Экзамен 2021 / Панков Практикум по АСП 21.05

k 1

решением которой является вектор s s1;s2;s3;s4 0.9;0;0;0.1 .

2.10 Классифицировать, построив графы переходов, состояния в цепях Маркова со следующими матрицами переходных вероятностей:

2.11 Вероятности перехода за один ход в цепи Маркова задаются матрицей:

Классифицировать состояние этой цепи, построив граф переходов, и найти стационарное распределение.

2.12 Матрица перехода цепи Маркова имеет следующий вид:

Классифицировать состояние этой цепи, построив граф переходов, и найти стационарное распределение.

2.13Исследователь наблюдает за системой, изменяющей свои состояния по закону цепи Маркова с матрицей переходных вероятностей, указанной в задаче 10. При этом исследователь не может различать состояния 2 и 4 и они воспринимаются им как одно состояние, обозначаемое символом *. Можно ли считать, что последовательность состояний 1, 3, 5, *, наблюдаемая исследователем, является цепью Маркова?

2.14Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова, описывающая систему S, имеет вид:

Нарисовать граф состояний системы S. Начальное распределение вероятностей по состояниям в момент t 0 определяется вектором (0.5, 0.1, 0.4). Найти вероятности состояний за два шага, и предельные вероятности состояний цепи Маркова.

21

2.15 Рассматривается система с дискретными состояниями и дискретным временем. Задана матрица переходных вероятностей

Требуется:

a.построить размеченный граф состояний,

b.найти распределение вероятностей после первых 3-х шагов, если

известны начальные вероятности состояний pj 0 : p2 0 0.8, p3 0 0.2.

c.найти предельное стационарное распределение.

2.16Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова, описывающая систему S, представляющую собой ЭВМ с возможными состояниями: s0 – полностью исправна; s1 – значительные неисправности,

позволяющие решать ограниченное число задач; s2 – полностью неисправна., имеет вид:

Нарисовать граф состояний системы S. Начальное распределение вероятностей по состояниям в момент t 0 определяется вектором (0.8;0.2; 0). Найти вероятности состояний ЭВМ после трех шагов и предельное стационарное распределение.

2.17Три танка ведут бой, каждый с двумя другими. Танк A уничтожает танк, по которому он ведёт огонь, с вероятностью 2/3, танк B – с вероятностью 1/2, танк C – с вероятностью 1/3. Танки открывают огонь одновременно, и каждый стреляет по сильнейшему из не уничтоженных к этому моменту противников. Написать матрицу вероятностей перехода за один шаг марковской цепи, состояниями которой будут множества танков, которые еще действуют в данный момент.

2.18Рассматривается система с дискретными состояниями и дискретным временем. Задана матрица переходных вероятностей

Требуется:

a.построить размеченный граф состояний, \

b.найти распределение вероятностей после первых 3-х шагов, если

известны начальные вероятности состояний pj 0 : p2 0 0.4, p3 0 0.6.

c.найти предельное стационарное распределение.

22

2.19. Три танка ведут бой, танк А стреляет в танк В, танк В – в танк С, танк С

– в танк А. Танк А уничтожает танк В с вероятностью 2/3, танк В уничтожает танк С с вероятностью 1/2, танк С уничтожает танк А с вероятностью 1/3. Танки открывают огонь одновременно. Написать матрицу вероятностей перехода за один шаг марковской цепи, состояниями которой будут множества танков, которые еще действуют в данный момент.

2.20Рассматривается система с дискретными состояниями и дискретным временем. Задана матрица переходных вероятностей

Требуется:

a.построить размеченный граф состояний,

b.найти распределение вероятностей после первых 3-х шагов, если

известны начальные вероятности состояний pj 0 : p1 0 0.5, p3 0 0.5.

c.найти предельное стационарное распределение.

2.21Эскадрилья бомбардировщиков состоит из четырех самолетов. Боевое задание она получает один раз в день. Если к концу дня из-за потерь, нанесенных противником, наличный состав самолетов уменьшается до нуля, одного или двух, то командир эскадрильи получает один самолет из резерва; этот самолет доставляется ночью. Если наличный состав равен трем или четырем самолетам, то командир не имеет права на пополнение. На следующий день, если в наличии имеется три или четыре самолета, то задание эскадрилье дается; в противном случае задание отменяется. Во время выполнения задания каждый самолет может быть выведен из строя с вероятностью р. Ввести понятие состояния эскадрильи так, чтобы функционирование эскадрильи можно было описать с помощью цепи Маркова, построить матрицу Р и исследовать ее на регулярность.

