Econometrics

10.2. Взаємна кореляційна функція

Теоретично побудову моделі з розподіленими лагами можна узагальнити на будь-яку кількість пояснювальних змінних xt .

Але практична реалізація такої моделі часто стикається з непереборними труднощами, що зумовлені великою кількістю факторів, порівняно короткими часовими рядами і складністю їх внутрішньої структури.

Як правило, до моделі входять такі змінні xt , для яких лаги

обґрунтовані теоретично і перевірені емпірично. Для обґрунтування лагу чи лагів доцільно використовувати взаємну кореляційну функцію. Ця функція характеризує тісноту зв’язку кожного

Для різних значень на основі взаємної кореляційної функції можна дістати n+1 значення r( ) . Якщо =0, то маємо парний кое-

фіцієнт кореляції. Значення r( ) містяться на множині r(t) 1,1 . Найбільше значення r(t ) за модулем (найближче до одиниці)

визначає зрушення, або часовий лаг. Якщо серед множини значень r( ) є кілька, величини яких наближаються до одиниці, то

це означає, що запізнення впливу змінної xt відбувається про-

тягом певного проміжку часу і в результаті маємо кілька часових лагів для двох взаємопов’язаних часових рядів. Розрахувавши часові лаги для визначення взаємозв’язку між економічними показниками, можна побудувати економетричну модель розподіленого лагу.

Приклад 10.1. На основі двох взаємозв’язаних часових рядів, які характеризують чисту продукцію та капітальні вкладення Республіки Сирії за 20 років, знайдемо r( ) , використовуючи (10.8). Вихідні дані наведені в табл. 10.1.

367

Таблиця 10.1

(У порівнянних цінах 1985 р. млн сирійських лір)

Значення r( ) при різних значеннях наведено в табл. 10.2.

Таблиця 10.2

Величина є зрушенням. Зрушення, якому відповідає найбільший коефіцієнт взаємної кореляції, називається часовим запізненням, або часовим лагом. У нашому прикладі найбільший ко-

ефіцієнт взаємної кореляції r( ) =0,92. Він відповідає трьом

значенням ={3,4,5}. Звідси випливає, що найбільший вплив капітальних вкладень на обсяг чистої продукції треба очікувати на третьому, четвертому і п’ятому роках.

368

Графік кореляційної функції називається корелограмою. Корелограма взаємної кореляційної функції, що побудована

для заданих часових рядів, зображена на рис. 10.1.

r ( ) 1

0,8

0,6

0,4

0,2

–0,2

Рис. 10.1. Корелограма функції

З графіка, зображеного на рис. 10.1, бачимо що найбільше значення взаємна кореляційна функція набуває на третьому, четвертому і п’ятому зрушеннях. Між капітальними вкладеннями і чистою продукцією існує часовий лаг в три, чотири і п’ять років. На даному проміжку часу слід очікувати найбільшого приросту чистої продукції від початку інвестування.

Динамічна модель розподіленого лагу в такому разі запишеться так:

та продукція в період t; xt ( =3,4,5) — капітальні вкладення в період t .

10.3.Лаги залежних і незалежних змінних

10.3.1.Лаги незалежних змінних. Наявність мультиколі-

неарності між лаговими змінними ускладнює побудову економетричної моделі з лаговими змінними.

369

Один із способів звільнитися від мультиколінеарності — це ввести такі коефіцієнти при лагових змінних, які мали б однаковий знак і для них можна було знайти суму. З урахуванням умов (10.3) — (10.6) модель з розподіленим лагом набере такого вигляду:

yt a wj xt ut . (10.10)

j 0

Л. Койк запропонував вибрати для запису вагових коефіцієнтів форму спадної геометричної прогресії

Якщо через D позначити оператор зрушення такий, що Dxt=xt– 1, D2xt=xt–2 і т. д., то вираз (10.11) можна записати так:

w0 w1D w2 D2 ... (1 )(1 D 2 D2 ...) 11 D .

З урахуванням цього модель (10.12) матиме вигляд:

yt a(1 ) xt ut . 1 D

Це припущення, що його зробив Койк, приводить до значних спрощень співвідношення (10.11). Адже замість оцінки цілого ря-

ду параметрів моделі aj достатньо дати оцінки лише двох парамет-

рів w і у рівнянні, де yt розглядається як функція xt і yt 1 .

Діставши оцінку параметра і скориставшись співвідношенням (10.11), можна обчислити всі вагові коефіцієнти. Середнє

значення розподілу дорівнює 1 , тому для геометричного розподілу середній лаг

1 .

