Министерство науки и высшего образования РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

Факультет информатики и робототехники

Кафедра вычислительной математики и кибернетики

Расчетно-графическая работа

«Имитация СМО с одним устройством»

по дисциплине

«Компьютерное моделирование»

Выполнил:

студент группы МО-317

Ишпахтин А. А.

Проверила:

Валеева А. Ф.

Уфа 2021

Оглавление

Постановка задачи 2

Пояснения к модели 2

Оценки модели 3

Описание модели 4

Анализ модели 9

Верификация имитационной модели 10

Вывод 14

1. Написать имитационный алгоритм и программу.

2. Выполнить верификацию имитационной программы.

3. Провести анализ очереди из клиентов в течение интервала времени [0, T].

4. Определить приближенный 95% доверительный интервал для ожидаемой средней задержки клиента в течение периода T.

Во всех моделях СМО предполагается, что клиенты прибывают согласно неоднородному Пуассоновскому процессу с ограниченной функцией интенсивности .

Постановка задачи

Имеется магазин с одним устройством, куда пребывают клиенты. График с 8 до 20, в среднем в час поступает 3 клиента.

Допущения:

• Клиенты пребывают в систему, имеющую одно устройство и одну очередь.

• Когда клиенты поступают в систему, если устройство занято, то они образуют очередь, иначе поступают на устройство.

• Когда обслуживание клиента заканчивается, он покидает систему и клиент, который дольше всех находится в очереди, начинает обслуживаться.

Пояснения к модели

• Устройство обслуживания – касса

• Требование – покупатели

• Единица времени – час

• Интенсивность – 3 человека в час

• Функция интенсивности –

• Время работы T – 12 часов (с 8 до 20)

Обеденный перерыв отсутствует, есть вероятность переработки (последний клиент уйдет после закрытия магазина).

Оценки модели

• Оценка ожидаемой средней задержки клиентов в очереди:

, — время задержки клиента i в очереди, - число клиентов, которые прибыли в период времени

• Оценку ожидаемого среднего числа клиентов в очереди:

- число клиентов в системе в период времени .

• Оценка занятости устройства – ожидаемый коэффициент использования устройства (время, когда устройство занято/период моделирования T), где функция занятости В(t):

• Среднее время, в течение которого клиент проводит в системе, вычисляется как:

,

где - это количество времени, в течение которого клиент проводит в системе; - общее число клиентов, которые пришли до времени .

• (оценки для математических ожиданий , имитация проводится раз, - достаточно велико).

Описание модели

Вспомогательные функции

• Функция интенсивности Входные данные: t – время в системе. Выходные данные: Значение функции интенсивности в момент времени t. Функция интенсивности:

• Функция генерации неоднородного пуассоновского процесса Входные данные: s – время в системе L – интенсивность появления событий Выходные данные: t – время следующего события в системе Алгоритм (poisson(t, lambd)):

1. Присвоить t = s

2. Генерируем случайную переменную U1 = Uniform[0, 1]

3. Присвоить t =

4. Генерируем случайную переменную U2 = Uniform[0, 1], независимую от U1.

5. Если , то:

   1. T_s = t

   2. Конец алгоритма

6. Иначе повторить с шага 2.

• Функция генерации случайной величины Входные данные: L – интенсивность появления событий Выходные данные: Y – значение показателей случайной величины Алгоритм (exponentional(lambd)):

1. Генерируем случайное число U = Uniform[0, 1]

2. Возвращаем величину Y =

Реализация алгоритма. Процедуры работы СМО.

Переменная времени:

Количественные переменные:

- число прибывших клиентов к моменту времени

- число уходов клиентов к моменту времени

Переменная состояния:

- число клиентов в системе к моменту времени

События: пребывания и уходы клиентов.

Список событий:

- время следующего прибытия клиента (после );

- время завершения работы устройства после обслуживания клиента

( если никакой клиент в данный момент не обслужен).

Случайные переменные:

— время поступления клиента ;

— время между поступлениями клиентов i - 1 и (t₀= 0);

— время, потраченное устройством на обслуживание клиента i

(без учета времени задержки клиента в очереди);

— время задержки клиента i в очереди;

— время ухода клиента i по завершении

обслуживания;

— время возникновения события j любого типа.

Выходные переменные:

- время прибытия клиента

- время ухода клиента

- время после , когда последний клиент уходит

- количество времени, в течение которого клиент проводит в системе

- оценка среднего времени после , когда уходит последний клиент

- оценка среднего времени, в течение которого клиент проводит в системе

,

- наблюдаемое значение (время после , когда ушел последний клиент)

- число клиентов в системе в период времени

Amount – количество клиентов за смену

Tp – время задержки закрытия

– среднее время клиентов в очереди

– среднее время клиента в системе

1-Work/T – коэффициент занятости устройства

– средняя длина очереди

События:

• прибытие клиента

• уход клиента

• клиент ушел – но очередь не пуста

• клиент ушел – и время работы закончилось

Общая схема алгоритма имитации СМО с одним устройством:

Пусть - случайная переменная – время обслуживания устройства с распределением .

Инициализация переменных

Присвоить

Присвоить

Генерировать и присвоить =

Изменения системы будут происходить в зависимости от того, какое событие будет следующим – прибытие или уход клиента, при этом рассматриваются различные случаи.

Случай 1 – прибытие клиента( t_A t_D, t_A T)

Алгоритм:

1. Присвоить t = t_A (движение вдоль оси времени ко времени t_A)

2. Присвоить N_A = N_A+1 (подсчитано более одного прибытия к моменту времени t_A)

3. Присвоить n = n+1 (в настоящее время имеется более одного клиента)

4. Запустить функцию генерации неоднородного пуассоновского процесса (poisson(t, lambd)) и присвоить полученное значение t_{A (}это время следующего прибытия клиента)

5. Если n = 1, генерировать случайную переменную Y(exponentional(lambd)) имеющую показательное распределение и присвоить t_D = t + Y(exponentional(lambd))

6. Запомнить выходные данные A(N_A) = t (время прибытия клиента N_A)

Случай 2 – уход клиента (t_D t_A, t_D T)

Алгоритм:

1. Присвоить t = t_D (движение вдоль оси времени до времени t_D)

2. Присвоить N_D = N_D+1 (подсчитано более одного ухода клиента)

3. Присвоить n = n-1 (имеется меньше одного клиента)

4. Если n = 0, присвоить t_D = , иначе генерировать случайную величину Y(exponentional(lambd)) имеющую показательное распределение и присвоить t_D = t + Y(exponentional(lambd))

5. Запомнить выходные данные D(N_D) = t (время ухода клиента N_D)

Случай 3 – время работы закончилось, а клиенты еще есть в системе (min(tA , tD,)> T, n>0)

Алгоритм:

1. Присвоить t = t_D (движение вдоль оси времени до времени t_D)

2. Присвоить N_D = N_D+1 (подсчитано более одного ухода клиента)

3. Присвоить n = n-1 (имеется меньше одного клиента)

4. Если n>0, генерировать случайную величину Y(exponentional(lambd)) имеющую показательное распределение и присвоить t_D = t + Y(exponentional(lambd))

5. Запомнить выходные данные D(N_D) = t (клиент N_D ушел)

Случай 4 – время работы закончилось, клиентов в сети нет (min(tA, tD)>T, n=0)

Алгоритм:

1. Запомнить выходные данные

После того, как время работы закончилось и клиентов в сети нет, выводим:

Amount – количество клиентов за смену

Tp – время задержки закрытия

– среднее время клиентов в очереди

– среднее время клиента в системе

1-Work/T – коэффициент занятости устройства

– средняя длина очереди