2.22Рассматривается система с дискретными состояниями и дискретным временем. Задана матрица переходных вероятностей

Требуется:

a.построить размеченный граф состояний,

b.найти распределение вероятностей после первых 3-х шагов, если

известны начальные вероятности состояний pj 0 : p1 0 0.7, p3 0 0.3.

c. найти предельное стационарное распределение.

2.23Точки A1,A2,...,AN представляют собой вершины правильного N-

угольника. Частица совершает случайное блуждание по этим точкам таким образом, что в каждый момент времени она с вероятностью p сдвигается на

23

один шаг по часовой стрелке или с вероятностью q=1-p - на один шаг против часовой стрелки. Показать, что последовательность положений частицы представляет собой цепь Маркова (циклическое блуждание). Написать для неё матрицу переходных вероятностей и классифицировать состояния; определить стационарное распределение и пределы переходных вероятностей.

2.24 Частица случайно блуждает на прямой по целочисленным точкам 0,1,2,...,N . Из любой внутренней точки частица сдвигается с вероятностью p на один шар вправо или с вероятностью q=1-p на один шаг влево. Попадая в точки 0 и N, частица остается в них навсегда (поглощающие экраны). Написать матрицу переходных вероятностей и классифицировать состояния. Найти стационарное распределение.

2.25В условиях задачи 2.15 для каждого несущественного состояния определить вероятность того, что частица, начав движение из этого состояния, поглотится в нуле.

2.26В условиях задачи 2.15 вычислить математическое ожидание времени до поглощения частицы на одном из экранов, если частица начинает свое движение из точкиi,1 i N 1.

2.27Частица случайно блуждает на прямой по целочисленным точкам 0,1,2,...,N . Из любой внутренней точки частица сдвигается с вероятностью p на

один шаг вправо или с вероятностью q=1-p, на один шаг влево. Попадая в точки 0 и N частица в следующий момент времени с вероятностью 1 переходит, соответственно, в точки 1 или N-1 (отражающие экраны). Написать матрицу переходных вероятностей и классифицировать состояния.

2.28В условиях задачи 2.18 найти стационарное распределение и вычислить пределы переходных вероятностей за n шагов при n .

2.29В двух урнах находится N шаров. Состояние системы определяется числом шаров в первой урне. Для перехода к следующему состоянию случайно выбирается один из шаров и перекладывается из той урны, в которой он находится, в другую. Последовательность состояний такой степени связана в цепь Маркова (модель Эренфеста). Написать матрицу переходных вероятностей для этой цепи и классифицировать состояния. Найти стационарное распределение.

2.30N чёрных и N белых шаров размещены в двух урнах так, что в каждой урне находится по N шаров. Число чёрных шаров в первой урне определяет состояние системы. Для перехода к следующему состоянию наудачу выбирается по одному шару в каждой из урн и эти шары меняются местами. Последовательность состояний системы связана в цепь Маркова. Написать матрицу переходных вероятностей для этой цепи и классифицировать состояния. Показать, что стационарное распределение - гипергеометрическое.

2.31 Цепь Маркова с двум состояниями имеет матрицу переходных

вероятностей за n шагов

24

2.32 Цепь Маркова с тремя состояниями имеет матрицу переходных вероятностей

Вычислить матрицу переходных вероятностей за n шагов.

2.33Найти вероятности перехода за n шагов для цепи Маркова, описанной в задаче 2.14.

2.34Классифицировать состояния и найти стационарное распределение для цепи Маркова с 10 состояниями и с матрицей переходных вероятностей, в

p4,8 3, а все остальные переходные вероятности равны нулю. 5

2.35В условиях задачи 2.25 найти математические ожидания времени до поглощения в эргодическом классе, если система начинает свое движение из несущественных состояний.

2.36В условиях задачи найти функцию распределения времени до поглощения в эргодическом классе, если система начинает свое движение из несущественных состояний.

2.37В условиях задачи 2.25 найти вероятности того, что система, отправляясь из несущественных состояний, перейдет в эргодический класс таким образом, что будет находиться в циклическом классе, которому принадлежит состояние «2» в моменты времени сравнимые с r по модулю d, где d - период эргодического класса и r 0,1,...,d 1.

