Econometrics

Обчислимо критерій загальної однорідності рівнянь для всіх груп:

Значення F-критерію для =0,01 і ступенів свободи (6, 12) дорівнює 4,82. Фактичне значення більше за критичне, а це свідчить про те, що рівняння, побудовані на основі групових даних, не однорідні. Об’єднувати групові дані можна лише тоді, коли в економетричну модель вводяться фіктивні змінні.

дасть змогу визначити не лише відмінності вільного члена в моделях за групами спостережень, а й відмінності оцінки параметра a€1. Для побудови цієї моделі сформуємо матрицю:

37

У цій матриці перші три стовпці є фіктивними змінними (D2, D3, D4), четвертий — характеризує дохід у межах кварталів за п’ять років (X), п’ятий стовпець — добуток першої фіктивної змінної (D2) на вектор пояснювальної змінної X. Позначимо цей добуток D2X, наступний — добуток D3X, останній — добуток D4X.

Вектор залежної змінної було записано вище в п. 3. За 1МНК дістанемо:

38

Перший рядок цієї таблиці дає оцінки параметрів моделі, яка в загальному вигляді подається так:

На основі записаної моделі можна дістати рівняння для кожної групи.

Наприклад, послідовно маємо:

Запишемо побудовану економетричну модель вигляду (5.30):

Згідно з моделлю (5.31) запишемо рівняння споживання для квартальних даних за п’ять років:

1) для першої групи:

39

Отже, в економетричній моделі (5.31) оцінки параметрів при фіктивних змінних характеризують відмінності вільних членів відповідно за кожною з груп даних, а оцінки параметрів при змінних D2X2, D3X3, D4X4 характеризують відмінності у граничному споживанні за групами спостережень. Проте оскільки жодна з останніх оцінок параметрів не є статистично значущою, то можна вважати граничну ефективність споживання однаковою для всіх груп, що підтвердила F-статистика, яку ми розрахували.

5.10. Перевірка регресійної однорідності двох груп спостережень на основі критерію Г.Чoу

Нерідко на практиці ми стикаємося всього лише з двома групами даних (s=2). Наприклад, важливо визначити значущість структурних зрушень між двома періодами часу, або ж значущість відмінностей у виробничих функціях для двох галузей, або ж значущість відмінностей між споживчими функціями у двох країнах.

Доти, доки кількість спостережень у кожній групі перевищує кількість оцінюваних параметрів, запропонований підхід можна застосувати безпосередньо. Якщо ж в одній із груп кількість спостережень менше кількості параметрів, то цей випадок потребує особливого дослідження, яке виконав Г.Чоу (незалежно від нього

— Ф.Фішер).

Нехай маємо сукупність спостережень, яка містить дві групи даних, що різняться між собою певними якісними ознаками. Постають такі запитання:

40

Чи можемо ми об’єднати ці групи для побудови економетричної моделі за всією сукупністю спостережень?

Як відрізняються вільні члени моделей, побудованих окремо за двома групами даних?

Чи однакові оцінки параметрів моделі, що характеризують вплив пояснювальної змінної на залежну?

Якщо йдеться лише про відмінності вільних членів, то групи спостережень можна об’єднати в одну сукупність і скоригувати вільний член введенням до моделі фіктивних змінних.

Розглянемо підхід, який запропонував для дослідження цієї

проблеми Г.Чoy [1].

Цей підхід передбачає три етапи.

