КР2_Вариант_4
.docxБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра программного обеспечения информационных технологий
Факультет ФКСиС
Специальность ПОИТ
Контрольная работа №2
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Вариант 4
Выполнил студент: Бордон Е.С.
группа 991051
Зачетная книжка № 99105004
Минск 2021
Задача 10. Обработка одномерной выборки
Условие задачи
По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия X2 и критерия Колмогорова (a = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе.
Решение
Строим вариационный ряд случайной величины, размещая данные выборки в порядке возрастания:
0,02 0,05 0,06 0,09 0,1 0,11 0,11 0,13 0,14 0,17 0,19 0,27 0,28 0,32 0,36 0,41 0,41 |
0,42 0,49 0,5 0,51 0,56 0,56 0,61 0,7 0,75 0,82 0,83 0,86 0,88 0,89 0,94 0,94 0,95 |
1,03 1,11 1,11 1,13 1,27 1,32 1,43 1,48 1,51 1,52 1,76 1,8 1,85 1,93 1,94 1,99 2,02 |
2,1 2,16 2,2 2,33 2,4 2,42 2,42 2,51 2,59 2,6 2,69 2,85 2,88 3,02 3,03 3,04 3,08 3,23 |
3,29 3,3 3,32 3,42 3,55 3,61 3,63 3,68 3,72 3,85 3,89 4,01 4,33 4,38 4,79 4,88 4,89 4,96 |
5,11 5,64 6,07 6,44 6,85 6,88 6,92 7,04 7,35 7,76 7,78 14,72 16,86 |
График эмпирической функций распределения F*(x) – зеленый. График гипотетической функций распределения F0(x) – синий.
Количество интервалов M, необходимое для построения гистограмм
;
Интервально-статистический ряд для построения равноинтервальной гистограммы:
j |
Aj |
Bj |
hj |
vj |
pj* |
fj* |
1 |
0,02 |
1,704 |
1,684 |
44 |
0,44 |
0,2613 |
2 |
1,704 |
3,388 |
1,684 |
28 |
0,28 |
0,1663 |
3 |
3,388 |
5,072 |
1,684 |
15 |
0,15 |
0,0891 |
4 |
5,072 |
6,756 |
1,684 |
4 |
0,04 |
0,0238 |
5 |
6,756 |
8,44 |
1,684 |
7 |
0,07 |
0,0416 |
6 |
8,44 |
10,124 |
1,684 |
0 |
0 |
0,0000 |
7 |
10,124 |
11,808 |
1,684 |
0 |
0 |
0,0000 |
8 |
11,808 |
13,492 |
1,684 |
0 |
0 |
0,0000 |
9 |
13,492 |
15,176 |
1,684 |
1 |
0,01 |
0,0059 |
10 |
15,176 |
16,86 |
1,684 |
1 |
0,01 |
0,0059 |
Равноинтервальная гистограмма:
Интервально-статистический ряд для построения равновероятностной гистограммы:
j |
Aj |
Bj |
hj |
vj |
pj* |
fj* |
1 |
0,02 |
0,18 |
0,16 |
10 |
0,1 |
0,6250 |
2 |
0,18 |
0,505 |
0,325 |
10 |
0,1 |
0,3077 |
3 |
0,505 |
0,885 |
0,38 |
10 |
0,1 |
0,2632 |
4 |
0,885 |
1,375 |
0,49 |
10 |
0,1 |
0,2041 |
5 |
1,375 |
2,005 |
0,63 |
10 |
0,1 |
0,1587 |
6 |
2,005 |
2,595 |
0,59 |
10 |
0,1 |
0,1695 |
7 |
2,595 |
3,295 |
0,7 |
10 |
0,1 |
0,1429 |
8 |
3,295 |
3,95 |
0,655 |
10 |
0,1 |
0,1527 |
9 |
3,95 |
6,255 |
2,305 |
10 |
0,1 |
0,0434 |
10 |
6,255 |
16,86 |
10,605 |
10 |
0,1 |
0,0094 |
Равновероятностная гистограмма:
Точечная оценка математического ожидания:
;
Точечная оценка дисперсии:
Доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95. Для этого в таблице функции Лапласа найдем значение, равное γ/2= 0,475, и определим значение аргумента, ему соответствующее: z0,95=argΦ(0,475)=1,96.
;
Доверительный интервал для математического ожидания:
I0,95(mx)=[ 2,116; 3,206].
