КР1_Вариант_4

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра программного обеспечения информационных технологий

Факультет ФКСиС

Специальность ПОИТ

Контрольная работа №1

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Вариант 4

Выполнил студент: Бордон Е.С.

группа 991051

Зачетная книжка № 99105004

Минск 2021

Задача 1. Случайные события. Вероятность события

Подбрасываются две игральные кости. Определить вероятность того, что выпадут одинаковые числа.

Решение

Число всех возможных комбинаций игральных костей равно , где - количество цифр в на игральных костях. Комбинации с одинаковыми цифрами 11, 22, 33, 44, 55, 66. Следовательно, число комбинаций с одинаковыми цифрами . Вероятность того, что все цифры одинаковы:

Ответ:

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p1 = 0,1; p2 = 0,2; p3 = 0,3; p4 = 0,4; p5 = 0,5 p6 = 0,6. Найти вероятность того, что сигнал пройдёт со входа на выход.

Решение

Значение безотказной работы элементов:

Элементы 1, 2 соединены последовательно.

Вероятность прохождения сигнала:

Ответ:

Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором - 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь нестандартна.

Решение

По условию задачи:

;

По формуле:

Ответ:

Задача 4. Формула Бернулли

Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?

Решение

Найдем наивероятнейшее число выпадения 6:

Ответ:

Задача 5. Дискретная случайная величина

В задаче дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в табл.). Найти p отмеченные *. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения. (Вариант 4)

Решение

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Определяем функцию распределения:

Строим график:

Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента

В задачах (условия приведены в табл) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=(X) и определить плотность вероятности g(y). Вариант 4.

Решение

Построим график функции Y=|x+1|+2 для x в интервале [-2,0] и определим диапазон значений Y: Y[0; 3]

_{Выделим интервалы по оси у в зависимости от кол-ва обратных функций} n = 0

n = 2

n = 0

_{Выделим интервалы по оси Y, на которых обратных функций нет:}

у є (-∞;2) U (3; ∞) n=0

_{Находим плотность вероятности равномерного закона распределения с.в. Х:}

_{Для каждого интервала находим обратные функции и их производные:}

_{Находим для каждого интервала плотность вероятности величины Y:}

_{Запишем плотность вероятности величины Y от плотности вероятности для всех интервалов:}

_Ответ:

_{Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных}

_{величин}

_{В задаче вычислить математическое ожидание и дисперсию}

_{величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции RUV:}

_{Конкретные значения коэффициентов и числовые характеристики случайных величин приведены в табл. Вариант 4}

Решение

Вычислим математические ожидания U и V:

m_u= –6+2m₁+6m₂ = –6+2*1+6*4 = 20;

m_v= 5–6m₂ + 2m₃=5–6*4+2*2 =-15;

Вычислим дисперсии D_U и D_V:

D_u=2² D₁+36 D₂+2*2*6*K₁₂=4*1+36*9+2*2*6*1,5=364;

D_v=(-6)² D₂+2² D₃+2*(-6)*2* K₂₃=36*9+4*4+2*(-6)*2*3=268;

Рассчитаем корреляционный момент K_UV по формуле:

K_UV= M[UV] − m_Um_V;

M[UV]=M[(–6+2X­_1­+6X₂)( 5–6X₂+2X₃)]=

=M[–30+36X₂-12X₃+10X₁-12X₁X₂+4X₁X₃+30X₂-36X₂X₂ +12 X₂X₃]=

= –30+36m₂–12m₃+10m₁-12M[X₁X₂]+ 4M[X₁X₃]+30m₂ - 36M[X₂X₂]+ +12 M[X₂X₃]= –30+36m₂–12m₃+10m₁-12(m₁m₂+K₁₂)+ 4(m₁m₃+K₁₃) +30m₂ - 36M(m₂²+D₂)+ 12(m₂m₃+K₂₃) = –30+36*4–12*2+10*1–12(1*2+1,5)+ 4(1*2+1)+ 30*4-36(4²+9)+12(4*2+3) = –578.

Таким образом

K_UV= –578 –(20*(-15))= –278;

Определяем величину R_UV:

Ответ: m_u =20; m_v =-15;

D_u =364; D_v =268;

K_UV =–278; R_UV =-0,89008;