Econometrics

суму квадратів залишків, а на основі 1МНК знаходимо

складається з двокрокової процедури. На першому кроці визначаються 1МНК оцінки параметрів моделі

yt a0 a j xt j ut ,

j

де ut= ut–1+ t, або ut= 1ut–1+ 2ut–2+ t і т. д.

На другому кроці 1МНК застосовується для перетворених

даних з допомогою параметра , який визначено на першому кроці, тобто змінні наберуть вигляду (yt– yt–1), (xtj– xtj–1).

Коефіцієнт при xtj– xtj–1 є оцінкою параметра aj, а вільний член, поділений на , — оцінкою параметра a0.

11.Оцінку прогнозного рівня залежної змінної можна дістати, скориставшись таким співвідношенням:

42

1.Дайте означення автокореляції.

2.Які причини виникнення автокореляції залишків?

3.Як впливає автокореляція залишків на оцінку параметрів економетричної моделі?

4.Які особливості оцінювання параметрів за методом Ейткена за наявності автокореляції?

5.Запишіть матриці перетворення вихідної інформації згідно з двокроковою процедурою Дарбіна.

6.В яких випадках за автокореляції залишків доцільніше використовувати методи Кочрена—Оркатта або Дарбіна?

7.Дайте короткухарактеристикуалгоритмуметодуКочрена—Оркатта. 8.Чим відрізняється метод Дарбіна від методу Кочрена—Оркатта? 9.Як записати формулу прогнозу залежної змінної за автокореляції

залишків? Чому вона має такий вигляд?

а залишки ut задовольняють авторегресійну схему першого порядку:

ut ut 1 t .

11.Дайте порівняльний аналіз оцінок параметрів моделі, наведеної в завданні 10, на основі 1МНК і перетворення вихідної інформації.

12.Визначте ступінь зміщення коваріації параметрів і залишкової

дисперсії в разі застосування 1МНК у завданні 10.

13.Дайте оцінку параметрів моделі за методом Кочрена—Оркатта, якщо порядок авторегресійної моделі для залишків є схемою другого

порядку. Вказівка: r1 =0,4, r2 =0,3 (за даними завдання 10).

14.Виконайте порівняльний аналіз оцінок параметрів моделі із завдання 10, знайдених за допомогою перетворення вихідної інформації, а також за методом Кочрена—Оркатта. Обґрунтуйте результати порівняння,

виходячи з особливостей цих двох методів.

15.Для моделі yt a0 a1xt ut , де ut 1ut 1 2ut 2 t , дайте оцінку параметрів за методом Дарбіна, якщо вихідну інформацію задано у вигляді двох часових рядів:

43

8.7. Основні терміни і поняття

Автокореляція Модель з автокорельованими залишками Коваріація залишків Стаціонарний марковський процес Додатна автокореляція Від’ємна автокореляція Критерій Дарбіна—Уотсона Критерій фон Неймана Авторегресійна схема другого порядку Нециклічний коефіцієнт автокореляції Циклічний коефіцієнт автокореляції Метод перетворення вихідної інформації Метод Кочрена—Оркатта Метод Дарбіна Авторегресійна схема першого порядку

44

Розділ 9

МЕТОД ІНСТРУМЕНТАЛЬНИХ ЗМІННИХ

9.1. Властивості оцінок моделі у разі стохастичних змінних

У попередніх розділах, розглядаючи модель

Y XA u,

виходили з припущення, що змінні X є детермінованими і набувають значення з деякої множини детермінованих чисел. Це означає, що якщо б нам потрібно було повторити розрахунки з новою вибіркою, то значення пояснювальних змінних залишились незміненими. Значення ж залежної змінної змінилося б, тому що вони є випадкові, і нова вибірка містила б нові значення випадкових пояснюваних змінних.

В економічній практиці припущення про нестохастичність пояснювальних змінних стають досить часто нереальними. Як правило, пояснювальні змінні нерідко визначаються з інших економічних залежностей (і таких залежностей буває кілька, що діють одночасно).

Розглянемо три такі моделі зі стохастичними пояснювальними змінними, що класифікуються згідно з тим, який зв’язок між розподілом цих змінних і розподілом випадкової складової (залишками). Усі вони мають важливе практичне значення.

1.У моделях першого типу пояснювальні змінні розподілені незалежно від випадкової складової.

2.У моделях другого типу пояснювальні змінні і випадкова

складова не є незалежними, але їх значення в кожен момент часу не корелюються (тобто поточні значення пояснювальних змінних не корелюються з поточними значеннями залишків).

3. У моделях третього типу значення пояснювальних змінних і залишків корелюють в кожен момент часу.

У цих типах моделей розглядаються два випадки: коли часові ряди пояснювальних змінних є стаціонарними, тобто коли розподіл X не залежить від часу, і коли часові ряди X містять змінні з трендом, і, отже дисперсія залишків необмежено збільшується з розширенням часового періоду вибірки.

Водночас в економіці під час дослідження будь-якої залежності використовувані змінні бувають неправильно виміряні. На-

341

приклад, часто трапляються помилки, зроблені під час опитування (не точно розуміє питання особа, що веде опитування, або той, що відповідає). Проте неточна інформація може бути не тільки такого змісту. Іноді бувають випадки, коли певна змінна в моделі визначена, але дані свідчать, що вона має дещо інше визначення (широко відомий приклад М.Фрідмена про стандартну функцію споживання).

Розглянемо властивості оцінок параметрів моделі, якщо матриця пояснювальних змінних буде стохастична.

Нехай a€(n) — оцінка скалярного параметра a. Верхній його індекс вказує на розмір вибіркової сукупності, на основі якої оцінено ці параметри.