Доверительный интервал для дисперсии с надежностью γ = 0,95:
;
Доверительный интервал для дисперсии:
I0,95(Dx)=[ 5,975; 9,492].
По виду графика эмпирической функции распределения F*(x) и гистограмм выдвигаем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины
H0 – величина X распределена по нормальному закону:
H1 – величина X не распределена по экспоненциальному закону:
Определим оценки неизвестных параметров m и σ гипотетического
(экспоненциального) закона распределения:
mx*=
;
σ*=S0=
=
2,781;
Таким образом, получаем полностью определенную гипотетическую
функцию распределения:
Вычислим
значение критерия
на
основе
равноинтервального статистического
ряда по формуле:
Теоретические вероятности pi попадания в интервалы равноинтервального статистического ряда нормальной случайной величины с параметрами m*= 2,661 ; σ*=2,781 вычислим по формуле:
Значения функции Лапласа определяем с помощью специальной таблицы. Результаты расчета сводим в таблицу:
j |
Aj |
Bj |
F0(Aj) |
F0(Bj) |
pj |
pj* |
(pj-pj*)^2/pj |
1 |
-∞ |
1,704 |
0 |
0.36537 |
0,365370 |
0,44 |
0,015243 |
2 |
1,704 |
3,388 |
0.36537 |
0.60311 |
0,237740 |
0,28 |
0,007512 |
3 |
3,388 |
5,072 |
0.60311 |
0.80701 |
0,203900 |
0,15 |
0,014248 |
4 |
5,072 |
6,756 |
0.80701 |
0.92955 |
0,122540 |
0,04 |
0,055596 |
5 |
6,756 |
8,44 |
0.92955 |
0.98114 |
0,051590 |
0,07 |
0,006569 |
6 |
8,44 |
10,124 |
0.98114 |
0.99635 |
0,015210 |
0 |
0,01521 |
7 |
10,124 |
11,808 |
0.99635 |
0.99949 |
0,003140 |
0 |
0,00314 |
8 |
11,808 |
13,492 |
0.99949 |
0.99995 |
0,000460 |
0 |
0,00046 |
9 |
13,492 |
15,176 |
0.99995 |
0.999997 |
0,000047 |
0,01 |
2,107706 |
10 |
15,176 |
+∞ |
0.999997 |
1 |
0,000003 |
0,01 |
33,31333 |
|
|
|
|
Сумма: |
1 |
1 |
35,53902
|
Проверяем выполнение контрольного соотношения для p j :
В
результате получаем
=100*35,53902=3553,902;
Вычислим число степеней свободы по формуле k = M−1−s=10−1−2=7 и по заданному уровню значимости α =0,05 из таблицы распределения χ2 выбираем критическое значение χα;72=χ0,05;72=14,07.
Проверим гипотезу о экспоненциальном законе с помощью критерия
Колмогорова. Построим график F0(x) в одной системе координат с графиком
эмпирической функции распределения F*(x) (см. рис 10.1). В качестве
опорных точек для графика F0(x)используем 10 значений F0(Aj) из таблицы.10.3. По графику определим максимальное по модулю отклонение между функциями F*(x) и F0(x):
Вычислим значение критерия Колмогорова по формуле:
Из таблицы Колмогорова по заданному уровню значимости α=0,05 выбираем критическое значение λγ=λ1-α=λ0,95=1,36.
Так как λ=0,4 ≤ λ0,95=1,36, то гипотезу H0 о нормальном законе
распределения отвергать нет основания.
Задача 11. Обработка двухмерной выборки
Условие задачи
По выборке двухмерной случайной величины:
- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;
- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ = 0,95);
- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;
-
вычислить оценки параметров a0 и a1 линии
регрессии
- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.
