Контрольные вопросы

1. Какие виды сходимости последовательностей СВ Вам известны?

2. Дайте определение непрерывности СП в точке и в области.

3. Сформулируйте необходимые и достаточные условия дифференцируемости СП.

4. Какой вид имеют взаимная корреляционная функция и взаимный энергетический спектр процесса и его производной?

5. Как связаны между собой корреляционная функция стационарного СП и его производной? Какова связь между энергетическими спектрами СП и?

6. Запишите ПВ случайной величины , где–­ нормальный «белый» шум с, детерминированная функция.

7. На вход интегрирующей RC-цепи с постоянной времени в момент времениподается сумма постоянного сигнала и «белого» шума с. Найдите среднее значение и дисперсию СП на выходе цепи. Будет ли этот процесс стационарным?

8. Как связаны в установившемся режиме линейной цепи с коэффициентом передачи СПМ на входе и выходе цепи?

Глава 7. Нормальный случайный процесс

Следствием центральной предельной теоремы является чрезвычайно широкое распространение в радиотехнике и других областях науки и техники нормального случайного процесса. Если выполняется условие , где– полоса пропускания линейной системы, а– эффективная ширина спектра входного случайного процесса, то значения выходного СП в произвольный момент времени можно приближенно рассматривать как взвешенную суммунезависимых случайных величин. При этом независимо от распределения отсчетов входного СП предполагается, что условия центральной предельной теоремы выполняются. Тогда выходной процесс будет приближенно нормальным. Очевидно, что степень приближения зависит от числа независимых слагаемыхи распределения отсчетов входного процесса. Это явление называют эффектом нормализации.

Совокупность отсчетов нормального СП образует нормальный случайный вектор , статистические свойства которого были подробно рассмотрены ранее. Следствием этих свойств является то обстоятельство, что нормальный случайный процесс полностью определяется математическим ожиданием и корреляционной функциейт. е. его полное описание дается в рамках корреляционной теории.

Если нормальный СП подвергается линейному преобразованию, то в результате мы получаем нормальный случайный процесс, если преобразование осуществляется с помощью оператора, либо нормальную случайную величину, если речь идет о линейном функционале от нормального СП.

Например, производная дифференцируемого стационарного нормального СП есть стационарный нормальный процесс с нулевым средним значением и корреляционной функцией , где– КФ исходного процесса.

Спектральная плотность процесса (t), как уже отмечалось, равна , где– спектральная плотность исходного процесса.

Результат действия оператора Вольтерра с ядром на стационарный нормальный процесс даст нормальный СП, который в общем случае уже не будет стационарным. Его среднее значение

и дисперсия

.

зависят от времени.

Если t₀ = –, а =, что соответствует установившемуся режиму отклика стационарной линейной системы с импульсной характеристикой, то процесс на выходе можно считать стационарным нормальным процессом со средним значениеми дисперсией

,

не зависящими от времени. Корреляционную функцию можно найти с по-мощью обратного преобразования Фурье спектральной плотности выходного процесса =, где– коэффициент передачи линейной цепи, т. е..

Часто приходится иметь дело с линейным функционалом вида

,

где s(t) – детерминированная функция, (t) – стационарный нормальный СП. Как результат линейного преобразования нормального СП,  является нормальной случайной величиной со средним значением и дисперсией.Если корреляционная функция процесса имеет вид , то

= .

Как уже отмечалось, процесс с такой КФ называется “белым” шумом по аналогии с белым светом, имеющим постоянную во всем частотном диапазоне спектральную плотность мощности =.

Важной моделью СП с независимыми приращениями (см. классификацию СП) является винеровский процесс, для которого разность отсчетов (t +) –(t) при любомимеет нормальное распределение с нулевым средним значениемМ[(t +) –(t)] = 0 и дисперсиейМ{[(t +) –(t)]²} =. Корреляционная функция Винеровского процесса, ее график приведен на рис. 7.1.

Винеровский процесс нестационарен, его часто называют процессом, описывающим броуновское движение частицы под действием ударов молекул жидкости. Производная винеровского процесса является гауссовским (нормальным) «белым» шумом.

Поскольку нормальный СП полностью определяется заданием среднего значения и КФ, которые могут быть вычислены с помощью двумерной ПВ, то задание двумерной ПВ при произвольном расположении отсчетов полностью определяет нормальный СП. Для произвольной двумерной ПВ справедливо представление вида

,

где и– ортонормальные многочлены, соответствующие весовым функциями. КоэффициентыС_тпнаходятся с помощью умножения обеих частей записанного равенства наи двойного интегрирования по области, определенной весовыми функциями, что с учетом ортонормальностиидает:

.

