Интеграл Мора

39. Что такое обобщенная сила? Что такое обобщенное перемещение?

Обобщённая сила — групповой силовой фактор, удерживающий механическую систему в равновесии и совершающий работу на обобщенном перемещении.

Обобщённое перемещение — геометрический параметр, представляющий собой макро-деформацию объекта по направлению обобщенной силы.

40. Как связаны между собой обобщенная сила и обобщенное перемещение?

A = 0,5*F*Δ_F

41. Приведите примеры (3-4 примера) обобщенных сил и соответствующих им обобщенных перемещений.

• Вертикальная сила, приложенная на конце консоли — вертикальное перемещение точки приложения силы.

• Две равные по величине противоположные силы, приложенные на торцах стержня и направленные по одной прямой — взаимное смещение торцов стержня, равное абсолютному удлинению стержня.

• Пара сил, момент которой M = F*a — угол поворота.

42. Сформулируйте теорему Кастильяно.

Частная производная потенциальной энергии по обобщенной силе равна перемещению точки приложения этой силы по направлению силы.

43. Сформулируйте теорему Клапейрона.

Действительная работа обобщённой силы при статическом действии на линейно упругую систему равна половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение соответствующего обобщённого перемещения.

44. Почему в теореме Клапейрона появляется множитель 0,5?

Поскольку работа вычисляется как площадь под графиком функции и функция линейная (рассматриваемые деформации не выходят за пределы действия закона Гука), величина площади под графиком находится как величина площади треугольника. А в формуле…

45. Как определяется потенциальная энергия упругой деформации произвольно нагруженного пространственного стержня?

46. При каком выборе системы координат справедлива формула для потенциальной энергии упругой деформации стержня?

z – ось стержня, x и y – главные центральные оси поперечного сечения

47. Запишите интеграл Мора в общем виде. Поясните смысл входящих в него величин.

• Кх , Ку – коэффициенты, зависящие от формы поперечного сечения

• NF, QxF, QyF , MzF, MxF, MyF - внутренние усилия от действия внешней нагрузки

• N1, Qx1, Qy1 , Mz1, Mx1, My1  -внутренние усилия от действия единичного усилия F = 1.

• Е – модуль упругости

• G – Модуль сдвига

• I – момент инерции поперечного сечения относительно какой-то оси (/полярный момент инерции)

48. Как определяется потенциальная энергия упругой деформации стержня при плоском изгибе?

49. Как определяется потенциальная энергия упругой деформации стержня при кручении?

50. Как определяется потенциальная энергия упругой деформации стержня при осевой деформации?

51. Как определить величину прогиба в заданном сечении при плоском поперечном изгибе методом Мора?

• 

Приложить единичную силу

52. Как определить поворот заданного сечения балки при плоском изгибе методом Мора?

Приложить единичный момент

53. Почему при определении перемещений при плоском изгибе по методу Мора слагаемым, содержащим поперечную силу, обычно пренебрегают?

Влияние поперечных сил при определении перемещений, как показывает практика, не существенно, поэтому им можно пренебречь.

54. Как определить направление перемещения при вычислении по способу Мора?

Прикладывается единичная нагрузка:

1. Единичный момент: если угол поворота получился отрицательный, то на самом деле поворот сечения произошёл в сторону, противоположную направлению единичного момента.

2. Единичная сила: если прогиб получился отрицательный, то на самом деле он произошёл в сторону, противоположную направлению единичной силы.

55. Какие приемы (способы) вычисления интеграла Мора Вы знаете? Перечислить соответствующие формулы.

1. Формула трапеции

(верна только для линейных функций)

2. Формула Симпсона (универсальная)

3. Прием Верещагина (универсален)

Где Wf – площадь эпюры от внешней нагрузки, n – ордината под центром тяжести грузовой эпюры

56. Формула Симпсона

57. Формула трапеции

58. Прием Верещагина

Статически неопределимые системы

59. Какие системы называются статически неопределимыми? Что такое степень статической неопределимости?

Это системы, реакции в которых не могут быть определены из уравнений равновесия (статики).

ССН — число, показывающее, насколько количество неизвестных превышает количество независимых уравнений равновесия.

60. Геометрически изменяемые/неизменяемые системы.

ГИС – система, в которой перемещение точек возможно без деформации стержней.

ГНС – система, в которой перемещение точек возможно лишь за счет деформации стержней.

61. Что понимают под основной системой?

Статически определимая, геометрически неизменяемая система, полученная путём отбрасывания лишних связей от первоначальной системы.

62. Что такое "лишние связи"? С какой точки зрения они лишние?

