляционную функцию

KX ( ) 2 cos .

Найти

корреляционную

функцию

случайной

функции

Y(t) X(t)

dX(t)

X(t) имеет спектральную плотность

1.53 Стационарная случайная функция

SX* ( ) a | |,

| | a,

a 0.

Найти

дисперсию

случайной

функции

Y(t)

dX(t)

X(t)

1.54 Случайная

функция

задана

своим

каноническим разложением

X(t) 3cos4t 2Usin4t 3V cos4t,

где U,V

– некоррелированные случайные

величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями D(U) 2, D(V) 1. Найти

характеристики mY (t), KY (t1,t2) Y(t) cos4t dX(t) X(t). dt

1.55 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию KX ( ) exp( 2 | |). Найти взаимную корреляционную функцию случайных

функций X(t) и Y(t) adX(t). dt

1.56 Спектральная плотность случайной функции X(t)

имеет вид:

SX ( )

dX(t)

| | , 0. Найти дисперсию случайной функции Y(t)

X(t)

1.57 Случайная

функция

задана своим

каноническим разложением

X(t) sin3t 1 Usin2t V cos3t,

где U,V

– некоррелированные

случайные

величины с мат.ож.,

равными нулю и дисперсиями D(U) 3, D(V) 2.

Найти

характеристики случайной функции Y(t) X( )d : mY (t), KY (t1,t2).

1.58 Случайная

функция

X(t) Ucos3t,

где

U –

случайная

величина,

распределенная

по

экспоненциальному

закону

Exp( 2).

Найти

математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции

Y(t) X(t) dX(t) . dt

1.59

Стационарная случайная функция

X(t) имеет спектральную плотность

( ) ae 0| | ,

a 0,

0. Определить

корреляционную функцию K

( )

этой функции.

X(t) задана

1.60

Случайная

функция

своим каноническим разложением

X(t)

3Vt, где U,V – некоррелированные случайные величины с

мат.ож., равными нулю и дисперсиями D(U) D(V) 4. Найти характеристики

случайной функции Y(t)

X( )d : mY (t), KY (t1,t2).

1.61

Дана корреляционная функция

стационарного

случайного

процесса:

KX ( ) C 1 | | , С, 0. Определить взаимную корреляционную функцию

случайных функций aX(t)

и Y(t) b

dX(t)

1.62

Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию

KX ( ) 2 exp( | |),

0. Найти

спектральную

плотность

случайной

функции Y(t) aX(t) b

dX(t)

1.63 Случайная функция X(t) задана своим каноническим разложением X(t) t 5 Usin5t 3V cos5t , где U,V – некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями D(U) 2, D(V) 1. Найти

характеристики случайной функции Y(t) t2 X( )d : mY (t), KY (t1,t2).

1.64 Случайная функция X(t) Usint V cost, где U – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону Exp( 1), а V – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0,1). С.в. U и V

некоррелированы. Найти mY (t), KY (t1,t2) случайной функции Y(t) dX(t) . dt

1.65 Стационарная случайная функция X(t) имеет спектральную плотность


SX* ( ) e \| \| , 0. Определить дисперсию случайной функции Y(t)								dX(t)		.

		X(t) задана							dt
1.66 Случайная	функция		своим		каноническим разложением
X(t) t2 Usin2 t V cos2 t, где U,V			–	некоррелированные			случайные
величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями D(U) 2, D(V) 3.									Найти
характеристики случайной функции Y(t) sint X(t) cost : mY (t), KY (t1,t2).
1.67 Случайная	функция	X(t) Ut2 ,	где	U	–	случайная	величина,
распределенная	по экспоненциальному			закону		Exp( 1).			Найти

математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции

Y(t) t2 dX(t) tX(t). dt

1.68

Стационарная случайная функция X(t)

имеет корреляционную функцию

KX ( ) 1 | |,| | 1.

Найти

спектральную

плотность

случайной функции

Y(t) aX(t).

1.69

Случайная

функция

X(t) задана

своим каноническим разложением

X(t) cos(2t) Usin(2t) V cos(2t),

где U,V – некоррелированные случайные

величины с мат.ож.,

равными нулю, и дисперсиями D(U) 2, D(V) 3.

Найти

характеристики

случайной

функции

Y(t) sin(2t)

dX(t)

cos(2t):

m (t),

KY (t1,t2).

1.70

Заданы случайные процессы (t) Usint V cost,

(t) U cost V sint,

где

U и V

–

центрированные некоррелированные случайные величины с

дисперсиями

D(U) 2,

D(V) 3.