1. За основною вибірковою сукупністю спостережень n1 буду-

ємо 1МНК оцінки € параметрів моделі і знаходимо вектор за-

A1

де Y — вектор залежної змінної розміру n 1;

X — матриця пояснювальних змінних розміру n (r+1). 3. Обчислюємо -критерій за формулою:

u u u1u1 n2 . u1u1 n1 r 1

Якщо справедлива нульова гіпотеза Н0, критерій повинен

бути випадковою величиною, яка розподілена за законом Фішера зі ступенями свободи n2 і (n1–r–1). Тому якщо F (n2, n1–r–1) і

розмір груп спостережень у кожній вибірці такий, що не дає змо-

41

ги побудувати окремі 1МНК-оцінки за кожною з вибірок, то мо-

Цей критерій за припущенням про правильність нульової гіпотези також має бути випадковою величиною і мати F-розподіл. Порівнявши його з табличним значенням F-критерію за вибраного рівня значущості та ступенів свободи r 1 і n1 n2 2r 2 ,

можна прийняти чи відхилити нульову гіпотезу. Якщо 1>F крит, то нульову гіпотезу про регресійну однорідність треба відхилити, у протилежному випадку її потрібно прийняти.

5.11. Стислі висновки

1.На практиці досить часто серед економічних показників, розглядуваних як пояснювальні змінні моделі, можуть бути й такі, які не можна виміряти кількісно, але вони істотно впливають на рівень зв’язку між залежною та пояснювальними змінними. Такі змінні дістали назву «фіктивних змінних».

2.Фіктивні змінні — це певним чином сконструйовані змінні,

які описують якісні ознаки, показники, а також відображають змінні в таких чинниках, як ефект зрушення в часі, сезонність чи зміни у просторі або ж включаються як змінні, що замінюють множину інших пояснювальних змінних.

3. Припускається, що за наявності в економетричній моделі фіктивних змінних гранична ефективність впливу чинників є спі-

42

4. У цьому разі можна об’єднувати різні групи спостережень для побудови економетричної моделі, включаючи найчастіше фі-

ктивні змінні як бульові змінні: 1 або 0 (бінарні).

5. Якщо економетрична модель містить фіктивні змінні, то необхідно використовувати таку специфікацію моделі, яка дає змогу дістати невироджену матрицю X X .

6. Щоб перевірити статистичну значущість оцінок параметрів моделі з фіктивними змінними, потрібно передусім оцінити значущість параметрів при фіктивних змінних. Для цього оцінки параметрів та їх суми порівнюються зі стандартною похибкою:

7.Особливості введення кількох фіктивних змінних полягають у тому, що, маючи вільний член у моделі, необхідно знехтувати однією фіктивною змінною в кожній групі.

8.На практиці досить часто трапляються такі залежності, коли існує зв’язок між різними якісними ознаками. У цьому разі в економетричну модель необхідно вводити додаткові змінні, які є

добутком фіктивних та пояснювальних або тільки фіктивних змінних.

9. Існують і такі залежності, коли залежна змінна не вимірюється кількісно, а є якісним показником соціально-економічного процесу. У цьому разі залежна змінна набуває лише двох значень: одиниця або нуль. Обчислене значення Y для заданих значень xj можна тлумачити як оцінку умовної ймовірності

10. До економетричних моделей, в яких залежна змінна є фіктивною, не можна використовувати оцінки — 1МНК, бо вони не маєть ознак найкращих лінійних незміщених оцінок (BLUE).

Такі моделі називаються лінійними ймовірнісними моделями

(LPM).

11. Обмеження до застосування методу найменших квадратів полягають у тому, що:

залишки ui в даних моделях не є випадковими величинами;залишки ui можуть бути гетероскедастичними;

розрахункові значення залежної змінної можуть бути меншими від нуля або більшими від одиниці, що суперечить рівню ймовірності;

43

зміст характеристик взаємозв’язку суперечить теоретичним

іпрактичним висновкам про спадну граничну ефективність.

12. Щоб подолати недоліки LPM-моделей, пропонується використовувати Logit-модель, в якій не буде порушуватись умова

існування границь імовірності: 0 P Y 1 X 1 .

Logit-модель виражає логарифм відношення ймовірностей через лінійну функцію.

13.Фіктивні змінні відіграють важливу роль у коригуванні сезонних коливань. Можливі два варіанти:

Перший — фіктивні змінні дають змогу виокремити сезонні коливання у квартальних чи місячних часових рядах.

Другий — побудова економетричної моделі на основі даних, серед яких є скориговані і нескориговані сезонні коливання.