Решение
Для решения задачи удобно воспользоваться приведенной ниже
Таблицей. Значения в 3-ем, 4-ом и 5-ом столбцах вычисляются по формулам, приведенными в первой строке таблицы. В последней строке таблицы приведены средние арифметические значений каждого из столбцов. Таким образом получены:
- оценки математических ожиданий по каждой переменной:
-оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:
-оценка смешанного начального момента второго порядка:
№ |
x |
y |
x2 |
y2 |
x*y |
1 |
2,10 |
1,53 |
4,41 |
2,34 |
3,213 |
2 |
4,69 |
0,86 |
22,00 |
0,74 |
4,0334 |
3 |
4,08 |
-0,24 |
16,65 |
0,06 |
-0,9792 |
4 |
5,54 |
7,99 |
30,69 |
63,84 |
44,2646 |
5 |
6,66 |
10,52 |
44,36 |
110,67 |
70,0632 |
6 |
1,60 |
3,06 |
2,56 |
9,36 |
4,896 |
7 |
5,42 |
6,48 |
29,38 |
41,99 |
35,1216 |
8 |
6,75 |
8,75 |
45,56 |
76,56 |
59,0625 |
9 |
2,85 |
3,15 |
8,12 |
9,92 |
8,9775 |
10 |
2,43 |
14,72 |
5,90 |
216,68 |
35,7696 |
11 |
4,60 |
1,63 |
21,16 |
2,66 |
7,498 |
12 |
-6,41 |
10,34 |
41,09 |
106,92 |
-66,2794 |
13 |
6,35 |
6,24 |
40,32 |
38,94 |
39,624 |
14 |
8,94 |
4,03 |
79,92 |
16,24 |
36,0282 |
15 |
-4,10 |
0,56 |
16,81 |
0,31 |
-2,296 |
16 |
6,86 |
6,07 |
47,06 |
36,84 |
41,6402 |
17 |
5,52 |
0,93 |
30,47 |
0,86 |
5,1336 |
18 |
10,09 |
1,54 |
101,81 |
2,37 |
15,5386 |
19 |
6,99 |
2,02 |
48,86 |
4,08 |
14,1198 |
20 |
-1,29 |
1,99 |
1,66 |
3,96 |
-2,5671 |
21 |
-0,05 |
-1,21 |
0,00 |
1,46 |
0,0605 |
22 |
4,67 |
7,09 |
21,81 |
50,27 |
33,1103 |
23 |
2,29 |
15,45 |
5,24 |
238,70 |
35,3805 |
24 |
6,53 |
6,17 |
42,64 |
38,07 |
40,2901 |
25 |
0,44 |
0,19 |
0,19 |
0,04 |
0,0836 |
26 |
-0,97 |
-0,71 |
0,94 |
0,50 |
0,6887 |
27 |
13,55 |
6,10 |
183,60 |
37,21 |
82,655 |
28 |
6,32 |
6,83 |
39,94 |
46,65 |
43,1656 |
29 |
4,79 |
8,31 |
22,94 |
69,06 |
39,8049 |
30 |
7,13 |
13,46 |
50,84 |
181,17 |
95,9698 |
31 |
7,32 |
-3,32 |
53,58 |
11,02 |
-24,3024 |
32 |
2,78 |
6,01 |
7,73 |
36,12 |
16,7078 |
33 |
-0,33 |
4,55 |
0,11 |
20,70 |
-1,5015 |
34 |
3,09 |
0,67 |
9,55 |
0,45 |
2,0703 |
35 |
-0,27 |
6,81 |
0,07 |
46,38 |
-1,8387 |
36 |
4,37 |
7,96 |
19,10 |
63,36 |
34,7852 |
37 |
-0,17 |
6,99 |
0,03 |
48,86 |
-1,1883 |
38 |
-3,89 |
3,41 |
15,13 |
11,63 |
-13,2649 |
39 |
9,63 |
2,46 |
92,74 |
6,05 |
23,6898 |
40 |
-4,09 |
1,14 |
16,73 |
1,30 |
-4,6626 |
41 |
5,18 |
4,15 |
26,83 |
17,22 |
21,497 |
42 |
-1,71 |
4,08 |
2,92 |
16,65 |
-6,9768 |
43 |
5,82 |
8,02 |
33,87 |
64,32 |
46,6764 |
44 |
0,56 |
7,87 |
0,31 |
61,94 |
4,4072 |
45 |
7,67 |
3,22 |
58,83 |
10,37 |
24,6974 |
46 |
4,02 |
9,68 |
16,16 |
93,70 |
38,9136 |
47 |
3,59 |
1,52 |
12,89 |
2,31 |
5,4568 |
48 |
-0,77 |
3,96 |
0,59 |
15,68 |
-3,0492 |
49 |
5,12 |
-0,03 |
26,21 |
0,00 |
-0,1536 |
50 |
3,50 |
4,93 |
12,25 |
24,30 |
17,255 |
Средние |
3,52 |
4,76 |
28,25 |
39,22 |
18,07 |