Econometrics

Замінимо лагову пояснювальну змінну Et–1 інструментальною Zt яка, як уже було сказано, визначена як порядковий номер відхилень Et–1 від своєї середньої, що ранжовані від меншого до більшого значення.

Таблиця 9.5

Оцінимо параметри моделі експорту методом інструментальних змінних, матричний оператор якого запишеться так:

У відповідності з цим оператором сформуємо матриці X, Z:

358

Звідси економетрична модель експорту цукру запишеться:

Et=366,3634+0,5063Et–1+0,3914Vt–783,5237Iut.

Коваріаційна матриця оцінок параметрів цієї моделі дорівнює:

а стандартні похибки оцінок параметрів моделі запишуться:

1372,605

0,266073

Sa€j 0,313217 .

833,5783

Коефіцієнт детермінації цієї моделі дорівнює: R2=0,90, F- критерій дорівнює: F=21,05. Звідси за приведеними кількісними

359

характеристиками можна зробити висновок про статистичну значущість економетричної моделі експорту цукру в цілому. Але серед оцінок параметрів моделі лише оцінка a€1 є статистично зна-

чущою, про що свідчить t-критерій.

Таку ситуацію можна пояснити насамперед малою сукупністю спостережень, наявністю мультиколінеарності між змінними Et–1

і Vt rEt 1Vt 0,89 .

Не останню роль відіграє в даному випадку і експортна та імпортна політика України і Росії.

Наведені розрахунки дають можливість показати використання методу інструментальних змінних у випадку, коли серед пояснювальних змінних є лагове значення залежної змінної.

9.6. Стислі висновки

1.В економетричній моделі Y=XA+u пояснювальні змінні X можуть бути як детермінованими, що набувають своїх значень з

деякої множини фіксованих чисел, так і стохастичними, які набувають своїх значень з певним рівнем імовірності.

2.Якщо пояснювальні змінні X є стохастичними і функція розподілу їх жодним чином не пов’язана з параметрами A і u2 та змінні X

розподілені незалежно від залишків u, то основна частина висновків про перевірку значущості моделі та її параметрів, побудову довірчих інтервалів справджуватиметься й тоді, коли X — стохастичні величини.

3.У загальній лінійній моделі зі стохастичними пояснювальними змінними асимптотичні властивості оцінок 1МНК будуть характеризуватись такими співвідношеннями:

а) M (u X ) M (u) 0;

б) M (Y X ) XA M ( X ) XA;

в) M (uu X ) u2 E.

До того ж висуваються такі припущення:

360

в) p lim 1 X ' u 0.

n n

У цьому випадку 1МНК забезпечує обґрунтовану оцінку асимптотичних дисперсій і коваріацій помилок, коли в моделі пояснювальні змінні є стохастичними.

4.Якщо не виконується припущення, що границя за ймовірністю коваріацій між змінними X і залишками u не дорівнює нулю,

сукупностей можуть мати зміщення.

5.Кореляція між змінними X і залишками u може виникати з різних причин; основними з них є три:

1)помилки вимірювання пояснювальних змінних;

2)наявність у моделях лагових змінних;

3)побудова економетричної моделі на основі системи одночасових структурних рівнянь.

6.У разі існування кореляції між пояснювальними змінними та залишками для оцінювання параметрів моделі можна застосувати альтернативний метод, який називається методом інструментальних змінних.

Оператор оцінювання вектора a€ за допомогою інструментальних змінних запишеться так:

A (Z X ) 1 Z Y .

Цей вектор забезпечує визначення обґрунтованої оцінки параметрів моделі. Асимптотична матриця коваріацій:

asycov(A) u2 (Z X ) 1 (Z Z )( X Z ) 1.

7.Застосування методу інструментальних змінних пов’язане зі знаходженням змінних, які можна використовувати як інструментальні. Вимоги до інструментальних змінних коротко можна сформулювати так:

1)інструментальні змінні Z мають бути тісно пов’язані з X; 2) Z не пов’язані із залишками u.

