Econometrics

k Sr nr k yir yr 2 . r 1

де n — загальна сукупність спостережень; nr — кількість спостережень r-ї групи.

Крок 5. Обчислюється критерій:

k 1 , коли дисперсія всіх спостережень однорідна. Тобто якщо значення не менше за табличне значення 2 за вибраного рів-

ня довіри і ступені свободи k 1, то спостерігається гетероскедастичність.

Приклад 7.2. Для даних, які наведено у прикладі 7.1, перевіримо наявність гетероскедастичності згідно з критерієм .

Розв’язання

Крок 1. Розіб’ємо дані залежної змінної, які наведені в таблиці 7.1, на три групи, по шість спостережень у кожній.

6

У такому разі Гольдфельд і Квандт запропонували розглянути випадок, коли M (uu ) u2 xij2 , тобто дисперсія залишків зростає

пропорційно до квадрата однієї з незалежних змінних моделі:

Y=XA+u.

Для виявлення наявності гетероскедастичності згадані вчені склали параметричний тест, в якому потрібно виконати такі кроки.

Крок 1. Упорядкувати спостереження відповідно до величини елементів вектора Xj.

Крок 2. Відкинути c спостережень, які містяться в центрі вектора. Ця процедура дасть змогу порівняти дисперсії залишків для найменших та найбільших значень пояснювальної змінної. Згідно з експериментальними розрахунками автори знайшли оптимальні співвідношення між параметрами c і n для 30—60 спостережень, де n — кількість елементів вектора X j :

nc 154 .

Крок 3. Побудувати дві економетричні моделі на основі 1МНК за двома утвореними сукупностями спостережень обсягом

S1 u1u1 ,

де u1 — залишки за моделлю (1);

S2 u2u2 ,

який у разі виконання гіпотези про гомоскедастичність відповідатиме F-розподілу з (n c 2m)2 , (n c 2m)2 ступенями сво-

боди. Це означає, що обчислене значення R* порівнюється з таб-

8

личним значенням F-критерію для ступенів свободи (n c 2m)2

Приклад 7.3. У табл. 7.3 наведено дані про загальні витрати та витрати на харчування сімей. Для цих даних перевірити гіпотезу про наявність гетероскедастичності.

Таблиця 7.3

Розв’язання.

1. Ідентифікуємо змінні:

Y — вектор витрат на харчування, залежна змінна;

X — вектор загальних витрат, незалежна змінна.

Y=f(X, u).

2.Для перевірки гіпотези про наявність гетероскедастичності застосуємо параметричний тест Гольдфельда—Квандта.

9

2.1.Упорядкуємо значення незалежної змінної від меншого до більшого і відкинемо c значень, які містяться всередині впорядкованого ряду:

nc 154 , c 4.

У результаті матимемо дві сукупності спостережень:

2.2.Побудуємо дві економетричні моделі на основі двох новостворених сукупностей спостережень.

2.3.Визначимо залишки за цими двома моделями:

Залишки та квадрати залишків наведено в табл. 7.3.

2.4. Обчислимо дисперсії залишків та знайдемо їх співвідношення:

2.5. Порівняємо критерій R* з критичним значенням F- критерію при 1=5 і 2=5 ступенях свободи і значущості =0,01

F( =0,01) = 11. Оскільки R* > Fкр , то вихідні дані з імовірністю 0,99 мають гетероскедастичність.

7.3.3. Непараметричний тест Гольдфельда— Квандта. Гольдфельд і Квандт для оцінювання наявності гетероскедастичності запропонували також непараметричний тест. Цей тест базується на числі піків у динаміці величини залишків

після впорядкування спостережень за xij .

Закономірність зміни величини залишків, коли дисперсія є сталою, — явище гомоскедастичності ілюструє рис. 7.1, а на рис.7.2 спостерігається явище гетероскедастичності.

Цей тест, звичайно, не такий надійний, як параметричний, але він досить простий.

10

Зауважимо, що на рис.7.1 зображено, як змінюються залишки, що мають сталу дисперсію, а на рис.7.2 — залишки, дисперсія яких змінюється для різних груп спостережень.

Приклад 7.4. Дослідимо залежність залишків від кожної із пояснювальних змінних, за якими побудовано економетричну модель прибутку (див. приклад 4.2).

Подамо цю залежність графічно.

Рис. 7.3. Коливання залишків на основі змінної X1

Рис. 7.4. Коливання залишків на основі змінної X2

11

Рис. 7.5. Коливання залишків на основі змінної X3

На кожному з рис. 7.3—7.5 наведено коливання залишків навколо нуля, тобто свого математичного сподівання. Як видно з цих рисунків, залишки «розсіяні» навколо нуля без певної тенденції. А це означає, що залишки не є гетероскедастичними щодо цих змінних.

7.3.4. Тест Глейзера. Ще один тест для перевірки гетероскедастичності запропонував Глейзер. Він розглядає регресію

модуля залишків ui , що відповідають регресії найменших квадратів, як певну функцію від X j , де X j — та незалежна змінна,

яка відповідає зміні дисперсії u2 . Для цього використовуються такі види функцій:

Рішення про відсутність гетероскедастичності залишків при-

ймається на підставі статистичної значущості коефіцієнтів a0 і a1. Переваги цього тесту визначаються можливістю розрізняти випадок чистої і мішаної гетероскедастичності.

У першому випадку залишки гетероскедастичні, причому існує чиста і мішана гетероскедастичність. У другому випадку залишки мають мішану гетероскедастичність. Третій випадок свідчить про наявність чистої гетероскедастичності. У четвертому випадку гетероскедастичність відсутня.

Приклад 7.4. Нехай потрібно перевірити наявність гетероскедастичності для побудови економетричної моделі, яка описуватиме залежність між рівнем заощаджень і доходом. Вихідні дані наведено в табл. 7.4.

12

7a€0 88,4a€1 15,47;

88,4a€0 1127,66a€1 195,443.

Звідси a€0 =2,122; a€1 =0,007.

Економетрична модель має вигляд

за другою сукупністю спостережень, починаючи від дванадцятого до вісімнадцятого місяця.

Система нормальних рівнянь для визначення параметрів цієї моделі запишеться так:

7a€0 163a€1 24,02;

163a€0 3842,64a€1 567,083.

Звідси a€0 = – 0,408; a€1 = 0,165.

Економетрична модель має вигляд: II: Y 0,408 0,165X .

Крок 5. Знайдемо розрахункові значення залежної змінної мо-

делі € — розміру заощадження за кожною з двох моделей, і ви-

Y

значимо відхилення фактичних значень заощаджень від розрахункових.

14