идз по матану5 и теор вер10-12 / ТВ-10-11-12 Дискретный СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР

5

СЭ→Вероятностное пространство→Случайная Величина X. Функция распределения СВ Х: F:R→[0;1], Функция

Числовые характеристики СВ: Математическое ожидание M_XM[X]; дисперсия D_XM[(X-M_X)²]; среднее квадратическое отклонение σ_X

§10 Дискретный СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР: ряд и функция распределения вектора и его

координат.

Пусть в СЭ одновременно наблюдаются несколько случайных величин X_i i=1,2,...,n, заданных на одном вероятностном пространстве.

Вектор, координатами которого являются эти СВ, называется случайным вектором . Если X_i – ДСВ /АНСВ, случайный вектор называется дискретным / непрерывным.

Пусть - двумерный дискретный с. вектор, множество значений которого является конечным или счетным.

Вероятностное распределение задается совместным рядом распределения его координат

Математическая модель DC вектора :

Распределение такого вектора удобно представлять в виде таблицы

Y→ X↓	y1	y2	….	ym	↓ PX↓
x1	p11	p12	…	p1m
x2	p21	p22	…	p2m
….	…		…	…	….
xn	pn1	pn2	…	pnm
			…		↑↑

Следствия.

1. Ряд распределения вектора определяет: 1.1 ряды распределения его координат – случайных величин X, Y: 1.2 их числовые характеристики ( M_X/Y, D_X/Y, σ_X/Y ) и

   3. функции распределения координат: и

   4. функцию распределения F(x,y) случайного вектора

2. 

§11 Числовые характеристики случайного вектора.

Пусть задан ряд распределения дискретного случайного вектора , найдены ряды распределения случайных величин и их числовые характеристики – M_X, M_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y.

Определение 1. (Математическое ожидание, дисперсия и С.К.О. случайного вектора).

(1)

Определение 2. Если числовая функция двух переменных g(x,y) определяет на случайную величину Z=g(, математическим ожиданием Z называется число M[Z=g(X,Y)] . (2)

Теорема. Если случайные величины имеют конечные мат. ожидания, мат. ожидание линейной комбинации случайных величин равно линейной комбинации их мат. ожиданий

(3)

Для доказательства запишем определение (2) и упорядочим суммирование в каждом слагаемом

 (3’)

Определение 3.

Ковариационным моментом случайных величин - координат случайного вектора называется число

(4)

Коэффициентом корреляции случайных величин называется безразмерная величина

Cледствия.

1. Если в (4) раскрыть скобки, из определения (2), свойств (3’) и условия получим равносильную формулу для cov(X,Y) (4’)

2.

§12 Зависимость и коррелированность случайных величин.

ТВ:

Определение 1 Случайные величины X,Y называются независимыми, если их совместное распределение равно произведению распределений этих случайных величин. Иначе X,Y называются зависимыми. ДСВ: НСВ:

Определение 2 Случайные величины X,Y называются некоррелированными, если их ковариационный момент (и коэффициент корреляции) равен нулю: cov(X,Y)=r(X,Y)=0. Иначе X,Y называются коррелированными.

Следствия

1. Из независимости случайных величин следует их некоррелированность. Доказательство.

Коррелированные случайные величины являются зависимыми (методом «от противного»).

2.

================================================

ИДЗ-ТВ-5 «Случайный вектор»

Задание.

1. По заданной таблице определить случайный вектор X=[X,Y]^t.

2. Определить и найти ряды распределения, функции распределения, числовые характеристики случайных величин X, Y и вычислить значение функции распределения случайного вектора в точке F(a,b).

3. Определить и вычислить ковариацию и коэффициент корреляции координат вектора, ковариационную и корреляционную матрицы.

4. Определить и исследовать зависимость/независимость и коррелированность/некоррелированность случайных величин X, Y.