2.38Переходные вероятности цепи Маркова с 15 состояниями имеют следующие значения:

p1,10 p1,15 p2,5 p2,11 p3,6 p3,13 p4,3 p4,9 p5,8 p5,11

p6,1 p6,12 p7,3 p7,14 p8,2 p8,11 p9,2 p9,4 p10,6 p10,13

остальные переходные вероятности равны нулю. Классифицировать состояния; найти стационарные распределения для каждого эргодического класса.

2.39 В условиях задачи 2.29 пусть E1 -эргодический класс, содержащий состояние «1» и 1 - матрица переходных вероятностей между состояниями из

0 r d.

25

2.40 В условиях задачи 2.29 пусть E2 - эргодический класс, которому принадлежит состояние «2» и 2 - матрица переходных вероятностей между состояниями из E2 . Найти матрицу переходных вероятностей за n шагов для

класса E2 .

2.41 В условиях задачи 2.29 найти вероятности поглощения в классах E1 и E2 для всех случаев, когда система начинает движение из несущественных состояний.

2.42 В условиях задачи 2.29 найти вероятности того, что система, выйдя из какого-либо несущественного состояния, перейдет в эргодический класс E1 и притом в моменты времени kd1 r,0 r d будет находиться в циклическом подклассе, содержащем состояние «1».

2.43 В условиях задачи 2.29 вычислить пределы вероятностей перехода из несущественных состояний в состояние «1» по последовательностям моментов времени вида kd1 r,0 r d,k .

2.44Всякая ли стохастическая матрица может быть матрицей перехода за 2 шага некоторой цепи Маркова?

2.4540. Пусть 0, 1,... - последовательность случайных величин,

образующих однородную цепь Маркова. Доказать, что для того, чтобы случайные величины 0, 1,... были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы все строки матрицы вероятностей перехода за один шаг были одинаковыми.

2.46 В начальный момент времени в урне n0 белых и m0 чёрных шаров. Через каждую единицу времени из урны по схеме выбора без возвращения извлекается один шар. Пусть nk - число белых, mk - число чёрных шаров в урне в момент времени k . Какие из указанных ниже последовательностей образуют цепь Маркова, а какие нет:

2.47Могут ли все состояния цепи Маркова с конечным числом состояний быть несущественными?

2.48Могут ли все состояния цепи Маркова со счетным числом состояний быть несущественными?

2.4944. Имеется схема Бернулли с вероятностью успеха p, и вероятностью неудачи q=1-p. Рассматривается последовательность всевозможных комбинаций из успехов и неудач, образующих состояния некоторой системы. Будем считать, что система в момент n находится в состоянии Ek, k=1,2,…, если в каждом из испытаний с номерами n, n-1, n-2,…, n-k+1 был успех, а в испытании с номером n-k была неудача. Система в момент n находится в состоянии E0, если в испытании с номером n была неудача. Показать, что последовательность состояний системы образует цепь Маркова. Найти матрицы переходных вероятностей за один шаг и за n шагов.

26

2.50 В некоторой области пространства находятся однородные частицы. Состояние изучаемой системы - это число частиц в области в данный момент времени. В течение единицы времени каждая из имевшихся в области частиц может покинуть её с вероятностью q. Кроме того, в области могут появиться новые частицы. Вероятность того, что появится r частиц (r=0,1,2,3,…) равна

r e . Показать, что последовательность состояний системы образует цепь r!

Маркова. Составить матрицу переходных вероятностей за один шаг. Показать, что эта цепь эргодическая. Найти стационарное распределение.

2.51 Пусть последовательность t,t 0 случайных величин связана в цепь

Показать, что

P PAST FUTURE|PRESENT =P PAST|PRESENT P FUTURE|PRESENT ,

т.е. прошлое и будущее независимы при фиксированном настоящем).

2.52 Пусть случайные величины 0, 1,... независимы и каждая принимает значения 1 с вероятностями 1/2.

a.Образует ли образует ли последовательность случайных величин

2.53 Пусть n,n 0 есть цепь Маркова с множеством состояний E 1,2,3

последовательность n,n 0,1,2,... образует цепь Маркова.

2.54 В N ячейках последовательно независимо друг от друга равновероятно размещаются частицы. Пусть 0 n - число ячеек, оставшихся пустыми после

размещения n частиц. Показать, что последовательность 0 n ,n 1,2,...

образует цепь Маркова. Найти переходные вероятности этой цепи.

