Экзамен 2021 / Панков Практикум по АСП 21.05
.pdf1.38 Стационарный случайный процесс X(t) имеет спектральную плотность
|
2 |
|
| | 0 , |
a 0, |
0 0. |
|
||
SX ( ) a 1 |
|
|
, |
Определить дисперсию случайного |
||||
2 |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
процесса Y(t) |
dX(t) |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dt |
|
|
X(t) |
|
|
1.39 Случайная |
функция |
задана |
своим каноническим разложением |
X(t) 1 t t2 Ut Vt2 , где U,V – некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю и дисперсиями D(U) D(V) 2. Найти характеристики
t
случайной функции Y(t) t X(s)ds.
0
1.40 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию
KX ( ) 1 | |. Найти взаимную корреляционную функцию случайных функций
X(t) и Y(t) dX(t) . dt
1.41 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию
KX ( ) 2 cos( ), | | T . Найти спектральную плотность случайной функции
Y(t) 1 X(t).
1.42 Случайная функция |
X(t) задана |
своим каноническим разложением |
|||||||||||||||
X(t) 3t 2 Usin3t V cos2t , |
где |
U,V |
– |
некоррелированные |
случайные |
||||||||||||
величины с мат.ож., |
равными нулю и дисперсиями D(U) 1, D(V) 2. |
|
Найти |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристики случайной функции Y(t) X(s)ds 3. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.43 Стационарная случайная функция X(t) |
имеет корреляционную функцию |
||||||||||||||||
KX ( ) exp( | |) (1 | |). |
Найти |
корреляционную |
функцию |
случайной |
|||||||||||||
функции Y(t) a |
dX(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
функции X(t) имеет |
|
|
||||||
1.44 Спектральная |
плотность |
случайной |
вид: |
||||||||||||||
SX ( ) a 1 | | , |
| | 1. |
|
Найти |
дисперсию |
случайной |
функции |
|||||||||||
Y(t) aX(t) b |
dX(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
|
X(t) задана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.45 Случайная функция |
своим каноническим разложением |
||||||||||||||||
X(t) cos3t Usin3t V cos3t , |
где |
U,V |
– |
некоррелированные |
случайные |
||||||||||||
величины с мат.ож., |
равными нулю и дисперсиями D(U) 4, D(V) 2. |
Найти |
|||||||||||||||
характеристики случайной функции |
Y(t) sin3t |
dX(t) |
cos3t: m (t), K |
|
(t ,t |
), |
|||||||||||
|
Y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
Y |
|
1 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DY (t).
11
1.46 Случайная |
функция X(t) Ut3 , где U – |
случайная величина, |
распределенная |
по нормальному закону N(1, 4). |
Найти математическое |
ожидание и корреляционную функцию случайной функции Y(t) tdX(t) X(t).
1.47 Стационарная случайная функция X(t) |
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||||||||
имеет корреляционную функцию |
|||||||||||||||||||||
KX ( ) 1 | |,| | T . |
|
Найти |
спектральную |
плотность |
случайной |
функции |
|||||||||||||||
Y(t) aX(t) b |
dX(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
X(t) задана своим |
|
|
|
|
|
|
|||||
1.48 Случайная |
|
функция |
каноническим |
разложением |
|||||||||||||||||
X(t) 8t2 |
Ut Vt2 Wt3 , |
где |
U,V,W – |
некоррелированные |
случайные |
||||||||||||||||
величины |
с |
|
|
|
мат.ож., |
равными |
нулю, |
|
и |
дисперсиями |
|||||||||||
D(U) 4, D(V) 3, D(W) 2. Найти характеристики случайной функции |
X(t): |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
mX (t), K X (t1,t2), |
|
а |
|
также |
случайной |
функции |
Y(t) X( )d 3t : |
mY (t), |
|||||||||||||
KY (t1,t2), DY (t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
X(t) Usint, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.49 Случайная |
|
функция |
где |
U – |
случайная |
величина, |
|||||||||||||||
распределенная |
|
по |
|
равномерному закону |
R(0,1). Найти математическое |
||||||||||||||||
ожидание |
и |
|
|
корреляционную |
функцию |
случайной |
|
функции |
|||||||||||||
Y(t) cost X(t) sint |
dX(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.50 Стационарная случайная функция X(t) |
имеет корреляционную функцию |
||||||||||||||||||||
K |
X |
( ) exp( | |). |
|
Найти |
спектральную плотность |
S* ( ) |
случайной |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