Найти

корреляционные функции

этих

процессов, их взаимную корреляционную функцию, а также корреляционную функцию их суммы.

1.71 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию
kX ( ) 2 exp( \| \|) ,				0.	Определить дисперсию случайной функции
Y(t)	1	dX(t)	.
Y(t)			.
dt				X(t)
1.72 Случайная функция				X(t)	задана		своим каноническим разложением
X(t) cos t Usin t V cos t,					где	U,V	– некоррелированные случайные
величины с мат.ож., равными нулю,						и дисперсиями D(U) 4, D(V) 1. Найти
							t
характеристики случайной функции Y(t) X( )d : mY (t), KY (t1,t2).
							0
1.73 Заданы случайные процессы (t) t Ut2 Vt2 , (t) t2 Ut Vt, где U и

V – некоррелированные стандартизованные (т.е. с нулевыми математическими ожиданиями и нулевой ковариацией между ними) случайные величины. Найти нормированные корреляционные функции этих процессов, а также взаимную корреляционную функцию этих процессов.

1.74	Стационарная случайная функция				X(t) имеет спектральную плотность
	,	при\| \| ,
SX* ( )		0 . Определить взаимную корреляционную функцию
	0,	при\| \| 0
случайных функций X(t) и Y(t)			dX(t)	.

			dt
1.75	Случайная функция X(t) задана				своим каноническим разложением

X(t) et Ue at Ve bt , где U,V – некоррелированные случайные величины с

мат.ож., равными нулю, и дисперсиями

D(U) 3,

D(V) 2.

Найти

характеристики случайной функции Y(t) e t X(t) et : m (t), K

(t ,t

1 2

1.76

Случайная

функция

X(t) Ut2 ,

где

–

случайная

величина,

распределенная по экспоненциальному закону Exp( ),

Найти математическое

ожидание

корреляционную

функцию

случайной

функции

Y(t) X(t)

dX(t)

X(t) имеет спектральную плотность

1.77

Стационарная случайная функция

SX ( ) 1 | |,

1/ 1/ .

Определить

корреляционную

функцию случайной функции X(t).

1.78

Найти

математическое

ожидание

и корреляционную

функцию

суммы

двух

некоррелированных

случайных

функций

X(t) и Y(t). X(t) имеет

характеристики m

(t) t2

(t ,t

) tt

exp( (t t

)),

а Y(t)

задано

своим

1 2

каноническим разложением Y(t) e t Ut2 Vt2

где U,V – некоррелированные

случайные

величины

мат.ож.,

равными

нулю,

дисперсиями

D(U) D(V) 2 .

1.79 Случайная	функция	X(t)	имеет корреляционную	функцию
KX (t1,t2) 4exp(2(t1	t2)).	Найти	корреляционную функцию	случайной

1 t

функции Y(t) X(t) X( )d .

4 0

1.80 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию kX ( ) exp( | |), 0. Найти спектральную плотность случайной функции

Y(t) 1 dX(t) .

1.81

Случайная функция

X(t)

задана

своим

каноническим

разложением

X(t) t2 Ue t

Vet

, где U,V

–

некоррелированные случайные величины

мат.ож., равными

нулю,

дисперсиями

D(U) 4, D(V) 1.

Найти

характеристики случайной функции Y(t) t

dX(t)

t2 : m (t), K

(t ,t

1.82

Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию

KX ( ) a2(1 | |),

| | 1. Найти спектральную плотность

SX ( )

и взаимную

корреляционную функцию случайных функций X(t)

и Y(t)

dX(t)

1.83

Стационарная

случайная

функция

имеет

спектральную плотность

, | | 1,

SX ( )

. Найти корреляционную функцию случайной функции

X(t).

| | 1

1.84

Найти

математическое

ожидание

корреляционную функцию суммы

двух

некоррелированных

случайных функций

X(t) и

Y(t).

X(t)

имеет

характеристики m

(t) t2 ,

(t ,t

) tt

exp( (t

)), а Y(t) V sin t , где V

1 2

случайная величина, распределенная по нормальному закону N(0,1).

