УМК Коровкин-Кулик

РГР-3

Выполнение этой работы вырабатывает навыки и умения исследова- ния движения механических систем.

Задача 1. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы.

Порядок выполнения

1.Анализируем движение тел неизменяемой механической системы.

2.Согласуясь с условием, находим кинематические зависимости скоростей и перемещений точек и тел.

3.Вычисляем кинетическую энергию системы в функции от иско- мой скорости.

4.Прикладывая к системе все внешние силы и задавая направление перемещения, вычисляем сумму работ этих сил.

5.Составляем выражение теоремы, определяем искомую величину.

Пример 12. Система, состоящая из четырех тел, соединенных не- растяжимыми, невесомыми нитями, начинает движение из состояния по- коя под действием силы Q = 20 Н.

Тело 4, принятое за однородный круглый диск, катится без скольже- ния по деформируемой шероховатой поверхности (α = 30°) с коэффициен-

том сопротивления качению fK = 0,01 м . По заданным исходным величи-

нам определить скорость и ускорение груза 1 в момент, когда высота его

Сила Q по условию является движущей силой, поэтому принимаем направление скорости VC 4 совпадающим с приложенной силой Q .

251

Покажем направления скоростей точек и тел всей системы (рис. 39).

Рис. 39

Применив условие передачи движения без проскальзывания, просле- дим зависимости кинематических характеристик точек и тел от скорости

V1 .

Очевидно, что зависимости ускорений и перемещений точек и тел аналогичны полученным выражениям.

Вычислим моменты инерции тел, совершающих вращательное дви- жение:

во вращательном движении;

252

кинетическая энергия тела 4 в плоскопараллельном движении.

Полная кинетическая энергии системы T = ∑Tk ,

T = (1 + 0,375 + 3,375 + 8, 425)V12 =13,175V12 Дж ;

точки C2 ,C3,C4 – центры тяжести тел.

Рассмотрим движение системы в плоскости XOY (рис. 40).

Рис. 40

Приложим к ней все внешние силы: Q – заданная движущая сила;

крепления осей тел 2 и 3; N4 , Fтр4 – составляющие реакций шероховатой поверхности качения тела 4; Mс – момент пары сопротивления качению тела 4 деформируемой поверхности,

Mc = fK N4 = fK m4g cos30° = 0,01×5×9,8×0,866 = 0,424 Нм,

причем момент этой пары направлен в сторону, противоположную ω4 .

Покажем на рис. 40 перемещения точек и тел системы, согласуясь с направлениями скоростей на рис. 39. Причем ϕ2 = 2,5S1 ; ϕ3 = 5S1 ;

SC4 = 1,5S1 ; ϕ4 = 10S1 .

253

Вычислим работу каждой силы, приложенной к системе:

внешних сил заданной системы в зависимости от S1 .

Запишем исходное выражение, подставляя вычисленные значения:

РГР-4

Задачи 1, 2. Применение принципа возможных перемещений к оп- ределению опорных реакций статических конструкций.

Порядок выполнения

1.Отбрасывая связь таким образом, чтобы система получала одну степень свободы, заменяем ее действие реакцией связи.

2.Сообщаем системе возможное перемещение.

3.Составляем выражение принципа возможных перемещений.

254

4.Находим взаимозависимость возможных перемещений точек и тел и подставляем их в уравнение работ.

5.Разрешая полученное выражение, определяем искомую реакцию. Полученный порядок применим к определению всех реакций.

Пример 13. Определить реакции опор составной балки AD, состоя- щей из двух балок, соединенных шарниром C, если P1 = 2 кH, q = 3 кH /м,

M = 4 кH×м (рис. 41).

Рис. 41

Данная система имеет нулевую степень свободы, если считать все наложенные связи двухсторонними, удерживающими. Чтобы применить принцип возможных перемещений, будем последовательно освобождать систему от той связи, реакцию которой хотим определить. Сила реакции отброшенной связи при этом относится к числу неизвестных, но активных сил, поэтому войдет в уравнение работ. Заменяем распределенную нагруз- ку условной равнодействующей Q = q × 4.

Определение YА

Заменим неподвижную шарнирную опору вертикально-подвижной опорой и искомой силой реакции YА . Получившаяся система имеет одну степень свободы (подвижности). Дадим ей возможное перемещение (рис. 42).

С1

Рис. 42

255

Составим уравнение работ:

Зависимость между dj1 и dj2 определим через возможное перемеще- ние точки C – dC.

Из рис. 42:

dС = 4dj1; dС = 4dj2,

отсюда

dj1 = dj2.

С учетом этого из уравнения (1) находим:

YА = –2,96 кН.

Определение RB (рис. 43)

С1

Рис. 43

Отбрасываем горизонтально-подвижную опору В и заменяем ее ис- комой реакцией RB. Так как эта система имеет одну степень свободы, да- дим возможное перемещение конструкции и составим уравнение работ:

(-P sin 60° × 2 + RB ×5 + M )dj1 - Q × 2dj2 = 0 .