Означення 9.1. Сукупність оцінок a€(n) спостережень назива-

ється послідовністю оцінок:

a€(n) a€(1) , a€(2) ...a€(n) .

Означення 9.3. Граничне значення послідовності дисперсій для a€(n) називається асимпотичною дисперсією

M a€(n) Ma(n) 2 lim M a€(n) Ma(n) 2 . n

Оскільки для n вираз у правій частині може дорівнювати нулю, то дисперсія є сталою, а саме 2a€ .

Визначимо асимптотичні властивості оцінок 1МНК у загальній лінійній моделі зі стохастичними пояснювальними змінними:

Y XA u,

де X — незалежна щодо всіх і кожного з елементів вектора u, тобто:

342

Передусім розглянемо властивість обґрунтованості оцінок. Припустимо, що виконуються такі рівності:

Припущення (9.2а) означає: дисперсія стала для всіх залишків. Припущення (9.2б) стверджує існування границі за ймовірністю для дисперсій (других моментів) змінної X, які утворюють ма-

трицю xx .

Припущення (9.2в) має такий зміст: границя за ймовірністю коваріацій між змінними X і залишками u дорівнює нулю, тобто матриця X і залишки u не зв’язані між собою.

Вектор оцінок параметрів A 1МНК подаєтьсяу такому вигляді:

A A ( X X ) 1 X u.

Звідси

Отже, оцінка A , здобута за допомогою 1МНК, є обґрунтованою. Асимптотична матриця коваріацій для A така:

343

то 1МНК забезпечує обґрунтовану оцінку асимптотичних дисперсій і коваріацій, коли в моделі пояснювальні змінні є стохастичними.

Досить часто на практиці змінні X не можуть бути повністю незалежними від u, як це припускалося раніше. Наприклад, однією з пояснювальних змінних може бути лагове значення залежної змінної Y, що може призвести до зміщення оцінки 1МНК для вибіркових сукупностей спостережень.

Розглянемо модель

А це означає, що для моделі, яка містить лагові значення залежної змінної, можна чекати, що оцінка 1МНК буде обґрунтованою.

344

9.2. Метод інструментальних змінних

Кореляція між пояснювальними змінними і залишками є досить серйозною перепоною для застосування 1МНК. Така кореляція може виникнути з різних причин, але основними є три:

1)помилки вимірювання пояснювальних змінних;

2)побудова економетричної моделі за системою одночасних

рівнянь; 3) наявність в економетричній моделі лагових змінних.

До лагових пояснювальних змінних відноситимемо такі змінні, які впливають на залежну змінну через певний проміжок часу. Наприклад, якщо залежна змінна в період t залежить від рівня тієї самої змінної в період t – 1, то ця змінна входить до переліку пояснювальних змінних моделі, які в такому разі стають стохастичними. Вони включають лагову залежну змінну, яка є стохастичною і має зв’язок із залишками.

У разі існування кореляції між пояснювальними змінними і залишками можна застосувати поширений альтернативний метод оцінювання, який називається методом інструментальних змінних.

Розглянемо модель

Припустимо, що існує матриця Z порядку n×m, яка має такі властивості:

де матриця zz — невироджена і, крім того, для неї існує грани-

ця (9.9).

345

Матриця Z є матрицею інструментальних змінних. Припускається, що змінні Z гранично некорельовані із залишками u, а їх перехресні моменти зі змінними X не всі дорівнюють нулю й утворюють невироджену матрицю. Якщо деякі зі змінних X не корелюють із залишками u, то їх можна використовувати для формування стовпців матриці Z і знаходити додаткові інструментальні змінні лише для тих стовпців, що залишилися.

Оператор оцінювання вектора A за допомогою інструментальних змінних можна записати так:

Звідси дістаємо оператор оцінювання (9.10), який забезпечує

визначення обґрунтованої оцінки, у чому можна переконатися, підставивши (9.6) у (9.10). Маємо:

n m

Отже, асимптотична матриця коваріацій оцінок параметрів моделі, отриманих методом інструментальних змінних, є добутком трьох коваріаційних матриць: (Z X)-1, (Z Z), (X Z)-1.

346

Реальна трудність застосування цього методу полягає в знаходженні змінних, які можна використовувати як інструментальні. Встановити розподіл інструментальних змінних практично неможливо, а тому важко переконатися, що вибрані інструментальні змінні справді не корелюють із залишками. Водночас ці змінні повинні мати досить високу кореляцію зі змінними X, бо в протилежному випадку вибіркові дисперсії для оцінок, здобутих за допомогою інструментальних змінних, будуть досить великими.

Коротко вимоги до інструментальних змінних Z можна сформулювати так:

1)Z тісно пов’язані з X;

2)Z не пов’язані із залишками u.

9.3. Визначення інструментальних змінних

Розглядаючи способи визначення інструментальних змінних, скористаємося найпростішими економетричними моделями, які використовувались в різних операторах оцінок.

9.3.1. Оператор оцінювання Вальда. Нехай економет-

рична модель є простою і має вигляд

Якщо вибіркова сукупність містить парне число спостережень, то матриця інструментальних змінних Z запишеться так:

Матриця пояснювальних змінних для цієї моделі запишеться у такому вигляді:

Матриця інструментальних змінних замість рядка пояснювальної змінної буде включати інструментальну змінну. Щоб визначити інструментальну змінну, необхідно виконати такі дії:

1.Знайти відхилення кожного елемента вектора X від медіани.

2.Додатні відхилення замінюються на +1, а від’ємні — на –1.

347