Econometrics

де x2 і x1 характеризують середні відхилення значень X відпові-

Коли вибіркова сукупність містить непарну кількість спостережень, то перш ніж розпочинати обчислення, необхідно відкинути середнє спостереження.

За загальних припущень оцінка, яку здобуто методом Вальда, є обґрунтованою, але її вибіркова дисперсія може бути досить великою, тобто оцінка є неефективною.

9.3.2. Особливості оцінювання методом Бaртлета.

Бартлет показав, що ефективність оцінки можна збільшити, якщо розбити впорядковані значення змінної X на три групи однакового розміру. Перша з них містить найменші значення X, друга — середні, а третя — найбільші. Вилучивши середню групу — n/3 спостережень, дістанемо оцінку для параметра:

348

де x3 , x1 , y3 , y1 — середні величини двох крайніх груп спостере-

жень. Вільний член оцінюється так само, як і в (9.18).

Поділ вибіркової сукупності спостережень на три рівні групи доцільно використовувати у прикладних дослідженнях, оскільки немає змоги дістати точну інформацію про закон розподілу значень X.

9.3.3. Оператор оцінювання Дарбіна. Дарбін запропо-

нував упорядковувати значення вектора X в порядку зростання, і ввів як інструментальну змінну порядковий номер (ранг), тобто числа 1, 2, 3, 4, ... n. Учений показав, що для великих вибіркових сукупностей ефективність оцінок параметрів моделі становитиме майже 96% від ефективності оцінок 1МНК, а для сукупностей n=20 ефективність оцінок згідно з оператором Дарбіна становить близько 86%.

Модель Дарбіна не має вільного члена. Щоб застосувати цей метод для оцінювання всіх параметрів моделі, зокрема й для вільного члена, матриці змінних Z' i X' подамо у вигляді:

і

Метод Дарбіна можна застосовувати і тоді, коли модель містить декілька пояснювальних змінних. У такому разі спочатку

349

знаходяться відхилення значень кожної змінної од відповідного середнього значення. Потім ці відхилення упорядковуються за зростанням і кожному з них присвоюється порядковий номер.

9.4. Помилки вимірювання змінних

Раніше ми припускали, що змінні вимірюються без помилок, і лише відхилення u — це єдина припустима форма помилок. Останнє було пов’язане з наміром врахувати вплив різних пояснювальних змінних, які не входять до економетричної моделі в явному вигляді.

Проте досить часто під час вимірювання змінних, які належать до економетричної моделі, припускаються помилок. Тоді постає запитання, як наявність помилок змінних може вплинути на оцінку параметрів моделі?

Щоб відповісти на це запитання, розглянемо матрицю незалежних змінних X, елементи якої містять помилки.

Нехай

де ~ — матриця розміром n×m справжніх (фактичних) значень,

X

а V — матриця помилок вимірювання. Тоді модель має вигляд

~

Y Xa u,

Оцінка параметрів для цієї моделі 1МНК матиме вигляд

A A ( X X ) 1 X (u VA),

де (X X ) 1 X (u VA) — величина зміщення оцінки.

Обґрунтованість цієї оцінки залежить від того, чи дорівнює границя за ймовірністю нулю

350

Запишемо

Якщо «справжні» значення змінних X і їх помилки не корелюють із залишками, то

Але насправді границя за ймовірністю (9.24) дорівнює:

Отже, навіть тоді, коли помилки вимірювання змінних X не корелюють зі справжніми значеннями цих змінних, і перший доданок у правій частині дорівнює нулю, другий доданок, який характеризує матрицю коваріацій помилок, здебільшого не дорівнює нулю. А це означає, що за наявності помилок вимірювання змінних оцінка параметрів моделей 1МНК є необґрунтованою і асимптотичне зміщення визначається формулою

Наприклад, якщо ми оцінюємо параметри моделі з двома змінними 1МНК, то зміщення параметра a:

справжніх значень X, причому припускаємо, що помилки вимірювання не корелюють із цими значеннями X.

Рівняння (9.25) показує, що оцінка справжнього значення параметра моделі занижена. Наприклад, хоч би як ми збільшували

351

на 10%, тобто за наявності помилок вимірювання змінних збільшення сукупності спостережень не компенсує зміщення.

Тому при оцінюванні параметрів економетричної моделі, коли трапляються помилки вимірювання змінних, доцільно застосувати метод інструментальних змінних, який ми розглянули раніше.

Приклад 9.1. Побудувати економетричну модель методом інструментальних змінних, яка характеризує залежність між зайнятістю населення і виробництвом продукції, скориставшись даними, наведеними в табл. 9.1.

Таблиця 9.1

Розв’язання

1. Ідентифікація змінних і специфікація моделі.