2.55 В городе N каждый житель имеет одну из 3 профессий: A, B, C. Дети отцов, имеющих профессии A, B, C, сохраняют профессии отцов с вероятностями 3/5, 2/3, 1/ 4, соответственно, а если не сохраняют, то с равными вероятностями выбирают любую из двух других профессий. Найти:

a. Распределение по профессиям в следующем поколении, если в данном поколении профессию A имело 20% жителей, B – 30%, C – 50%.

27

b. Предельное распределение по профессиям, когда число поколений неограниченно растёт.

28

Раздел № 3 Марковские процессы с непрерывным временем. Пуассоновский поток. Поток Эрланга.

3.1Показать, что если переходные функции pij t однородного во

времени Марковского процесса известны на интервале 0 t t0 , t0 0, то они однозначно определяются для всех t>0.

3.2Показать, что если переходные функции pij(t) однородного во времени

Марковского процесса непрерывны при t=0, то они равномерно непрерывны по t при t 0.

3.3Поток событий подчиняется следующим условиям:

а) числа событий, наступивших на непересекающихся интервалах времени, суть независимые случайные величины;

времени. Число событий, наступивших до момента времени t, есть случайный

является Марковским и найти его переходные функции.

3.4 Поток событий устроен таким образом, что интервалы времени между последовательными событиями суть независимые одинаково распределённые неотрицательные случайные величины с функцией распределения F(t). Пусть(t) есть число событий, наступивших до момента t, 0 0. Показать, что

интенсивности .

3.5Показать, что для простейшего пуассоновского процесса с единичной интенсивностью условное распределение моментов наступления событий на интервале (0:t) при условии что всего на этом интервале произошло n событий, совпадает с распределением координат n точек, наудачу и независимо друг от друга выбранных на промежутке (0:t).

3.6Пусть 0 1 ... n 1 - моменты наступления первых n+1 событий в

простейшем пуассоновском потоке. Показать, что величины i i / n 1,1 i n имеют такое же совместное распределение, как и упорядоченный ряд чисел, выбранных независимо друг от друга на отрезке [0;1] в оответствии с равномерным распределением.

3.7 На некоторое обслуживающее устройство поступает простейший пуассоновский поток заявок. Устройство с вероятностью p мгновенно

29

обслуживает заявку, либо с вероятностью q=1-p оставляет её необслуженной. Показать, что поток обслуженных заявок, выходящих из устройства, снова является простейшим пуассоновским потоком. Найти его интенсивность.

3.8В условиях предыдущей задачи устройство обслуживает каждую вторую заявку. Показать, что поток обслуженных заявок в этом случае не будет марковским.

3.9В некоторый прибор поступает простейший пуассоновский поток частиц с интенсивностью . Каждая частица обладает некоторой энергией, величина которой суть случайная величина с законом распределения G(x). Прибор регистрирует суммарную величину энергии всех поступивших в него частиц.

Показания прибора t образуют марковский процесс и, более того, процесс с независимыш приращениями. Найти характеристическую функцию случаной величины t . Описать строение траекторий t .

3.10 В условиях предыдущей задачи прибор регистрирует лишь частицы, энергия которых заключена в пределах x1,x2 , x1 x2 . Показать, что поток

регистрируемых частиц также простейший пуассоновский. Определить его интенсивность.

3.11 В прибор поступают частицы из n независимых источников. Поток частиц каждого из источников - простейший пуассоновский со своей для каждого источника интенсивностью i,1 i n. Показать, что общий поток частиц, поступающих в прибор, снова простейший пуассоновский. Определить

находится в состоянии i, (i=0,1), то вероятность того, что в отрезке времени (t,t t) произойдет смена состояний, равна i t o( t) независимо от того,

что происходило с устройством до момента t. Если t означает состояние устройства в момент t, то t - марковский процесс (''случайный телеграфный сигнал"). Найти переходные функции pij(t) этого процесса.

3.13 (продолжение). Как распределено:

а) время исправного состояния устройства от момента окончания его ремонта до следующей поломки; б) время, затрачиваемое на ремонт устройства?

3.14 (Продолжение). Какими должны бить вероятности p0 и p1 начальных состояний устройства дая того, чтобы процесс был стационарным? Показать,

что стационарные вероятности равны пределам lim pij (t),(i, j 1,2).

t

3.15 Имеется система из a приборов, каждый из которых может находиться в исправном "1" и неисправном "0" состоянии. Переход приборов из одного состояния в другое происходит для разных приборов независимо и так, как это описано в задаче 3.12. Состояние t системы

30