Входження до формули (10.12) лагового значення змінної Y може забезпечити досить добру апроксимацію моделі.

370

Зауважимо, що не завжди лаги розподілятимуться обов’язково за законом Койка, який забезпечує найближчому значеннюX найбільшу вагу, а всім наступним — постійно спадні ваги. Якщо можна припустити, що це не так, то тоді лишається кілька перших вагових коефіцієнтів вільними, а для решти використовується закон розподілу Койка.

Наприклад, можна записати

де перші два коефіцієнти лишаються вільними, а починаючи з a2

вони спадають геометрично. Використаємо оператор зрушення D для скороченого запису моделі (10.13).

Рівняння (10.13) можна подати у вигляді

1 a2 D xt 2 yt 1 (ut ut 1 ).

Якщо модель має дві пояснювальні змінні, скажімо, X і Z, то розподілені лаги Койка можуть бути використані для кожної з них. Найпростіше припустити, що для обох змінних вибирається однакове значення .

Тоді модель розподіленого лагу

yt a(1 )xt b(1 )zt yt 1 (ut ut 1) .

Якщо взяти параметри λ різними для різних пояснювальних змінних, то до моделі треба ввести змінні xt, zt, yt з оператором зрушення Dxt=xt–1, D2xt=xt–2, Dzt=zt–1, D2zt=zt–2, Dyt=yt–1, D2yt=yt–2.

Запишемо модель, коли різні пояснювальні змінні включаються з різними параметрами

yt a(1 1)xt a 2 (1 1)xt 1 b(1 2 )zt

b 1(1 2 )zt 1 ( 1 2 ) yt 1 1 2 yt 2

[ut ( 1 2 )ut 1 1 2ut 2 ].

Отже, припущення, зроблені Койком, зумовлюють появу в правій частині рівняння величин yt 1 і yt 2 . При цьому для змін-

371

ної yt 1 слід узяти суму параметрів 1 і 2 , а для змінної yt 2 —

їх добуток. Аналогічно діють із залишками ut–1 і ut–2. Розглянемо ще один підхід до розв’язування задачі вибору ва-

ги для коефіцієнтів моделей при лагових пояснювальних змінних, який був запропонований Ширлі Алмон [2].

Нехайеконометричнамодельрозподіленоголагузапишетьсятак:

a 0, 1, 2,... , необхідно визначити величину . У попередньому

розділі ми показали, як це можна зробити, скориставшись взаємною кореляційною функцією.

Метод Ширлі Алмон базується на теоремі Веєрштрасса, яка стверджує, що неперервна функція на замкнутому інтервалі може бути апроксимована на всьому відрізку многочленом певного степеня, який відрізняється від цієї функції в будь-який точці даного відрізка менш ніж на будь-яке задане фіксоване число.

За цією теоремою значення параметрів моделі апроксимують az f z , яка запишеться у вигляді

f z b0 b1z b2 z2 b3z3 ... br zs .

Теорема Веєрштрасса не містить будь яких вказівок щодо степеня многочлена, який відповідав би заданому рівню точності. Сутність динаміки взаємозв’язків економічних процесів дає можливість припустити, що в цьому випадку можна застосувати многочлен невисокого степеня s=3, або s=4.

Узявши s=3 і а=6, дістанемо таку схему для оцінювання параметрів моделі розподіленого лагу:

372

Це означає, що кожну з оцінок параметрів моделі розподіленого лагу подано через чотири невідомі параметри многочлена:

b0 ,b1,b2 ,b3 .

Підставивши оцінку з (10.16) в модель (10.15), дістанемо:

Коефіцієнти в рівнянні (10.17) можна оцінити, побудувавши регресійні рівняння залежності вектора Y від чотирьох змінних,

визначених виразами, що стоять у дужках. Оцінки параметрів a€j

в моделі розподіленого лагу будуть визначені після підставлення знайдених параметрів bj у рівняння (10.16).

Якість оцінок параметрів bj залежатиме від дисперсійнокореляційної матриці змінних у рівнянні (10.17), яка запишеться так:

де V — матриця пояснювальних змінних рівняння (10.17). Вибіркові дисперсії оцінок параметрів a€j , здобуті в (10.16),

запишуться у вигляді:

var a€j u2Ci V V 1C , i=0, 1, … k,

де Ci — вектор коефіцієнтів для кожного параметру a€j . Напри-

клад, для a2 вектор С2=(1 2 4 8).