Так как произведение полиномов есть выражение вида

,

то коэффициенты С_тпвыражаются через корреляционные моментыm_ij. В роли весовых функций обычно выступают одномерные ПВи. Для стационарного нормального СП с нулевым средним значением и единичной дисперсией выполняются соотношения

==,==

и разложение двумерной ПВ имеет вид:

==

=,

где r– коэффициент корреляции отсчетов процесса, а– нормированные полиномы Эрмита, с которыми мы познакомились в гл.6 первой части учебного пособия.

Для общего случая двумерного нормального распределения выражение для двумерной ПВ примет вид:

=

.

Узкополосный нормальный случайный процесс. Корреляционная функция и связанная с ней спектральная плотность СП были рассмотрены ранее. Для узкополосных СП, как и для детерминированных сигналов, весьма продуктивным является представление исходного СП (t) в виде , где процессыиназывают квадратурными компонентами процесса(t).

Переход от процесса (t) к огибающей и фазе осуществляется с помощью сопряженного процесса _(t), получаемого из исходного с помощью оператора (преобразования) Гильберта:

_(t) = Н (t) = .

Для существования процесса _(t) достаточно потребовать равенства нулю среднего значения процесса (t), т. е. М (t) = 0 при любых t.

С помощью процесса _(t) можно построить аналитический СП

= (t) + j _(t) = ,

где комплексная случайная функция называется комплексной огибающей СП(t).

Так как , то, т. е. огибающаянигде не пересекает СП(t). Дифференцируя по t равенство

,

получим , поэтому в тех точках, где=(t) и, следовательно, _(t) = 0, справедливо равенство . Таким образом, случайный процесспри всехt больше или равен , а в точках соприкосновения (=(t)) имеет общие с (t) касательные (). Эти свойства и определяют дляназвание огибающей СП(t).

Учитывая, что

;

,

можно записать представление квадратурных компонент a(t) и b(t) через исходный СП (t) и процесс _(t) в виде:

, .

При записи этих соотношений было использовано свойство операто- ра Гильберта «замораживать» медленно меняющиеся сомножители, т. е. , где– «медленный» множитель, а– «быстрый» множитель, спектры которых не пересекаются.

Для нормального СП процесс _(t) и квадратурные компоненты также будут нормальными СП. Доказать справедливость этого утверждения мы предлагаем читателю.

Так как средние значения процессов (t) и _(t) равны нулю, то также равны нулю и средние значения процессов a(t) и b(t). Их корреляционные функции одинаковы и равны

.

Для стационарного процесса (t)

, ,

поэтому , т. е. для нормального стационарного СП квадратурные компоненты будут также стационарными нормальными СП.

Аналогичным образом можно показать, что взаимная корреляционная функция квадратурных компонент определяется выражением:

.

Можно показать, что взаимная корреляционная функция процессов(t) и_(t) равна, где– корреляционная функция процесса(t) , и значит, является нечетной функцией, равной нулю при= 0 (при совпадении моментовt₁иt₂).

Таким образом, в совпадающие моменты времени t₁ = t₂ = t квадратурные компоненты узкополосного стационарного нормального процесса (t) являются независимыми гауссовскими случайными величинами, имеющими нулевые средние значения и дисперсию , равную дисперсии исходного процесса(t).

Для нахождения ПВ отсчетов огибающей и фазынеобходимо использовать их связь с отсчетами квадратурных компонентa(t) и b(t), приведенную ранее. Из этих соотношений следует, что есть модуль случайного вектора с декартовыми компонентамиa(t) и b(t), а – его аргумент. Учитывая описанные свойства процессовa(t) и b(t), мы приходим к рассмотренной ранее задаче о распределении модуля и аргумента нормального случайного вектора с независимыми компонентами, имеющими нулевые средние значения и одинаковые дисперсии . Напомним, что в такой постановке отсчеты огибающейи фазыбудут независимыми случайными величинами, причемW() будет распределением Релея:

а отсчеты фазы будут распределены равномерно в интервале [–, ].

Если к узкополосному нормальному процессу (t) добавляется детерминированный гармонический сигнал , то, как нетрудно показать, у квадратурных компонент результирующего узкополосного нормального СП появляются средние значенияисоответственно. В соответствии с решением задачи о распределении модуля и аргумента нормального случайного вектора отсчеты огибающей и фазы в совпадающие моменты времени будут теперь зависимы. Отсчеты огибающей будут подчиняться распределению Релея–Райса:

а отсчеты фазы будут подчиняться распределению

,

.