Нехай xt — виробництво продукції, незалежна (пояснювальна) змінна, yt— зайнятість населення, залежна змінна.

Економетрична модель має вигляд yt=a0+a1хt+ut;

yt a€0 a€1xt .

2. Оцінка параметрів моделі.

Оскільки вихідні дані можуть мати помилки вимірювання, то для оцінювання параметрів моделі застосуємо метод інструментальних змінних.

2.1. Оператор оцінювання за методом інструментальних змінних

352

де Z — матриця інструментальних змінних; X — матриця пояснюючих змінних.

2.2. Визначимо матрицю інструментальних змінних за методом Дарбіна. Для цього впорядкуємо значення вектора X від меншого до більшого і надамо кожному елементу цього вектора порядковий номер. Запишемо ці дані в табл.9.2.

Оскільки економетрична модель має вільний член, перший рядок матриці інструментальних змінних складається з одиниць,

353

а другий є інструментальною змінною замість вектора пояснювальної змінної X.

1 1281 1301 133

1 142

Матриця X має такий вигляд: X 1 157 .

1 1681 1941 1951 2051 225

2.3. Знайдемо оцінки параметрів моделі

де іt — інструментальна змінна, порядковий номер, a€0 y a€1x 118,7 0,6816 167,8 4,395.

Звідси економетрична модель запишеться так: yt 4,395 0,681xt .

2.4. Підставимо значення змінної xt в модель і знайдемо розрахункові значення залежної змінної — зайнятості населення ( yt ).

Ці значення і відхилення їх від фактичних наведено в табл. 9.2. 3. Визначимо коваріаційну матрицю оцінок параметрівмоделі:

354

4. Знайдемо стандартні похибки оцінок параметрів моделі

Оскільки стандартна похибка оцінки параметра a€1 становить

близько 17% до її абсолютного значення, а стандартна похибка вільного члена перевищує його абсолютну величину в кілька разів, то можна стверджувати про наявність зміщення цих оцінок параметрів моделі та їх неефективність.

9.5. Економетрична модель експорту продукції із стохастичними пояснювальними змінними

Розглянемо динамічну економетричну модель експорту продукції, яка в загальному вигляді запишеться так:

Et f Et 1,Vt , Iut ,ut ,

де Et — експорт продукції в період t;

Et-1 — експорт продукції в період t – 1;

Vt — обсяг виробництва продукції в період t;

Iut — індекс співвідношення цін на продукцію на зовнішньому та внутрішньому ринках;

355

ut — стохастична складова, яка характеризує вплив на експорт продукції випадкових чинників у період t.

Специфікуємо цю модель у лінійній формі:

Et=a0+a1Et–1+a2Vt+a3Iut+ut. (9.26)

Пояснювальні змінні даної моделі є стохастичними, бо експорт продукції в період t (Et) залежить від стохастичної складової ut, а експорт продукції в період t – 1 (Et–1) залежить від стохастичної складової ut–1. Звідси, оскільки Et залежить від Et–1, то Et–1 залежить від ut.

Цей взаємозв’язок вимагає розглядати всю матрицю пояснювальних змінних як стохастичну і спонукає висунути гіпотезу щодо залежності матриці пояснювальних змінних і залишків. Тому для оцінювання параметрів даної моделі потрібно застосувати метод інструментальних змінних або двокроковий метод найменших квадратів, який буде розглянуто пізніше.

Побудуємо цю економетричну модель, аналізуючи експорт цукру з України в Росію на основі статистичної інформації за 12 років (з 1990 по 2001 р. включно).

У даній моделі замість лагової залежної змінної Et–1 використаємо інструментальну змінну Zt.

Для визначення цієї інструментальної змінної знайдемо відхилення змінної Et–1 від своєї середньої, а потім проранжуємо величину відхилень від меншого до більшого значення. Пронумеруємо ранжовані значення відхилень змінної Et–1 і цей порядковий номер використаємо в економетричній моделі експорту цукру як інструментальну змінну (метод Дарбіна).

Запишемо економічну інформацію в табл. 9.3.

356

Ідентифікуємо змінні моделі:

Et — обсяг експорту цукру в період t, залежна змінна;

на;

Et–1 — обсяг експорту цукру в період t–1, пояснювальна змін-

Vt — обсяг виробництва цукру в період t, пояснювальна змінна; Iut — співвідношення цін на цукор на російському та україн-

ському ринках.

Сукупність спостережень зменшиться на одиницю, бо за умови лагової змінної Et–1 експорт в період t потрібно подати без першого спостереження, а експорт у період t–1 — без останнього. Звідси обсяг виробництва цукру в період t та індекс цін потрібно розглядати без першого спостереження.

Запишемо ці змінні в табл. 9.4.

Таблиця 9.4

357