dX(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
||||
функции Y(t) a |
b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
X(t) задана |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.51 Случайная |
|
функция |
своим |
каноническим |
разложением |
X(t) t3 |
t2 3 Ut2 Vt3 , где U,V – некоррелированные случайные величины |
|||||||||||||||||||
с мат.ож., равными нулю и |
дисперсиями |
D(U) 2, D(V) 3. |
Найти |
|||||||||||||||||
характеристики m (t), K |
Y |
(t ,t |
) случайной функции Y(t) (t 2)X(t) t2 |
2. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.52 Стационарная случайная функция X(t) |
имеет корреляционную функцию |
|||||||||||||||||||
KX ( ) 2 cos . |
Найти |
корреляционную |
функцию |
случайной |
функции |
|||||||||||||||
Y(t) X(t) |
dX(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
X(t) имеет спектральную плотность |
|||||
1.53 Стационарная случайная функция |
||||||||||||||||||||
SX* ( ) a | |, |
| | a, |
|
a 0. |
Найти |
дисперсию |
случайной |
функции |
|||||||||||||
Y(t) |
1 |
|
dX(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
dt |
|
|
|
|
|
X(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.54 Случайная |
функция |
задана |
своим |
каноническим разложением |
||||||||||||||||
X(t) 3cos4t 2Usin4t 3V cos4t, |
где U,V |
– некоррелированные случайные |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями D(U) 2, D(V) 1. Найти
характеристики mY (t), KY (t1,t2) Y(t) cos4t dX(t) X(t). dt
1.55 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию KX ( ) exp( 2 | |). Найти взаимную корреляционную функцию случайных
функций X(t) и Y(t) adX(t). dt
1.56 Спектральная плотность случайной функции X(t) |
имеет вид: |
|
|
2 |
, |
||||||||||
SX ( ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dX(t) |
|
|
|
0 |
||
| | , 0. Найти дисперсию случайной функции Y(t) |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.57 Случайная |
функция |
задана своим |
каноническим разложением |
||||||||||||
X(t) sin3t 1 Usin2t V cos3t, |
где U,V |
– некоррелированные |
случайные |
||||||||||||
величины с мат.ож., |
равными нулю и дисперсиями D(U) 3, D(V) 2. |
Найти |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристики случайной функции Y(t) X( )d : mY (t), KY (t1,t2). |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.58 Случайная |
функция |
X(t) Ucos3t, |
где |
U – |
случайная |
величина, |
|||||||||
распределенная |
по |
экспоненциальному |
закону |
Exp( 2). |
Найти |
математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции
Y(t) X(t) dX(t) . dt
1.59 |
Стационарная случайная функция |
X(t) имеет спектральную плотность |
|||||||||||||||||||||
S |
X |
( ) ae 0| | , |
a 0, |
0 |
0. Определить |
корреляционную функцию K |
X |
( ) |
|||||||||||||||
этой функции. |
|
|
|
|
|
|
X(t) задана |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.60 |
Случайная |
|
функция |
|
своим каноническим разложением |
||||||||||||||||||
X(t) |
|
U |
|
3Vt, где U,V – некоррелированные случайные величины с |
|||||||||||||||||||
3t |
2t |
||||||||||||||||||||||
мат.ож., равными нулю и дисперсиями D(U) D(V) 4. Найти характеристики |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
случайной функции Y(t) |
|
|
X( )d : mY (t), KY (t1,t2). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.61 |
Дана корреляционная функция |
стационарного |
случайного |
процесса: |
|||||||||||||||||||
KX ( ) C 1 | | , С, 0. Определить взаимную корреляционную функцию |
|||||||||||||||||||||||
случайных функций aX(t) |
и Y(t) b |
dX(t) |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
1.62 |
Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию |
||||||||||||||||||||||
KX ( ) 2 exp( | |), |
|
|
0. Найти |
спектральную |
плотность |
случайной |
|||||||||||||||||
функции Y(t) aX(t) b |
dX(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
13
1.63 Случайная функция X(t) задана своим каноническим разложением X(t) t 5 Usin5t 3V cos5t , где U,V – некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями D(U) 2, D(V) 1. Найти
t
характеристики случайной функции Y(t) t2 X( )d : mY (t), KY (t1,t2).
