1.5. Многомерные или векторные св

Случайным называется вектор , компоненты которого(координаты относительно ортонормального базиса) есть СВ. Случайный вектор=, называемый также-мерной случайной величиной, полностью характеризуется-мерной ФР, определяемой как вероятность произведения случайных событий , т. е.==.

Естественно рассматривать как координаты точек-мерного евклидова пространстваилиC. Тогдадает вероятность попадания точки () в-мерный параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат. Например,есть вероятность попадания точки () в заштрихованную область (рис. 1.6).

С помощью ФР можно легко вычислить вероятность попадания точки () в параллелепипед(). Например,=(рис. 1.7). В общем случае [1]

=

=,

где черезобозначено значение функциипри,,и при остальных.

Если часть переменных функции равна, т. е. эти переменные могут принимать любые значения, мы будем иметь ФР остальных не равныхпеременных. Например,=,=.

Если же хотя бы один из аргументов ФР равен , то она равна нулю, так как произведение случайных событий, одно из которых,, является невозможным событием. Как и одномерная, многомерная ФР является неубывающей функцией по каждому из аргументов.

Аналогично одномерному случаю, определяется непрерывный случайный вектор (непрерывная многомерная СВ), если существует неотрицательная функция такая, что при любых

=,

и =.

При использовании обобщенных функций понятие ПВ можно распространить и на дискретные многомерные СВ. Как и одномерная, многомерная ПВ удовлетворяет условию нормировки

.

Если многомерную ПВ проинтегрировать по всем значениям одной из переменных, то получим ПВ остальных СВ, т. е.

.

Данное свойство часто называют условием согласованности.

Для ФР это эквивалентно тому, что мы положили . Эти свойства называются согласованностью высших и низших ФР и ПВ. Вероятность попадания точки () в областьG равна

.

Как и для случайных событий, для случайных величин можно определить понятие зависимости. Говорят, что СВ являются зависимыми, если ПВ одной из них зависит от того, какое значение приняла другая СВ. Это записывается при помощи условной ПВ случайной величины, что читается как условная ПВ случайной величиныпри условии, что СВприняла значение.

Если ПВ случайной величины илине зависит от того, какое значение приняла другая величина, то такие СВ называются независимыми.

В общем случае совместная ПВ случайных величин изаписывается в виде

==.

Для независимых СВ =, что можно рассматривать как условие независимости СВ.

Для многомерных СВ эти формулы примут вид

= =

= = =

и для независимых СВ =.

Определение независимых СВ на языке ФР звучит так: если для любой совокупности исходных случайных величин , гдеимеет место равенство

,

то СВ независимы.

Условные плотности вероятностей обладают всеми свойствами ПВ. Они неотрицательны, т.е. и выполняется условие нормировкипри любых значениях.

Пример. Многомерное нормальное распределение. Многомерная случайная величина =подчиняется нормальному распределению, или нормальный случайный вектор, если

=,

где  положительно определенная квадратичная форма, пол-ностью заданная своей матрицей С =,, константа, определяемая из условия нормировки . Структура матрицыС будет определена чуть позднее.