Находим зависимость между δϕ1 и δϕ2 .

Из треугольников ACC1 и DCC1 имеем:

dC = AC×dj1 = 9×dj1; dC = DC×dj2 = 4×dj2,

256

поэтому

9dj1 = 4dj2 ;

dj2 = 2, 25dj1 ;

-2 × 0,866 × 2 + RB ×5 + 4 - 3 × 4 × 2 × 2,25 = 0 ;

RB =10,69 кН .

Определение RD (рис. 44)

С

Рис. 44

Отбрасываем опору D и заменяем ее действие реакциейRD . Левая часть остается неподвижной, а правая может повернуться вокруг непод- вижной точки С.

Составляем уравнения работ:

∑δАактK = 0 ;

∑тотС (RD ;Q ) δϕ1 = 0 ;

∑momC (R D ;Q) = 0 ;

-Q × 2 + RD cos30°× 4 = 0 ;

RD = 6,93 кН .

Определение ХА (рис. 45)

Заменяем опору А шарнирно-подвижной опорой. Сообщим системе возможное перемещение. При этом балка АС совершит поступательное пере- мещение на величину δ , а балка CD совершит плоское движение, которое бу- дем рассматривать как поворот на угол δϕ вокруг МЦС этой балки – точки Pv .

257

∑δАKакт = 0 ;

-P cos 60° × d + X A × d - Q × 2 × dj = 0 .

А

Рис. 45

Зависимость между δ и δϕ определяется через возможное переме- щение точки С:

dC = d = CPvdj ;

CPv из CPv D CPv = 6,93 м;

ХА = 4,46 кН.

Пример 14. Конструкция, состоящая из трех балок, соединенных шар- нирами B и D, находится в равновесии под действием произвольной пло- ской системы сил (рис. 46). На нее наложены внешние связи: в точке А – жесткая заделка; в точках С и Е – подвижные шарнирные опоры.

Определить реакции внешних связей.

Исходные данные: P1 = 12 кH; P2 = 20 кH; M = 50 кH×м; q = 2 кH/м.

258

Решение. Упростим расчетную схему нагружения. Распределенная нагрузка действует на две балки ВD и DE, являющиеся абсолютно тверды- ми телами, поэтому заменим ее равнодействующими Q1 и Q2, приложен- ными в середине участков распределения и равными:

Q1 = qlCD = 2·4 = 8 кH;

Q2 = qlDК = 2·2 = 4 кH.

Определение RE (рис. 47).

Рис. 47

Подвижная шарнирная опора Е препятствует перемещению точки Е в направлении, перпендикулярном к опорной поверхности, поэтому для определения ее реакции отбросим опору и заменим ее действие искомой силой – RE. Составная балка преобразовалась в изменяемую систему. Да- дим системе возможное перемещение. Балка АВ, один конец которой же- стко защемлен, останется неподвижной; часть балки ВD могла бы повер- нуться вокруг неподвижной точки В, но наложенная связь в виде шарнир- но-подвижной опоры в точке С лишает балку ВD подвижности. Возможное перемещение балки DЕ будет представлять собой поворот вокруг точки D на угол δφ.

На этом возможном перемещении составной конструкции соверша- ют работу только силы Q2, P2, RE.

Составим уравнение возможных работ:

∑δ Аактк = 0 .

Так как балка DE совершает поворот вокруг точки D, то суммарную элементарную работу этих сил можно вычислить как

∑momD (Fk ) δϕ = 0 .

(– Q2·DL – P 2sin60º·DK + REcos30º·DE)·δφ = 0.

259

Так как δφ ¹ 0, то после сокращения на δφ получим уравнение, из ко- торого находим RE:

RE = 11,2 кH.

Определение RC (рис. 48).

Рис. 48

В точке С на балку наложена связь в виде шарнирно-подвижной опоры, направление ее реакции известно. Отбрасываем эту опору и заменяем ее реакцией RC, которую теперь можно считать активной силой. Система стала мгновенно изменяемой, и ей можно сообщить возможное перемещение, при котором балка АВ останется неподвижной; балка ВD по- вернется на угол δφ1 относительно неподвижной точки В, а балка DE по- вернется на угол δφ2 относительно своего МЦС, совпадающего с точкой Е.

Составим уравнение работ, выражающее принцип возможных пере- мещений в этом случае:

∑dAкакт = 0 ;

(– M + RC·CB – Q1·BN)· δφ1 + (– Q2·LE – P2·sin60º·KE)· δφ2 = 0.

Для решения полученного уравнения находим зависимость между δφ1 и δφ2 через перемещение точки D,

δSD = BD·δφ1 = ED·δφ2 ,

отсюда dj1 = δϕ2 . 2

С учетом этого находим: RC = 47,8 кH.

Определение YA (рис. 49).

Для определения YA – вертикальной реакции жесткой заделки – ви- доизменим ее таким образом, чтобы точка А могла перемещаться только вертикально. При этом балка АВ сместится поступательно на δSА, напри- мер, вертикально вверх. Такое же перемещение получит точка В: δSВ = δSА.

260