0
1.64 Случайная функция X(t) Usint V cost, где U – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону Exp( 1), а V – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0,1). С.в. U и V
некоррелированы. Найти mY (t), KY (t1,t2) случайной функции Y(t) dX(t) . dt
1.65 Стационарная случайная функция X(t) имеет спектральную плотность
SX* ( ) e | | , 0. Определить дисперсию случайной функции Y(t) |
dX(t) |
. |
||||||||
|
||||||||||
|
|
X(t) задана |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
1.66 Случайная |
функция |
своим |
каноническим разложением |
|||||||
X(t) t2 Usin2 t V cos2 t, где U,V |
– |
некоррелированные |
случайные |
|||||||
величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями D(U) 2, D(V) 3. |
Найти |
|||||||||
характеристики случайной функции Y(t) sint X(t) cost : mY (t), KY (t1,t2). |
||||||||||
1.67 Случайная |
функция |
X(t) Ut2 , |
где |
U |
– |
случайная |
величина, |
|||
распределенная |
по экспоненциальному |
закону |
Exp( 1). |
Найти |
математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции
Y(t) t2 dX(t) tX(t). dt
1.68 |
Стационарная случайная функция X(t) |
имеет корреляционную функцию |
|||||||||||
KX ( ) 1 | |,| | 1. |
Найти |
спектральную |
плотность |
случайной функции |
|||||||||
Y(t) aX(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.69 |
Случайная |
функция |
|
X(t) задана |
своим каноническим разложением |
||||||||
X(t) cos(2t) Usin(2t) V cos(2t), |
где U,V – некоррелированные случайные |
||||||||||||
величины с мат.ож., |
равными нулю, и дисперсиями D(U) 2, D(V) 3. |
Найти |
|||||||||||
характеристики |
случайной |
функции |
Y(t) sin(2t) |
dX(t) |
cos(2t): |
m (t), |
|||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
Y |
||
KY (t1,t2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.70 |
Заданы случайные процессы (t) Usint V cost, |
(t) U cost V sint, |
|||||||||||
где |
U и V |
– |
центрированные некоррелированные случайные величины с |
||||||||||
дисперсиями |
D(U) 2, |
D(V) 3. |
Найти |
корреляционные функции |
этих |
процессов, их взаимную корреляционную функцию, а также корреляционную функцию их суммы.
14
1.71 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию |
||||||||
kX ( ) 2 exp( | |) , |
0. |
Определить дисперсию случайной функции |
||||||
Y(t) |
1 |
|
dX(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dt |
X(t) |
|
|
|
||||
1.72 Случайная функция |
задана |
своим каноническим разложением |
||||||
X(t) cos t Usin t V cos t, |
где |
U,V |
– некоррелированные случайные |
|||||
величины с мат.ож., равными нулю, |
и дисперсиями D(U) 4, D(V) 1. Найти |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
характеристики случайной функции Y(t) X( )d : mY (t), KY (t1,t2). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1.73 Заданы случайные процессы (t) t Ut2 Vt2 , (t) t2 Ut Vt, где U и |
V – некоррелированные стандартизованные (т.е. с нулевыми математическими ожиданиями и нулевой ковариацией между ними) случайные величины. Найти нормированные корреляционные функции этих процессов, а также взаимную корреляционную функцию этих процессов.