8.В економетричних дослідженнях пропонуються три методи визначення інструментальних змінних, за якими знайдені оператори оцінювання параметрів моделі:

361

1)оператор оцінювання Вальда;

2)оператор оцінювання Бaртлета;

3)оператор оцінювання Дарбіна.

9.Оператори оцінювання Вальда і Бaртлета застосовуються тоді, коли економетрична модель є парною, тобто має вигляд yt=a0+a1xt+ut, а оператор оцінювання Дарбіна може бути застосований і тоді, коли економетрична модель має більш як одну пояснювальну змінну.

10.В операторі оцінювання Вальда інструментальні змінні визначаються так:

1)знаходиться відхилення кожного елемента пояснюючої змінної від медіани;

2)величини, що мають знак «плюс», замінюються одиницями, а величини, що мають знак «мінус» — одиницями з цим знаком.

Використовуючи ці інструментальні змінні в операторі A (Z X ) 1 Z Y , дістаємо оцінки Вальда:

де x2 і x1 — середні значення відхилень пояснюючої змінної відповідно вгору і вниз від медіани, а y2 і y1 — середні значення залежної змінної, які відповідають середнім x2 і x1 .

11.В операторі оцінювання Бaртлета інструментальні змінні визначаються, як і в операторі Вальда. Але Бартлет запропонував розбити упорядковані значення змінної X на три групи однакового розміру і вилучити середню групу спостережень з розрахунку. Оператор оцінювання параметрів Бaртлета:

де y3 , y1 , x3 , x1 — середні значення змінних для спостережень

третьої і першої груп.

12.В операторі оцінювання Дарбіна інструментальні змінні визначаються так:

1)значення вектора X упорядковуються в порядку зростання;

2)упорядковані значення X замінюються порядковим номером (рангом), тобто числами 1, 2, 3, 4, ... , n.

Оператор оцінювання має вигляд

362

де it — порядковий номер (інструментальна змінна).

Якщо оператор оцінювання Дарбіна застосовується тоді, коли економетрична модель має кілька пояснювальних змінних, то спочатку відшукуються відхилення значень кожної змінної від її середнього значення, потім вони упорядковуються за зростанням і кожному присвоюється порядковий номер.

Часто під час вимірювання змінних, які входять до економетричної моделі, припускаються помилок. У такому разі оцінка параметрів 1МНК матиме зміщення, яке можна записати так:

Цього зміщення можна уникнути, якщо для оцінювання параметрів моделі скористатися методом інструментальних змінних.

1.Що таке детерміновані і стохастичні пояснювальні змінні?

2.Які властивості мають оцінки параметрів моделі в разі стохастичних пояснювальних змінних моделі?

3.Назвіть асимптотичні властивості оцінок параметрів моделі. Дайте основні визначення.

4.Покажіть обґрунтованість оцінок параметрів моделі при стохастичних пояснвальних змінних.

5.Коли оцінка параметрів моделі 1МНК стає необґрунтованою? 6.Якщо пояснювальні змінні X корелюють із залишками u, то який

метод оцінювання параметрів моделі доцільно застосувати?

363

7.Запишіть оператор оцінювання за методом інструментальних змінних (МІЗ).

8.Які вимоги ставляться до інструментальних змінних? Які властивості має матриця Z?

9.ЗапишітьасимптотичнуматрицюковаріаційпараметрівнаосновіМІЗ. 10.Визначте оператор оцінювання Вальда.

11.Назвіть особливості оцінювання методом Бaртлета.

12.Дайте характеристику оператору оцінювання Дарбіна.

14.Використовуючи дані завдання 13, визначте параметри моделі за оператором оцінювання Бaртлета. Порівняйте знайдені оцінки параметрів з оцінками для завдання 13.

