Презентация Растяжение полосы, ослабленной эллептичиским отверстием
.pptx
Задача Колосова Растяжении полосы, ослабленной эллиптическим отверстием
z
В прошлом веке инженеры рассчитывали прочность различных конструкций, исходя из естественного на первый взгляд правила: напряжение есть сила, деленная на площадь сечения, а значит, при уменьшении сечения за счет отверстия напряжения в нем растут обратно пропорционально площади ослабленного сечения. Такой подход оказался совершенно недостаточным и на практике приводил к тому, что корабли, мосты и другие изделия внезапно разрушались по необъяснимым на первый взгляд причинам, причем не в экстремальных ситуациях. Накапливавшийся печальный опыт показал, что опасными местами корпуса корабля являются различные люки, отверстия и вырезы, именно вокруг них появлялись трещины, которые от неравномерной загрузки трюма или от удара волны могли со скоростью пули перерезать судно надвое, и оно тонуло так быстро, что свидетели катастрофы догадывались об этом по скрещенным мачтам, мелькнувшим в последние мгновения над волнами. Инженеры-мостостроители, в свою очередь, подтверждали, что заклепки всегда разрушаются в местах резкого изменения сечения при переходе от стержня к головке, и рекомендовали применять изобретенные в Германии заклепки с плавным коническим переходом. К подобному же выводу и тоже чисто экспериментально приходили и инженеры-транспортники, хотя предмет их огорчений оси железнодорожных вагонов и паровозов ломались в условиях усталостного разрушения, связанного с тем, что при вращении они подвергаются циклически повторяющемуся изгибу.
И в более позднее время происходили события, на первый взгляд довольно странные. Например, 16 января 1943 г. по возвращении в порт после успешно проведенных морских испытаний американский танкер "Скенектади" внезапно разломился на две части. Трещина зародилась в остром углу люка на палубе, практически мгновенно прошла через палубу и по обоим бортам корпуса до подводной части у самого киля. Все это случилось в безветренную погоду, при температуре воздуха -3 С и температуре воды -4,5 С. Примерно в таких же условиях 29 марта 1943 г. в канале Амбросо, вблизи Нью-Йорка, разломился пополам другой корабль такого же класса "Манхеттен", построенный на семь месяцев раньше и имевший аналогичную конструкцию, за исключением установки взлетной палубы.
У читателя может возникнуть вполне естественный вопрос: а какое отношение имеют все эти примеры к сверхпластичности? Дело в том, что в литературе по СП также часто принимается, что напряжение есть сила, деленная на
площадь. Именно в таком смысле используется напряжение σ, которое входит во многие физические формулы. Такое предположение не всегда может быть верным, о чем свидетельствуют не только приведенные выше примеры; к аналогичному выводу приводит анализ точных решений некоторых задач теории упругости.
z
Рис. 1 Решение Кирша: на
контуре малого кругового отверстия напряжения в 3 раза превышают напряжения в удаленных точках
Задачу о растяжении полосы с отверстием. Пусть полоса растягивается равномерно внешними силами так, что напряжение в ней равно σ. Спрашивается, как изменится величина напряжения, если в полосе имеется небольшое круглое отверстие (рис. 1)? В 1898 г. немецкий механик Г.Кирш решил эту задачу; оказалось, что в точках А на краю отверстия имеется резкий пик напряжений. Напряжения там втрое (!) превышали напряжения в точках, удаленных от края отверстия, или напряжения в сплошной пластинке, нагруженной теми же силами. Бытовавшие в то время инженерные методы расчета занижали оценку опасных напряжений почти в три раза, поскольку малое отверстие почти не снижает площадь поперечного сечения. Еще более удивительные результаты были получены при решении сложной задачи о растяжении пластинки с эллиптическим отверстием (рис.1). Это решение было получено впервые талантливым русским ученым Г.В.Колосовым в 1909 г. в его диссертации "Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости". Однако работа Колосова была опубликована в небольшом университетском городке Юрьеве (теперь это Тарту в Эстонии), на Западе она до сих пор малоизвестна, и там ссылаются на статью английского ученого К.Инглиса, хотя она вышла только в 1913 г. (в Трудах Королевского института корабельных инженеров). Решение Колосова- Инглиса показало, что наиболее опасные пиковые напряжения определяются кривизной отверстия, и у вершин А, где кривизна максимальна, могут достичь значений, во много раз превышающих значения напряжений в сплошной пластинке (в рамках предположения, что материал пластинки ведет себя как упругий). Зона повышенных напряжений, называемых местными, имеет малые размеры, сравнимые с размером зоны резкого изменения границы. Благодаря профессору Инглису в практику расчетов на прочность вошло понятие "концентрация напряжений". Число, показывающее, во сколько раз местные напряжения превышают номинальные, называется коэффициентом концентрации напряжений и определяется формой выреза и свойствами материала. Самая опасная ситуация возникает у острых вырезов в хрупких материалах.
zНайденные Колосовым и Инглисом формулы сложны и
поэтому здесь не приводятся; отметим только крайне важный результат: наибольшие напряжения наблюдаются в вершинах А эллипса, где
σy = σ0(1+2a/b)
Согласно этой формуле, напряжения в вершинах узкого эллипса (a/b - велико) могут стать очень большими. Если ввести в формулу величину r = b2/a, называемую радиусом кривизны в вершине выреза, то получим
z
Рис. 2 Решение Колосова - Инглиса:
на контуре малого эллиптического отверстия номинальное напряжение может превышаться во много раз; например, для эллипса с отношением полуосей a/b=3 превышение составляет 1+2a/ b=7 раз
Оказалось, что в таком виде выражение для концентрации напряжений применимо не только для эллиптических отверстий, но и для отверстий с достаточно произвольной гладкой границей, на контуре которых есть точки с малым радиусом кривизны; концентрация напряжений определяется глубиной выреза a и радиусом кривизны в его вершине r. Большая концентрация напряжений согласно формуле может наблюдаться и у острого края люка в борту корабля, и у вершины царапины на оконном стекле.
Таким образом, напряженное состояние в образце, растягиваемом на привычной любому "сверхпластичнику" испытательной машине, может быть охарактеризовано одним-единственным скалярным параметром σ (величина которого равна силе, деленной на площадь) только в первом приближении. Сказанное не означает, что все механические испытания раньше проводили неправильно и их результаты не имеют научного значения. Конечно же, нет! Просто необходимо иметь в виду, что полученные значения σ являются не точными, а приближенными.