1.74 |
Стационарная случайная функция |
X(t) имеет спектральную плотность |
|||
|
, |
при| | , |
|
||
SX* ( ) |
0 . Определить взаимную корреляционную функцию |
||||
|
0, |
при| | 0 |
|
||
случайных функций X(t) и Y(t) |
dX(t) |
. |
|
||
|
|
||||
|
|
|
dt |
|
|
1.75 |
Случайная функция X(t) задана |
своим каноническим разложением |
X(t) et Ue at Ve bt , где U,V – некоррелированные случайные величины с
мат.ож., равными нулю, и дисперсиями |
D(U) 3, |
D(V) 2. |
Найти |
|||||||||||||||||||
характеристики случайной функции Y(t) e t X(t) et : m (t), K |
Y |
(t ,t |
). |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
1 2 |
|
|
|
1.76 |
Случайная |
функция |
|
X(t) Ut2 , |
|
где |
U |
– |
случайная |
величина, |
||||||||||||
распределенная по экспоненциальному закону Exp( ), |
Найти математическое |
|||||||||||||||||||||
ожидание |
и |
|
корреляционную |
|
функцию |
|
случайной |
функции |
||||||||||||||
Y(t) X(t) |
dX(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(t) имеет спектральную плотность |
|||||||||
1.77 |
Стационарная случайная функция |
|
||||||||||||||||||||
SX ( ) 1 | |, |
|
0, |
|
1/ 1/ . |
Определить |
|
корреляционную |
|||||||||||||||
функцию случайной функции X(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.78 |
Найти |
математическое |
ожидание |
|
и корреляционную |
функцию |
суммы |
|||||||||||||||
двух |
некоррелированных |
|
случайных |
функций |
X(t) и Y(t). X(t) имеет |
|||||||||||||||||
характеристики m |
X |
(t) t2 |
, |
K |
X |
(t ,t |
) tt |
|
exp( (t t |
)), |
а Y(t) |
задано |
своим |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
1 2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
каноническим разложением Y(t) e t Ut2 Vt2 |
где U,V – некоррелированные |
|||||||||||||||||||||
случайные |
величины |
с |
|
мат.ож., |
|
равными |
нулю, |
и |
дисперсиями |
|||||||||||||
D(U) D(V) 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
1.79 Случайная |
функция |
X(t) |
имеет корреляционную |
функцию |
KX (t1,t2) 4exp(2(t1 |
t2)). |
Найти |
корреляционную функцию |
случайной |
1 t
функции Y(t) X(t) X( )d .
4 0
1.80 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию kX ( ) exp( | |), 0. Найти спектральную плотность случайной функции
Y(t) 1 dX(t) .
dt
1.81 |
Случайная функция |
X(t) |
задана |
|
своим |
каноническим |
разложением |
|||||||||||||||||||||
X(t) t2 Ue t |
Vet |
, где U,V |
|
– |
некоррелированные случайные величины |
с |
||||||||||||||||||||||
мат.ож., равными |
нулю, |
|
|
и |
|
дисперсиями |
D(U) 4, D(V) 1. |
Найти |
||||||||||||||||||||
характеристики случайной функции Y(t) t |
dX(t) |
t2 : m (t), K |
|
(t ,t |
2 |
). |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
Y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.82 |
Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию |
|||||||||||||||||||||||||||
KX ( ) a2(1 | |), |
| | 1. Найти спектральную плотность |
SX ( ) |
|
и взаимную |
||||||||||||||||||||||||
корреляционную функцию случайных функций X(t) |
и Y(t) |
dX(t) |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
1.83 |
Стационарная |
случайная |
функция |
|
имеет |
спектральную плотность |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
, | | 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
SX ( ) |
|
|
|
|
. Найти корреляционную функцию случайной функции |
|||||||||||||||||||||||
X(t). |
0, |
|
|
| | 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.84 |
Найти |
математическое |
|
ожидание |
и |
|
корреляционную функцию суммы |
|||||||||||||||||||||
двух |
некоррелированных |
случайных функций |
X(t) и |
Y(t). |
|
|
X(t) |
имеет |
||||||||||||||||||||
характеристики m |
X |
(t) t2 , |
K |
X |
(t ,t |
) tt |
exp( (t |
t |
)), а Y(t) V sin t , где V |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
случайная величина, распределенная по нормальному закону N(0,1). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1.85 |
Случайная |
|
функция |
|
|
|
X(t) U cos t V sin t , |
|
где |
|
|
|
U,V |
– |
некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями D(U) D(V) 4. Найти характеристики X(t), а также взаимную
корреляционную функцию случайных функций X(t) и Y(t) dX(t) .