15.Використовуючи дані завдання 13, визначте оцінку параметрів моделі за методом Дарбіна. Порівняйте знайдені оцінки з оцінками завдань 13і14.

16.Обчисліть середньоквадратичну похибку оцінок параметрів моделі, знайдених у завданнях 13, 14, 15. На підставі середньоквадратичної похибки зробіть висновок про рівень ефективності оцінок, обчислених за різними алгоритмами МІЗ.

17.Чи буде обґрунтованою оцінка параметрів моделі, коли змінні X мають помилки вимірювання? Відповідь обґрунтуйте.

18.Як визначається величина зміщення параметрів за наявності помилки вимірювання змінних?

9.8. Основні терміни і поняття

Метод інструментальних змінних Стохастичні пояснювальні змінні Асимптотичне математичне сподівання Асимптотична дисперсія Асимптотична матриця коваріацій параметрів Лагова змінна Помилки вимірювання пояснювальних змінних Оператор оцінювання Вальда Оці-

364

нювання методом Бaртлета Інструментальна змінна Оператор оцінювання Дарбіна

365

Розділ 10

МОДЕЛІ РОЗПОДІЛЕНОГО ЛАГУ

10.1. Поняття лагу і лагових змінних

Для багатьох економічних процесів типовим є те, що ефект від впливу деякого фактора на показник, який характеризує процес, виявляється не одразу, а поступово, через деякий період часу. Таке явище називається лагом (запізненням).

Потреба враховувати лаг під час кількісного вимірювання взаємозв’язку між економічними показниками постає дуже часто. Наприклад, у динамічних моделях необхідно враховувати лаг при визначенні зв’язку між обсягом продукції і капітальними вкладеннями, або частину цього лагу — будівельний.

Кількісне визначення взаємозв’язку між капітальними вкладеннями і введенням основних фондів, між витратами виробничих ресурсів і обсягом виробництва, між доходами і витратами, тощо має базуватися на врахуванні впливу запізнення, або лагу. При цьому вплив деяких пояснювальних змінних на залежну може проявлятися не лише через певний період часу, а й протягом певного часу, тобто лаг може складатися з кількох часових періодів. У такому разі маємо справу з економетричною моделлю розподіленого лагу.

Нехай економетрична модель розподіленого лагу визначається так:

вальна лагова змінна; — період зрушення; ut — залишки, що

розподілені нормально, тобто мають нульове математичне сподівання і сталу дисперсію.

Означення 10.1. Модель (10.1) називається загальною мо-

деллю нескінченного розподіленого лагу, якщо для неї справ-

365

Означення 10.2. Коефіцієнти a j , j=0,1,2..., називаються коефіцієнтами лагу, а послідовність a {a j : j 0,1,2,...} — структурою лагу.

Означення 10.3. Якщо виконуються умови (10.3) — (10.6), то величини wj , j 0,1,2,..., називаються нормованими коефіцієн-

мованою структурою лагу для моделі (10.1).

Моделі розподілених лагів можуть порівняно добре описувати процеси лише в тому разі, коли забезпечена відносна стабільність умов, в яких ці процеси реалізуються. Може йтися про стабільність відповідних індексів цін, процентних ставок за кредити, норми амортизації, термінів будівництва, обсягів та структури ресурсів. Така стабільність далеко не завжди спостерігається для порівняно довгих проміжків часу, протягом яких формується сукупність спостережень. Усе це призводить до побудови уза-

гальненої моделі розподіленого лагу, яка містить не лише лагові змінні, а й інші фактори — пояснювальні змінні z1, z2 ,..., zm , що

характеризують поточні умови функціонування економічних систем у періодt.

Узагальнена модель розподіленого лагу задаватиметься рівнянням

де zt,s — s-та пояснювальна змінна в період t.

Труднощі оцінювання параметрів такої моделі пов’язані з необхідністю враховувати обмеження на параметри a .

366