14.Для вилучення сезонного компонента необхідно подати

вектор залежної змінної Y як суму чотирьох складових:тренда;циклічної складової;

сезонної складової;випадкового збурення.

15. Для цього будується матриця фіктивних і пояснювальних змінних для моделі Y Pa Db u, а оцінки параметрів моделі

визначаються так:

16. Економетричні моделі з фіктивними змінними типу:

оцінюються методом найменших квадратів і задовольняють

моделі можна використовувати змінні із сезонним компонентом,

44

PD

18. Фіктивні змінні можуть використовуватись і тоді, коли загальна сукупність спостережень містить групові дані. У цьому випадку застосовується коваріаційний аналіз, на основі якого досліджуються питання, чи істотними є відмінності між груповими даними. Для перевірки значущості варіацій між груповими середніми застосовується F-критерій.

19. Якщо кожна з груп зазнає впливу некерованих чинників, то коваріаційний аналіз дає змогу знайти статистичні поправки на їхній вплив, оскільки некеровані чинники важко виміряти для окремих груп. Для проведення такого коригування припускається, що змінна X має однакову силу впливу на залежну змінну в обох групах.

20. Коваріаційний аналіз застосовується:

для перевірки статистичної значущості різниці у вільних членів моделі;

перевірки статистичної значущості в оцінках інших параметрів моделі;

перевірки статистичної значущості відмінностей моделей у загальному вигляді для різних груп спостережень.

де D — матриця фіктивних змінних; X — матриця пояснювальних змінних; то перевірку нульової гіпотези щодо елементів век-

із s 1 та ns s r 1 ступенями свободи.

22. Для перевірки статистичної значущості оцінок параметрів моделі використовується критерій:

F 2 S3 sr s r 1 , S4 s n r

а критерій для перевірки однорідності рівнянь для груп такий:

F 3 S1 S3 r s 1 . S4 s n r

45

1.Розкрийте сутність фіктивних змінних.

2.Коли необхідно застосувати їх в економетричному моделюванні?

3.Наведіть приклади соціально-економічних залежностей, при моделюванні яких доцільно включати фіктивні змінні.

4.Які особливості оцінювання параметрів моделі 1МНК при фіктивних змінних?

5.Поясніть, як здійснюється перевірка параметрів моделі з фіктивними змінними.

6.Як визначається стандартна похибка вільного члена моделі з коригувальною фіктивною змінною?

7.Учомуполягаютьособливостівведеннякількохфіктивнихзмінних?

8.Які моделі називаються ANOVA та ANCOVA-моделями?

9.Чим різняться економетричні моделі, коли фіктивною змінною є залежна змінна?

10.Дайте характеристику моделі LPM.

11.Покажіть, чи доцільно оцінювати параметри моделі LPM методом найменших квадратів.

12.Поясніть особливості Logit-моделей.

13.Як можна оцінити параметри Logit-моделі?

14.Покажіть, як можна вирізнити сезонні збурення у статистичній інформації.

15.Побудуйте матрицю фіктивних змінних D, якщо статистична інформація має квартальні сезонні коливання.

16.Побудуйте матрицю P, поясніть її призначення.

17.У моделі Y=Pa+Db+u матриці P і D — фіктивні змінні. Яке явище можна врахувати, скориставшись матрицями P і D?

18.Побудуйте коригувальну матрицю PD.

€€ €

19.Покажіть, як можна оцінити параметри моделі Y Pa Db .

20.Чи можна використати коваріаційний аналіз в розкладанні впливу різних груп пояснювальних змінних?

21.Запишіть F-статистику для перевірки відмінностей вільного члена в групових даних.

22.Запишіть F-статистику для перевірки відмінностей сили впливу пояснювальних змінних.

23.Запишіть F-статистику для перевірки однорідності рівнянь для окремих групових даних.

24.У чому полягає перевірка регресійної однорідності двох груп спостережень на основі критерію Г.Чоу?

46