|
|
|
|
|
dt |
|
1.86 |
Стационарная случайная функция |
X(t) имеет спектральную плотность |
||||
SX ( ) 1 | |, 1 1. Определить |
взаимную корреляционную |
функцию |
||||
случайных функций X(t) и Y(t) |
dX(t) |
. |
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
dt |
|
|
|
1.87 |
Случайная функция Z(t) задана в виде: Z(t) X(t) tY(t) t, где X(t) и |
|||||
Y(t) |
некоррелированные случайные функции с характеристиками: |
mX (t) t, |
||||
mY (t) 1, |
K X (t1,t2) exp( |t2 t1 |), |
KY (t1,t2) exp( |t2 t1 |) |
Найти |
|||
характеристики случайной функции Z(t): mZ (t), K Z (t1,t2). |
|
|||||
|
|
16 |
|
1.88 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию
KX ( ) 2 exp( | |). Найти взаимную корреляционную функцию случайных
функций |
X(t) и Y(t) |
dX(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.89 |
Стационарная случайная функция X(t) имеет спектральную плотность |
|||||||||||||||||
|
|
/ 0, 0 0; |
|
, |
|
, 0 0. |
|
Определить |
дисперсию |
|||||||||
SX ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 / 0, 0 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
случайной функции X(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.90 |
Найти математическое |
ожидание и корреляционную функцию суммы |
||||||||||||||||
двух |
некоррелированных |
случайных |
функций |
X(t) и |
Y(t). |
X(t) имеет |
||||||||||||
характеристики |
m |
X |
(t) t2 |
, |
K |
X |
(t ,t |
) exp( (t t |
)), а Y(t) Vt 3, где |
V |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1, 4). |
|
|||||||||||||||||
1.91 |
Случайная |
|
функция |
|
|
|
X(t) sint U cost V sint , |
где |
U,V |
– |
некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями D(U) 2, D(V) 4. Найти характеристики X(t), а также
взаимную корреляционную функцию случайных функций X(t) и Y(t) t dX(t).
|
|
|
|
|
|
|
X(t) |
|
|
|
dt |
|
1.92 Стационарная случайная функция |
имеет спектральную плотность |
|||||||||||
SX ( ) e | | , |
, . |
Определить взаимную корреляционную функцию |
||||||||||
случайных функций X(t) и Y(t) |
dX(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
1.93 Случайный |
процесс |
X(t) |
|
имеет |
характеристики |
|||||||
mX (t) 0, KX (t1,t2) Acos(t1 |
t2), |
A –постоянная. |
Найти |
характеристики |
||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случайного |
процесса Y(t) X( )d 2 |
и |
определить, |
будет |
ли он |
|||||||
стационарным. |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(t) Ue2t , |
|
|
|
|
|
|
|||||
1.94 Случайная |
функция |
где |
U |
– случайная |
величина, |
|||||||
распределенная |
по нормальному |
закону |
N(2,1). |
Найти |
математическое |
ожидание и корреляционную функцию случайной функции Y(t) dX(t) 3X(t). dt
1.95 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию
KX ( ) 1 | |, | | 1. Найти дисперсию случайной функции Y(t) adX(t). dt
1.96 Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной
t
функции Y(t) X(t) X(s)ds, где |
X(t) Ut3 , а U – случайная величина, |
0 |
|
распределенная по экспоненциальному закону с параметром 3.
17
1.97 Заданы случайные функции: X(t) sint U cost V sint , Y(t) cost Usint V cost, где U,V – некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями D(U) 2, D(V) 3. Найти корреляционные функции X(t) и Y(t), а также их взаимную корреляционную функцию.
1.98 Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию
K |
X |
( ) 2 cos( ). |
Найти |
дисперсию |
случайной |
функции |
|
0 |
|
|
|
|
Y(t) X(t) 1 dX(t) .0 dt
Раздел № 2 Дискретные цепи Маркова
2.1Точки A1,A2,...,An представляют собой вершины правильного N-
угольника. Некоторая частица совершает случайное блуждание по точкам Ai,1 i N . Определить, является ли последовательность положений частицы
в моменты времени t 0,1,2,... цепью Маркова для следующих случайных блужданий:
a. частица совершает детерминированное движение по часовой стрелке?
b.частица в начальный момент времени получает случайный толчок по или против часовой стрелки и далее постоянно движется в направлении толчка?
c.из любой точки Ai,i 1 частица с вероятностью p сдвигается по
часовой стрелке, а с вероятностью q 1 p - против часовой стрелки в соседнюю точку. Попадая в точку A1, частица в следующий момент
возвращается в ту точку, из которой она пришла в A1.
2.2 Частица совершает случайное блуждание в плоскости по целочисленным точкам (i, j) таким, что i 0, j N . Из любой внутренней точки указанного квадрата частица с равными вероятностями независимо от её предыдущего движения переходит в одну из соседних ( по вертикали или горизонтали) точек. При выходе на границу квадрата частица далее:
a.движется по границе квадрата детерминировано по часовой стрелке;
b.возвращается в ту точку, из которой она вышла на границу;
c.выбирает случайно направление на границе и движется по границе в выбранном направлении. Для каждого из указанных случаев решить, будет ли последовательность положений, занимаемых частицей, цепью Маркова.
