МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра Физики
отчет
по лабораторной работе №3
по дисциплине «Физика»
Тема: «Исследование динамики колебательного
и вращательного движения»
Студент гр. 9492 |
|
Скотаренко Д.Д. |
Преподаватель |
|
Богачёв |
Санкт-Петербург
2019
Цель работы.
Исследование динамики колебательного движения на примере крутильного маятника, определение момента инерции маятника, модуля сдвига материала его подвеса и характеристик колебательной системы с затуханием (логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы).
Приборы и принадлежности.
Крутильный маятник, секундомер, масштабная линейка, микрометр.
Рисунок
1
рименяемый
в работе крутильный маятник (рис. 1)
представляет собой диск 1, закрепленный
на упругой стальной проволоке 2, свободный
конец которой зажат в неподвижном
кронштейне3. На кронштейне расположено
кольцо 4, масса которого известна. Кольцо
4 можно положить сверху на диск 1, изменив
тем самым момент инерции маятника. Для
отсчета значений угла поворота маятника
служит градуированная шкала 5, помещенная
на панели прибора снизу от диска 1.
Основные теоретические положения.
1. Момент инерции крутильного маятника.
Момент инерции (аналог инертной массы тела при его поступательном движении) – физическая величина, характеризующая инертные свойства твердого тела при его вращении. В соответствии с одной из формулировок основного уравнения динамики вращательного движения:
,
где
момент инерции I
связывает угловое ускорение тела
и
момент сил M,
действующих на него.
Крутильный маятник совершает вращательное колебательное движение вокруг оси, совпадающей с направлением стальной проволоки. Используя основное уравнение динамики вращательного движения, можно определить момент инерции маятника, а также физические величины, описывающие вращательное движение.
2. Уравнение движения крутильного маятника.
При
повороте тела, закреплённого на упругом
подвесе, возникает вращающий момент
упругих сил,
,
где k
– коэффициент кручения,
– угол поворота диска маятника.
Трение
в подвесе создаёт тормозящий момент,
пропорциональный скорости движения
маятника,
,
где R
– коэффициент сопротивления. С учётом
сил трения уравнение принимает вид:
,
или
где
называют коэффициентом затухания.
Решив дифференциальное уравнение при
,
получим:
где
– начальная амплитуда колебаний
маятника, измеряемая в радианах,
– время затухания колебаний, определяющее
скорость убывания амплитуды A(t)
колебаний маятника, численно равное
времени, за которое амплитуда колебаний
убывает в е раз,
– частота колебаний осциллятора с
затуханием, связанная с собственной
частотой соотношением
(
).
Время затухания колебаний
выражается через момент инерции I
и коэффициент сопротивления R
материала подвеса маятника
.
Нам
неизвестен момент инерции
исследуемой системы. Но, если на диск
маятника положит тело с известным
моментом инерции – кольцо с моментом
,
то момент инерции маятника станет равным
.
Коэффициент кручения материала подвеса
маятника не изменится:
.
Отсюда можно найти неизвестный момент
инерции диска маятника:
где
– момент инерции кольца,
– внешний и внутренний диаметры кольца,
m
– его масса.
3. Крутильный маятник как диссипативная система.
Полная энергия колебаний убывает со временем по закону:
,
где
– начальная энергия колебаний
Скорость диссипации энергии может быть найдена как:
Колебательная система также характеризуется добротностью Q, позволяющей судить о способности системы сохранять энергию. Добротность определяется формулой:
т.
е. добротность численно равна числу
колебаний за время
.
За это время колебания практически
затухают. Часто также используется
параметр
– число колебаний, за которое амплитуда
уменьшается в е раз.
В
технике для характеристики колебательных
систем с затуханием вводятся декремент
затухания
,
равный отношения амплитуд колебаний,
отличающихся на период колебаний, и его
логарифм – логарифмический декремент
затухания
.
Откуда
4. Определение модуля сдвига.
Методом крутильных колебаний пользуются для косвенного измерения модуля сдвига G материала подвеса. Для подвеса из стальной проволоки модуль сдвига определяется из соотношения:
Где l – длина подвеса, d – его диаметр, k – его коэффициент кручения.
Модуль
сдвига G
связан с модулем Юнга соотношением
.
Где коэффициент Пуассона
– отношение поперечной и продольной
относительной деформации образца
материала и для металлов близок к 0,3.
Ответы на теоретические вопросы
В: Какие колебания называются гармоническими. Запишите параметры гармонических колебаний.
О: Колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по гармоническому (синусоидальному или косинусоидальному закону). Уравнение гармонических колебаний имеет вид:
где х — отклонение колеблющейся величины в текущий момент времени t от среднего за период значения; А — амплитуда колебания, т.е. максимальное за период отклонение колеблющейся величины от среднего за период значения; ω (радиан/с, градус/с) — циклическая частота, показывающая, на сколько радиан (градусов) изменяется фаза колебания за 1 с; ( ω t + φ ) (радиан, градус) — полная фаза колебания; φ (радиан, градус) — начальная фаза колебаний, которая определяет значение полной фазы колебания (и самой величины x) в момент времени t = 0.
В: Что можно определить, измеряя период колебания крутильного маятника, нагруженного кольцом, и без кольца?
О: Определить, измеряя период колебания крутильного маятника, нагруженного кольцом, и без кольца, можно момент инерции крутильного маятника.