1.85

Случайная

функция

X(t) U cos t V sin t ,

где

U,V

–

некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями D(U) D(V) 4. Найти характеристики X(t), а также взаимную

корреляционную функцию случайных функций X(t) и Y(t) dX(t) .

					dt
1.86	Стационарная случайная функция				X(t) имеет спектральную плотность
SX ( ) 1 \| \|, 1 1. Определить					взаимную корреляционную	функцию
случайных функций X(t) и Y(t)			dX(t)	.

			dt
1.87	Случайная функция Z(t) задана в виде: Z(t) X(t) tY(t) t, где X(t) и
Y(t)	некоррелированные случайные функции с характеристиками:					mX (t) t,
mY (t) 1,		K X (t1,t2) exp( \|t2 t1 \|),			KY (t1,t2) exp( \|t2 t1 \|)	Найти
характеристики случайной функции Z(t): mZ (t), K Z (t1,t2).
		16

1.88 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию

KX ( ) 2 exp( | |). Найти взаимную корреляционную функцию случайных

функций

X(t) и Y(t)

dX(t)

1.89

Стационарная случайная функция X(t) имеет спектральную плотность

/ 0, 0 0;

, 0 0.

Определить

дисперсию

SX ( )

2 / 0, 0 2 0

случайной функции X(t).

1.90

Найти математическое

ожидание и корреляционную функцию суммы

двух

некоррелированных

случайных

функций

X(t) и

Y(t).

X(t) имеет

характеристики

(t) t2

(t ,t

) exp( (t t

)), а Y(t) Vt 3, где

1 2

случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1, 4).

1.91

Случайная

функция

X(t) sint U cost V sint ,

где

U,V

–

некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями D(U) 2, D(V) 4. Найти характеристики X(t), а также

взаимную корреляционную функцию случайных функций X(t) и Y(t) t dX(t).

X(t)

1.92 Стационарная случайная функция

имеет спектральную плотность

SX ( ) e | | ,

, .

Определить взаимную корреляционную функцию

случайных функций X(t) и Y(t)

dX(t)

1.93 Случайный

процесс

X(t)

имеет

характеристики

mX (t) 0, KX (t1,t2) Acos(t1

t2),

A –постоянная.

Найти

характеристики

случайного

процесса Y(t) X( )d 2

определить,

будет

ли он

стационарным.

X(t) Ue2t ,

1.94 Случайная

функция

где

– случайная

величина,

распределенная

по нормальному

закону

N(2,1).

Найти

математическое

ожидание и корреляционную функцию случайной функции Y(t) dX(t) 3X(t). dt

1.95 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию

KX ( ) 1 | |, | | 1. Найти дисперсию случайной функции Y(t) adX(t). dt

1.96 Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной

функции Y(t) X(t) X(s)ds, где	X(t) Ut3 , а U – случайная величина,
0

распределенная по экспоненциальному закону с параметром 3.

1.97 Заданы случайные функции: X(t) sint U cost V sint , Y(t) cost Usint V cost, где U,V – некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями D(U) 2, D(V) 3. Найти корреляционные функции X(t) и Y(t), а также их взаимную корреляционную функцию.

1.98 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию

K	X	( ) 2 cos( ).	Найти	дисперсию	случайной	функции
	X	0

Y(t) X(t) 1 dX(t) .0 dt

Раздел № 2 Дискретные цепи Маркова

2.1Точки A1,A2,...,An представляют собой вершины правильного N-

угольника. Некоторая частица совершает случайное блуждание по точкам Ai,1 i N . Определить, является ли последовательность положений частицы

в моменты времени t 0,1,2,... цепью Маркова для следующих случайных блужданий:

a. частица совершает детерминированное движение по часовой стрелке?

b.частица в начальный момент времени получает случайный толчок по или против часовой стрелки и далее постоянно движется в направлении толчка?

c.из любой точки Ai,i 1 частица с вероятностью p сдвигается по

часовой стрелке, а с вероятностью q 1 p - против часовой стрелки в соседнюю точку. Попадая в точку A1, частица в следующий момент

возвращается в ту точку, из которой она пришла в A1.

2.2 Частица совершает случайное блуждание в плоскости по целочисленным точкам (i, j) таким, что i 0, j N . Из любой внутренней точки указанного квадрата частица с равными вероятностями независимо от её предыдущего движения переходит в одну из соседних ( по вертикали или горизонтали) точек. При выходе на границу квадрата частица далее:

a.движется по границе квадрата детерминировано по часовой стрелке;

b.возвращается в ту точку, из которой она вышла на границу;

c.выбирает случайно направление на границе и движется по границе в выбранном направлении. Для каждого из указанных случаев решить, будет ли последовательность положений, занимаемых частицей, цепью Маркова.

