|
ТЕМА 4 |
|
Статистика |
|
электронного |
Джозайя Уиллард Гиббс |
газа |
Людвиг Больцман |
|
(1839-1903) |
(1844-1906) |
Альбеорт Эйншт еойн Шатьендранат Б зе |
Поль Дираок |
Энр ко Ф рми |
||||
|
|
оо |
ио |
ео |
|
|
( 1879-1955) |
1894- 1974 |
(1902 — 1984 ) |
(1901- 1954) |
|
||
Статистика Ферми — Дирака квантовые частицы с полуцелым спином-
электроны
ni — среднее число частиц в состоянии i,i— энергия состояния i,
gi — кратность вырождения состояния i,
μ — химический потенциал (равен
энергии Ферми EF при абсолютном нуле температуры), k — постоянная Больцмана,
T — абсолютная температура
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», кафедра МИТ, ОЭиР, 2013
Статистика Бозе-Эйнштейна квантовые частицы с целым спином- фононы
Для фононного (фотонного) газа при получаем статистку Планка
При высоких температурах все статистики переходят в классическую статистику Больцмана (закон равного распределения по степеням свободы):
; |
; |
Бол |
|
|
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», кафедра МИТ, ОЭиР, 2013
Вырожденный электронный газ
Газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным, если среднее расстояние между частицами <a> становится меньше или сравнимым с дебройлевской длиной волны частицы DB ,
при этом свойства газа существенно отличаются от свойств классического идеального газа из-за неразличимости одинаковых частиц в квантовой механике.
Температурой вырождения называется температура, ниже которой проявляются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц.
Для газа, состоящего из ферми-частиц, температурой вырождения является температура
Ферми. Температура вырождения тем больше, чем меньше масса частиц и чем больше их концентрация. Электронный газ в металлах оказывается вырожденным при всех температурах,
при которых металл остается в твердом состоянии. |
EF kÁTF |
TF T |
|
Критерий вырождения электронного газа: |
EF kÁT |
||
|
|
|
|
Для газа, состоящего из бозе-частиц, температура вырождения определяется как температура, ниже которой происходит бозе-конденсация, т.е. переход заметной доли частиц в состояние с нулевой энергией. Именно с бозе-конденсацией связаны такие интересные физические явления, как сверхтекучесть жидкого гелия, т.е. его способность протекать через тонкие щели и капилляры без какой-либо вязкости, и сверхпроводимость некоторых металлов и сплавов
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», кафедра МИТ, ОЭиР, 2013
Плотность состояний
Размеры ячейки фазового пространства, приходящейся на одно состояние, определяются ограничениями на значения координаты и импульса, которые накладывают соотношения неопределенностей, поэтому:
объем фазового пространства, приходящийся на одно квантовое состояние,
равен |
min |
px py pz x y z ( p)3V (2 )3 |
|
где: Δpx, Δpy, Δpz, x, y, z |
- размеры ячейки в фазовом пространстве, приходящейся |
|
|
на одно состояние. |
|
|
. |
Таким образом, в фазовом пространстве на одно состояние приходится объем, равный |
|||
min (2 )3
Внутри тонкого сферического слоя радиусом p и толщиной dp число квантовых состояний будет равно
dà |
(dp)3 (dx)3 |
|
|
V |
|
(dp)3 |
|
V |
|
4 p2 dp |
||
min |
|
(2 )3 |
(2 )3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Плотность состояний в интервале p÷p+dp |
|
|
|
|
|
|||||||
|
g( p) dà |
|
|
4 V |
p2 |
|
|
|
|
|
||
|
(2 )3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
dp |
|
|
|
g(k) |
V |
|
k 2 |
||||
В к-пространстве (p=hk) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(2 )2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Плотность состояний в интервале E÷ E+dE
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», кафедра МИТ, ОЭиР, 2013
Плотность состояний Si
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», кафедра МИТ, ОЭиР, 2013
Cвязь концентрации электронов с энергией Ферми. Металлы. Фермиевские параметры
|
|
|
|
|
N(E) |
1 |
E |
|
|
E |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n(E) |
|
|
|
|
f (E)g(E)dE 2 |
|
|
E EF |
|
|
|
|
2 3 |
E 2 dE |
|||||||||||||||
|
|
|
V |
V |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 exp( |
|
|
|
|
) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
EF |
(3 2 n) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
(3 2 n)3 |
||||||||
|
2m |
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 |
n)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
pF kF mvF |
|
|
|
|
|
vF |
|
kF |
|
|
|
|
|
|
|
|
EF kÁTF |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», кафедра МИТ, ОЭиР, 2013
Энергии Ферми некоторых металлов
Металл |
|
Ef(0), эВ |
|
TF, K |
|
vF, км/c |
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||
Li |
|
4,72 |
|
55000 |
|
1,31 |
|
Na |
|
3,12 |
|
37000 |
|
1,07 |
|
K |
|
2,14 |
|
24000 |
|
0,8 |
|
Rb |
|
1,82 |
|
21000 |
|
0,75 |
|
Cs |
|
1,53 |
|
18000 |
|
0,75 |
|
Cu |
|
7,04 |
|
82000 |
|
1,5 |
|
Ag |
|
5,51 |
|
64000 |
|
1,40 |
|
Au |
|
5,51 |
|
64000 |
|
1,40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», кафедра МИТ, ОЭиР, 2013
Поверхность Ферми
1 |
|
|
|
kF (3 2n)3 |
kÁð |
||
a |
|||
|
|
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», кафедра МИТ, ОЭиР, 2013
Поверхность Ферми
http://www.phys.ufl.edu/fermisurface/
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», кафедра МИТ, ОЭиР, 2013
Cвязь концентрации электронов с энергией Ферми.
Е
ЕC
ЕF
ЕV
ЕC
=
Интеграл Ферми
Е |
Е**F |
|
ЕC |
|
Е*F |
|
kБT |
|
ЕF(0) |
|
ЕV |
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», кафедра МИТ, ОЭиР, 2013