Вид распределений W() и W() зависит от величины параметра , который можно назвать отношением сигнал/шум. Приh >> 1, заменяя функцию I₀(x) первыми двумя членами определяющего ее степенного ряда (см. ч. 1, гл. 6), т. е., считая I₀(x) при, получим

При h >> 1 можно воспользоваться асимптотическим представлением функции I₀(x) при больших значениях аргумента:

I₀(x) =,

где – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем. Подставляя это выражение в распределение Рэлея–Райса, после несложных преобразований и перехода к безразмерной переменной, получим

.

Таким образом, с точностью до множителя распределение Рэлея–Райса приh >> 1 стремится к нормальному, которое с учетом сделанной замены имеет среднее значениеU_m и дисперсию ².

Хорошо известно, что с вероятностью 0.997 значения нормальной случайной величины сосредоточены на промежутке– правило «трех сигма». В этой области поправочный множительприh >> 1 мало отличается от единицы. Убедиться в этом мы предлагаем читателю.

На рис. 7.2 представлен вид распределения Рэлея–Райса при различных значениях параметра h.

Что касается распределения фазы, то при h << 1 оно хорошо аппроксимируется косинусоидальным распределением вида

, .

При h >> 1 распределение фазы стремится к нормальному со средним значением  и дисперсией , т. е.,.

На рис. 7.3 приведено распределениедля различных значений параметраh.

Полученные результаты полезно проиллюстрировать с помощью векторной диаграммы. На плоскости, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью ₀, детерминированное колебание можно представить неподвижным вектором, модуль которого равен , а аргумент равен . Квадратурные компоненты этого процесса постоянны, детерминированы и равныисоответственно (рис. 7.4).

Для узкополосного нормального процесса квадратурные компоненты будут независимыми нормальными случайными процессами a(t) иb(t), причем длина вектора и его аргумент будут определяться выражениями:

, .

Рассмотрим вопрос о стационарности суммы стационарного узкополосного процесса и сигнала. Если сигналдетерминированный, т. еU_m, ₀ и  – детерминированные величины, то суммарный процесс, оставаясь нормальным, будет нестационарным, так как его среднее значение будет зависеть от времени. Огибающая и фаза при этом будут стационарными процессами с распределением мгновенных значений, приведенным ранее.

Если начальная фаза сигнала является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [–, ], то суммарный процесс в предположении о независимости сигнала и узкополосного нормального процесса, будет стационарным в широком смысле, так как его среднее значение, равное сумме средних, будет равно нулю, а корреляционная функция, также равная сумме КФ слагаемых, будет равна +, где– КФ узкополосного процесса, а– корреляционная функция сигнала, будет зависеть лишь от.

Отметим, что суммарный процесс перестанет быть нормальным, так как ПВ его отсчетов, ПВ суммы независимых случайных величин, будет являться сверткой нормального распределения и распределения, которому подчиняются отсчетыпри равномерном распределении в интервале [–, ]. Вид этого распределения для нескольких значений параметра представлен на рис. 7.5.

Найдем распределение огибающей и фазыдля рассматриваемого случая. Условную поПВ огибающей и фазы можно записать, вспомнив задачу о распределении модуля и аргумента нормального случайного вектора (см. гл. 3) в виде

.

Так как , а, то учитывая, что в нашем случае, получим окончательно

.

Входящий в это выражение интеграл равен (см. ч. 1, гл. 6). Поэтому

,

т. е. огибающая и фаза – независимые СВ, имеющие ПВ Релея–Райса и равномерную соответственно. В связи с этим вспомните разговор о квазигармонических СП!

Во многих задачах возникает необходимость в знании совместной ПВ отсчетов огибающей и фазы стационарного нормального СП в моменты времени, разделенные промежутком . Для решения этой задачи необходимо найти совместную ПВ отсчетов квадратурных составляющих для соответствующих моментов времени, т. е., где– отсчеты квадратурных составляющих в моментыtиt +соответственно.

Случайные величины являются совместно нормальными, поэтому для определенияс учетом того, что, необходимо задать корреляционную матрицу:

,

где – равные между собой корреляционные функции квадратурных составляющих,– взаимная КФ квадратурных составляющих. КФиуже были определены. При записи корреляционной матрицы было учтено, что квадратурные составляющие в совпадающие моменты времени некоррелированы, а.