2.3В условиях предыдущей задачи частица из каждой внутренней точки с равной вероятностью может переходить в одну из соседних (по вертикали, горизонтали или диагонали). Будет ли последовательность положений частицы

цепью Маркова для каждого из трех, указанных в задаче 2, условий движения после выхода на границу?

2.4Случайные величины n, (n 0,1,2,...) независимы и принимают каждая

одно из двух значений +1 или -1 с вероятностями, соответственно р и q (p q 1). Будет ли цепью Маркова последовательность случайных величин

n n n 1.

2.5 Последовательные состояния некоторой системы образуют цепь Маркова с матрицей переходных вероятностей . Исследователь может наблюдать состояния системы не всегда, а только при появлении некоторого благоприятного для наблюдения события А. Последовательность появлений и непоявлений события А представляет собой бернулиевскую случайную последовательность с вероятностью успеха p,0 p 1,. Показать, что последовательность наблюдаемых состояний системы образует цепь Маркова. Можно ли, зная матрицу переходных вероятностей этой последней цепи,

определить матрицу ?
2.6 В	условиях	предыдущей	задачи			моменты			наблюдений
определяются из условия, что 1, 2,..., где				k		...	k	- последовательность
				k	1		k

не зависимых целочисленных положительных величин. Будет ли последовательность наблюденных состояний системы цепью Маркова?

2.7Пусть 1, 2,... - цифровая последовательность, в которой цифры

появляются случайно, независимо друг от друга и равновероятно. Имеется счетчик, который в момент n показывает сколько различных цифр встретилось среди первых n цифр 1, 2,..., n - последовательности. Показать, что показания счетчика образуют цепь Маркова. Написать матрицу переходных вероятностей этой цепи и классифицировать состояния.

2.8Имеется система, последовательные состояния которой связаны в цепь Маркова. Вторая система следит за переходами первой системы из одного состояния в другое таким образом, что если первая система переходит из состояния 1 в момент n-1 в состояние j в момент n, то вторая система в момент n находится в состоянии (i,j). Показать, что последовательные состояния второй системы связаны в цепь Маркова; написать для неё матрицу переходных вероятностей. Классифицировать состояния второй системы в зависимости от классификации состояний в первой.

2.9Рассматривается система с дискретными состояниями и дискретным временем, переходы которой из одного состояния в другое протекают под воздействием марковского процесса с дискретным временем. Задана матрица переходных вероятностей . Требуется: а) построить размеченный граф состояний, б) найти распределение вероятностей после первых 3-х шагов, если

известны начальные вероятности состояний pj 0 , в) найти предельное стационарное распределение.

0.9		0	0	0.1
	0	0.5	0.1	0.4	p2 0 0.7,	p4 0 0.3.

0.6		0.2	0.2	0
	0.9	0	0	0.1

Решение. Согласно матрице переходных вероятностей, в системе имеется 4 состояния (обозначим состояния Si как i), а размеченный граф выглядит следующим образом.

В соответствии с теоремой Маркова распределение вероятностей состояний после первых 3-х шагов p30 p1 3 ; p2 3 ; p3 3 ; p4 3 равно

p3 p0 3,

где p0 p1 0 ; p2 0 ; p3 0 ; p4 0 0;0,7;0;0,3

Легко находим, что	0.9	0	0	0.1

	0.636	0.149	0.041	0.174
3
0.756		0.082	0.026	0.136
	0.9	0	0	0.1

Тогда		0.9	0	0	0.1

		0.636	0.149	0.041	0.174
p1 3 ; p2 3 ; p3 3 ; p4	3 0;0,7;0;0,3
	0.756		0.082	0.026	0.136
		0.9	0	0	0.1

0.7152;0.1043;0.0287;0.1518 .

Для нахождения предельного стационарного распределения s s1;s2;s3;s4 для цепи Маркова с N=4 состояниями используем систему

N	1
sk	1
k 1	,

s s

которая эквивалентна системе

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен 2021

#
28.01.2022280.74 Кб254tasks_done_v2.pdf
#
28.01.2022159.38 Кб33Вопросы к экзамену по АСП 2021.pdf
#
28.01.20221.34 Mб202Панков Пособие по АСП.pdf
#
28.01.20221.04 Mб66Панков Пособие по ТВиМС часть 1.pdf
#
28.01.2022730.29 Кб38Панков Пособие по ТВиМС часть 2.pdf
#
28.01.2022668.14 Кб202Панков Практикум по АСП 21.05.pdf