Связи, реакции в которых нельзя найти только из уравнений равновесия и при удалении которых система остается геометрически неизменяемой.

Называются лишними с той точки зрения, что число связей превышает число уравнений равновесия.

63. Запишите каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой балки.

– перемещение в основной системе по направлению i отброшенной связи вызванное действием единичной безразмерной нагрузки (силы/момента) приложенной по направлению j отброшенной связи;

– неизвестная реакция в i связи;

– перемещение в основной системе по направлению i отброшенной связи, вызванное действием внешних нагрузок.

64. Что означает ноль в правой части канонического уравнения метода сил?

Ноль означает, что перемещений в месте лишней связи в исходной статически неопределимой системе нет, хотя в основной системе в месте отброшенной лишней связи перемещение будет (равное Δ_1F)_.

65. – перемещение в основной системе по направлению i отброшенной связи вызванное действием единичной безразмерной нагрузки (силы/момента) приложенной по направлению j отброшенной связи;

66. – перемещение в основной системе по направлению i отброшенной связи, вызванное действием внешних нагрузок.

67. Что представляют собой свободные члены канонических уравнений метода сил и как они определяются.

68. Что представляют собой свободные члены канонических уравнений метода сил и как они определяются.

69. Каков физический смысл канонических уравнений метода сил?

отрицание перемещений по направлению отброшенной связи

70. Приведите примеры (3-4 примера) возможных основных систем для двухпролетной неразрезной балки.

71. Приведите примеры нескольких возможных основных систем для балки с одним жестко заделанным концом и дополнительной шарнирно-подвижной опорой.

72. Как проверить правильность расчета статически неопределимой системы?

1. Выполнить деформационную проверку.

2. Выполнить статическую проверку.

73. В чем заключается кинематическая (деформационная) проверка?

Вычислить перемещение в исходной системе в лишней связи (путём вычисления интеграла Мора или по уравнению функции прогибов), которая рассматривалась как отброшенная. Если перемещение равно нулю, то проверка выполнена.

74. В чем заключается статическая проверка?

Составляется уравнение равновесия: сумма моментов относительно любой точки схемы и проверяется условие равенства нулю. Если полученное уравнение равно нулю, значит, статически неопределимая система рассчитана верно.

75. Может ли эпюра изгибающего момента в статически неопределимой балке быть однозначной? Ответ поясните.

Нет, она обязательно должна быть разнозначной.

76. Как определяются перемещения в статически неопределимых балках по методу Мора?

Система рассматривается в грузовом и единичном состоянии, строятся грузовая и единичная эпюры, находятся усилия, вычисляется интеграл Мора.

Устойчивость центрально сжатого стержня

77. Какая конструкция считается устойчивой?

Конструкция считается устойчивой, если она сохраняет первоначальную форму упругого равновесия при действии внешних нагрузок.

78. Что означает термин «Потеря устойчивости»?

Появление деформаций, несвойственных характеру нагружения.

79. Какая форма равновесия называется устойчивой?

Если малые возмущения вызывают малые отклонения от исследуемого состояния и при удалении возмущения система возвращает свою форму и положение равновесия, то исследуемое состояние равновесия является устойчивым.

80. Что такое критическая сила?

Сила, превышение которой вызывает потерю устойчивости.

81. Какая форма равновесия называется неустойчивой?

Если при сколь угодно малом отклонении от исследуемого положения равновесия система удаляется от этого положения или формы равновесия, то исследуемое состояние равновесия называется неустойчивым.

82. Какая форма равновесия называется безразличной?

(Бифокация)

Если новое положение системы после отклонения от исходного остаётся положением равновесия и после удаления внешнего воздействия.

83. Что такое гибкость стержня?

Это отношение расчётной длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения

, где мю – коэффициент приведения длины, L – длина стержня, i – минимальный радиус инерции.

84. Как классифицируются стержни по их гибкости?

Малой, средней и большой гибкости.

85. Как определяется предельная гибкость для материала?

86. Чему равно критическое напряжение, если гибкость стержня равна предельной?

87. Что такое «приведенная длина стержня»?

Длина полуволны синусоиды в оси стержня, потерявшего устойчивость. Lпр=μ*L

μ- коэффициент приведения длины.

88. От чего зависит коэффициент приведения длины?

От способа закрепления стержня.

89. Запишите формулу Эйлера для критической силы.

90. Запишите формулу Ясинского для критической силы.

91. Запишите формулу для вычисления критической силы, если возникающие напряжения не превосходят предела пропорциональности.???

92. При каких напряжениях теряют устойчивость стержни большой гибкости? Запишите формулу, по которой определяется для них критическая сила.