Це найпростіший підхід до визначення оцінок моделі розподіленого лагу на основі використання многочлена, який запропоновано Ширлі Алмон.

10.3.2. Лаги залежної змінної. Коли використовувати схему Койка для економетричної моделі, яка має лагові пояснювальні змінні, то в правій частині моделі серед таких змінних з’являється лагова залежна змінна yt– . Зїї появою стають стохастичними пояснювальні змінні моделі.

До появи в правій частині моделі лагових значень залежної змінної приводять і деякі інші моделі. Добре відомими моделями

373

такого типу є модель часткового коригування і модель адаптивних сподівань.

Коли відсутнє повне уявлення про об’єкт, його інерційність, то застосовується метод часткового коригування. Розглянемо його.

Нехай

У цьому рівнянні yt* розглядається як оптимальне значення yt,

яке відповідає xt. Так, наприклад, якщо xt — дохід, то yt може визначати розмір оптимальних витрат за доходу xt. Нехай дохід xt різко змінюється (збільшується чи зменшується). Згідно з цим споживчі витрати yt можуть не змінитись адекватно доходу з різних причин: певна інерційність, недостатня інформація, договірні умови і т. ін. Тому в цьому випадку використаємо коригувальну функцію:

яка вказує, що протягом поточного періоду часу буде пройдено лише частину відстані між вихідним станом yt 1 та оптимальним

yt* . Об’єднавши (10.18) і (10.19), дістанемо модель часткового коригування:

yt xt (1 ) yt 1 ut , 0 1. (10.20)

Ця залежність дуже схожа на кінцеве рівняння Койка (10.12). Вона відрізняється від (10.12) лише наявністю вільного члена і

простішою формою залишків.

Недоліком моделі часткового коригування є те, що оптималь-

374

де xt* — очікуване значення xt, яке сформоване в поточний момент часу, ut— залишки, які можуть бути пов’язані з неточним вимірюванням значення змінної xt*.

Оскільки xt* — очікуване значення, то слід доповнити модель (10.20) деякими припущеннями відносно формування очікувано-

Це означає, що змінні, які спостерігатимуться протягом поточного періоду порівняно з очікуваними раніше, ураховуються лише частково, що й відбиває формула (10.22) — додатне число, яке не перевищує одиниці. Щоб перейти до змінних xt , які

фактично спостерігаються, запишемо: xt* xt* 1 xt ,

де 1 ,

Використовуючи оператор зрушення D, можна записати: xt* 1 D xt .

помноживши обидві частини на 1 D, дістанемо: yt Dyt (1 D) xt ut (1 D),

або

yt yt 1 (1 ) (1 )xt ut (1 ut 1 ).

Остаточно це рівняння матиме вигляд

yt (1 ) (1 )xt yt 1 ut (1 ut 1 ).

Останнє рівняння є простою моделлю адаптивних сподівань. Порівнявши його з (10.20), побачимо, що воно має такі самі змін-

375

ні, як і модель часткового коригування, відрізняється лише формуванням залишків. Модель адаптивних сподівань відрізняється від схеми Койка лише наявністю вільного члена.

Остаточні рівняння всіх трьох моделей практично збігаються, бо як у моделі адаптивних сподівань, так і в моделі часткового коригування використовуються вагові коефіцієнти, що спадають за геометричною прогресією.

10.4. Методи оцінювання

Коли схема формування вагових коефіцієнтів задовольняє припущення Койка, модель часткового коригування або модель адаптивних сподівань, то у правій частині економетричної моделі виникає лагове значення залежної змінної Y. Це зумовлює певні проблеми в оцінюванні параметрів такої моделі. Розглянемо ці проблеми.

Нехай економетрична модель має такий вигляд

де vt— залишки в період t.

Як ми вже переконалися, методи оцінювання параметрів моделі залежать від гіпотез, які будуть прийняті щодо залишків vt .

Гіпотеза 1. Залишки є випадковими величинами і розподіляються за нормальним законом, тобто vt N (0, v2 ) .

Гіпотеза 2. Залишки виражені через параметр , тобто vt ut ut 1, 0 1:

Перша гіпотеза найпростіша, а тому єдина складність в оцінюванні параметрів моделі пов’язується з наявністю в правій частині лагової змінної yt 1.

Друга гіпотеза відповідає схемі Койка і моделі адаптивних сподівань. При цьому розглядаються два варіанти:

376