2.3В условиях предыдущей задачи частица из каждой внутренней точки с равной вероятностью может переходить в одну из соседних (по вертикали, горизонтали или диагонали). Будет ли последовательность положений частицы
18
цепью Маркова для каждого из трех, указанных в задаче 2, условий движения после выхода на границу?
2.4Случайные величины n, (n 0,1,2,...) независимы и принимают каждая
одно из двух значений +1 или -1 с вероятностями, соответственно р и q (p q 1). Будет ли цепью Маркова последовательность случайных величин
n n n 1.
2.5 Последовательные состояния некоторой системы образуют цепь Маркова с матрицей переходных вероятностей . Исследователь может наблюдать состояния системы не всегда, а только при появлении некоторого благоприятного для наблюдения события А. Последовательность появлений и непоявлений события А представляет собой бернулиевскую случайную последовательность с вероятностью успеха p,0 p 1,. Показать, что последовательность наблюдаемых состояний системы образует цепь Маркова. Можно ли, зная матрицу переходных вероятностей этой последней цепи,
определить матрицу ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6 В |
условиях |
предыдущей |
задачи |
моменты |
наблюдений |
||||
определяются из условия, что 1, 2,..., где |
k |
|
... |
k |
- последовательность |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
не зависимых целочисленных положительных величин. Будет ли последовательность наблюденных состояний системы цепью Маркова?
2.7Пусть 1, 2,... - цифровая последовательность, в которой цифры
появляются случайно, независимо друг от друга и равновероятно. Имеется счетчик, который в момент n показывает сколько различных цифр встретилось среди первых n цифр 1, 2,..., n - последовательности. Показать, что показания счетчика образуют цепь Маркова. Написать матрицу переходных вероятностей этой цепи и классифицировать состояния.
2.8Имеется система, последовательные состояния которой связаны в цепь Маркова. Вторая система следит за переходами первой системы из одного состояния в другое таким образом, что если первая система переходит из состояния 1 в момент n-1 в состояние j в момент n, то вторая система в момент n находится в состоянии (i,j). Показать, что последовательные состояния второй системы связаны в цепь Маркова; написать для неё матрицу переходных вероятностей. Классифицировать состояния второй системы в зависимости от классификации состояний в первой.
2.9Рассматривается система с дискретными состояниями и дискретным временем, переходы которой из одного состояния в другое протекают под воздействием марковского процесса с дискретным временем. Задана матрица переходных вероятностей . Требуется: а) построить размеченный граф состояний, б) найти распределение вероятностей после первых 3-х шагов, если
известны начальные вероятности состояний pj 0 , в) найти предельное стационарное распределение.
19
0.9 |
0 |
0 |
0.1 |
|
|
|
|
|
0 |
0.5 |
0.1 |
0.4 |
|
p2 0 0.7, |
p4 0 0.3. |
|
|
||||||
0.6 |
0.2 |
0.2 |
0 |
|
|
|
|
|
0.9 |
0 |
0 |
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Согласно матрице переходных вероятностей, в системе имеется 4 состояния (обозначим состояния Si как i), а размеченный граф выглядит следующим образом.
В соответствии с теоремой Маркова распределение вероятностей состояний после первых 3-х шагов p30 p1 3 ; p2 3 ; p3 3 ; p4 3 равно
p3 p0 3,
где p0 p1 0 ; p2 0 ; p3 0 ; p4 0 0;0,7;0;0,3
Легко находим, что |
0.9 |
0 |
0 |
0.1 |
|
|
|
||||
|
0.636 |
0.149 |
0.041 |
0.174 |
|
3 |
|
||||
0.756 |
0.082 |
0.026 |
0.136 |
|
|
|
0.9 |
0 |
0 |
0.1 |
|
|
|
Тогда |
|
0.9 |
0 |
0 |
0.1 |
|
|
|
|
||||
|
|
0.636 |
0.149 |
0.041 |
0.174 |
|
p1 3 ; p2 3 ; p3 3 ; p4 |
3 0;0,7;0;0,3 |
|
||||
|
0.756 |
0.082 |
0.026 |
0.136 |
|
|
|
|
0.9 |
0 |
0 |
0.1 |
|
|
|
|
0.7152;0.1043;0.0287;0.1518 .
Для нахождения предельного стационарного распределения s s1;s2;s3;s4 для цепи Маркова с N=4 состояниями используем систему
N |
1 |
sk |
|
k 1 |
, |
s s
которая эквивалентна системе
20