93. При каких напряжениях теряют устойчивость стержни средней гибкости? Запишите формулу, по которой определяется для них критическая сила.

94. Можно ли пользоваться формулой Эйлера за пределом пропорциональности материала? Ответ поясните.

Нельзя, т.к не работает закон Гука

95. Запишите условие устойчивости сжатого стержня. Какие задачи оно позволяет решать?

1. Проверка условия устойчивости

2. Определение грузоподъемности

3. Подбор сечения

96. В каких пределах находится величина коэффициента понижения основного допускаемого напряжения (коэффициент продольного изгиба), от чего этот коэффициент зависит?

0

Зависит от материала и гибкости стержня.

97. Как определяется допускаемого напряжение на устойчивость?

98. Какие поперечные сечения считаются наиболее рациональными для центрально сжатых стержней?

У которых I_X = I_Y. Например: круг, кольцо, квадрат, равносторонний треугольник.

Динамические нагрузки

99. Какие нагрузки считаются динамическими?

Динамическая нагрузка — нагрузка, характеризующаяся быстрым изменением во времени её значения, направления или точки приложения и вызывающая в элементах конструкции значительные силы инерции.

100. Какие нагрузки считаются статическими?

Статические нагрузки — нагрузка, значение, направление и место приложения которой изменяются столь незначительно, что при расчёте сооружения их принимают независящими от времени и поэтому пренебрегают влиянием сил инерции, обусловленных такой нагрузкой.

101. Сформулируйте принцип Даламбера.

Движущееся тело можно рассматривать как находящееся в состоянии мгновенного равновесия, если кроме внешних нагрузок учесть силы инерции.

102. Что такое «динамический коэффициент»?

Динамический коэффициент — отношение динамического значения некоторого фактора к соответствующему статическому значению этого фактора.

103. Как определяются динамические напряжения и перемещения при ударе?

104. Какие допущения принимаются при выводе формулы для динамического коэффициента при продольном ударе?

• Удар неупругий (совместное движение тел).

• Размеры падающего тела малы (ударная нагрузка — сосредоточенная сила).

• Возникающие напряжения не превосходят предела пропорциональности (справедлив закон Гука).

• Силами инерции, связанными с массой стержня, пренебрегаем.

• Пренебрегаем потерями энергии.

• Процессы в зоне контакта не рассматриваем.

105. Запишите формулу для вычисления динамического коэффициента при подъеме груза с ускорением.

106. Запишите формулу для вычисления динамического коэффициента при поперечном ударе.

107. Запишите формулу для вычисления динамического коэффициента при продольном ударе.

δ_стат — деформация упругой системы в точке, где производится удар, при статическом приложении груза G (падающего груза).

108. Каково значение динамического коэффициента при внезапном приложении нагрузки? Ответ обосновать.

K_дин = 2, так как H = 0.

109. Как вычисляется динамический коэффициент при продольном ударе, если известна скорость груза в момент удара?

110. Как изменятся динамические напряжения в стержне при продольном ударе, если при прочих равных условиях использовать материал с большим модулем Юнга (ответ обосновать)?

Увеличится, так как увеличится жесткость, а значит уменьшится δстат, следовательно коэффициент динамичности возрастет.

111. Как изменится динамическое напряжение в стержне при продольном ударе, если при прочих равных условиях увеличить его длину? (Ответ обосновать)

Динамическое напряжение уменьшится, так как увеличится δстат

Колебания механических систем с одной степенью свободы

112. Какие колебания называют свободными, какие – вынужденными?

Свободные — колебания, которые совершает система без поступления энергии извне после начального внешнего возмущения.

Вынужденные — колебания, вызванные и поддерживаемые переменными внешними силовыми воздействиями.

113. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы.

,

где 2n=r*(g/F)=r/m (r-коэф.пропорциональности),

f(t)=g/F*F(t) (F(t)-внешняя возмущающая сила),

w^2=g/Vст=1/(mδ) (δ-прогиб балки от единичной силы, приложенной в месте расположения массы)

114. Запишите дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы.

115. Нарисуйте график, описывающий свободные колебания механической системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления.

116. Нарисуйте график, описывающий свободные колебания механической системы с одной степенью свободы в случае слабого сопротивления.

117. Запишите формулу для динамического коэффициента при вынужденных колебаниях механической системы с одной степенью свободы.

118. Что такое круговая (циклическая) частота?

Круговая частота — характеристика периодического колебательного процесса.

119. Как вычисляется круговая частота свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы?

с — жёсткость, m — масса, сконцентрированная в одной точке.

120. Запишите формулу для коэффициента нарастания амплитуды