Пользуясь правилами функционального преобразования совокупности случайных величин, можно найти совместное распределение отсчетов огибающей в моменты t и t + ,  и _ и отсчетов фазы  и _ , а затем двойным интегрированием по, _ или по , _ определить или.

В результате этих операций двумерная ПВ отсчетов огибающей стационарного узкополосного нормального процесса, разделенных интервалом , будет иметь вид:

где r () – огибающая коэффициента корреляции исходного узкополосного случайного процесса.

Если r () = 0, то

равно произведению ПВ отсчетов огибающей, т. е. и_– независимые случайные величины. Однако это не означает, что из некоррелированности отсчетов исходного узкополосного нормального процессаследует независимость отсчетов огибающей, так как КФ процесса, равная

,

может обращаться в нуль за счет второго сомножителя. При этом может быть отлично от нуля.

Зная двумерную ПВ огибающей, можно найти КФ

.

Записывая представление с помощью ортогональных многочленов, в роли которых для данного распределения будут выступать полиномы Лагерра (см. ч. I, гл. 6), можно получить представлениев виде ряда по степеням огибающей коэффициента корреляции исходного процесса. С деталями можно ознакомиться с помощью [9]. Для коэффициента корреляции огибающей это даст

,

где – произведение нечетных чисел начиная с единицы. В качестве упражнения на сообразительность читателю предлагается найти значение.

Так как выражение для содержит только четные степении поэтому неотрицательно, то равенство нулювозможно лишь при= 0.Но, как было показано выше, при= 0 отсчеты огибающей независимы. Таким образом, при= 0 отсчеты огибающей будут независимы и мы получим еще один пример, когда из некоррелированности случайных величин следует их независимость. Первый пример был связан с нормальными случайными величинами.

При квадратичном детектировании выходной сигнал равен квадрату огибающей колебания, поступающего на вход детектора. Пользуясь правилами функционального преобразования случайных величин, можно найти одномерные ПВ квадрата огибающей при отсутствии сигнала

и при наличии гармонического сигнала с частотой ₀и амплитудойU_m

.

Для корреляционной функции квадрата огибающей узкополосного стационарного нормального процесса, которую можно получить с помощью двумерной ПВ квадрата огибающей на основе правил преобразования совокупности СВ, справедливо выражение:

.

Среднее значение квадрата огибающей равно . Проверить это мы предлагаем читателю. В качестве упражнения предлагается также найти спектральную плотность квадрата огибающей, если известна спектральная плотностьисходного узкополосного нормального процесса, например для полосового шума с прямоугольным энергетическим спектром.

Информацию о вероятностных характеристиках фазы узкополосного нормального процесса можно получить с помощью [9].

Функционал плотности вероятности (ФПВ) нормального случайного процесса. Ранее неоднократно отмечалось, что любая совокупностьпотсчетов нормального случайного процесса описывается многомерным нормальным распределением

,

где – вектор отсчетов описываемого нормального случайного процесса (x_i=x(t_i));– вектор средних значений для рассматриваемых отсчетов;– корреляционная матрица, элементами которой являются ковариации отсчетов, т. е..

Если процесс имеет финитный спектр, т. е.S(f) = 0 при| f | >F, то совокупность отсчетов, взятых с интервалом, полностью его определяет (теорема Котельникова). В случае неограниченного спектра (конечный интервал наблюдений [0,T]) требуется осуществить предельный переход в формуле для, устремляяк нулю, ак бесконеч-ности. Запишемв развернутой форме:

,

где x_i=x(t_i),– элементы матрицы, обратнойK. Учтем, что

,

где – обратная корреляционная функция, удовлетворяющая интегральному уравнению

,

которое вытекает из соотношения, связывающего элементы матриц KиK^–1:, где– символ Кронекера, превращающийся в дельта-функцию в результате предельного перехода

, .

Если процесс x(t) является стационарным и интервал наблюдения велик по сравнению с временем корреляции, то интегральное уравнение для обратной корреляционной функции можно переписать следующим образом:

и решить его с помощью теоремы о свертке, применив к обеим частям преобразование Фурье. Для этого выполним замену переменной t – t₂=x и введем переменнуюt₁ – t₂=. Получим:

,

откуда следует, что и, гдеF– оператор Фурье,S() – спектральная плотность процессаx(t).

Обозначая , получим окончательно:

,

где a(t) – среднее значение процессаx(t).

Если x(t) – нормальный “белый” шум с КФ, то

,

Положительная определенность не означает, что функции K_(t₁, t₂) и K_(t₁, t₂) не могут принимать отрицательные значения.

107