Пособие в_3_20

Лабораторная работа 3. Методы многомерного поиска Задачи безусловной оптимизации

При решении задачи оптимизации вида

X x1 , x2 , ..., xn , в которых целевая функция нелинейна и ограничения

отсутствуют, могут применяться методы прямого поиска, градиентные методы (первого порядка) и второго порядка. Методы прямого поиска – это методы, вычисляющие и минимизирующие F X без ее дифференцирова-

ния (программная функция fminsearch в MATLAB Optimization Toolbox). Методы первого и второго порядка используют информацию о градиенте целевой функции или о производных второго порядка (надстройка «Поиск решения» MS Office Excel или программная функция fminunc в MATLAB Optimization Toolbox). Методы прямого поиска об-

ладают хорошей устойчивостью и позволяют исследовать недифференцируемые функции. Методы на основе вычисления производных позволяют повысить скорость поиска оптимума, но накладывают ряд условий на вид целевой функции.

Методы прямого поиска

В MATLAB Optimization Toolbox прямой поиск реализован функцией fminsearch, которая использует модификацию симплекс-метода (ме-

тод Нелдера-Мида). В CAD/CAE-системе SolidWorks/CosmosWorks для параметрической оптимизации конструкций применяется тот же метод. Для изложения идеи метода Нелдера-Мида вначале будет проиллюстрирован метод регулярного симплекса, а затем – метод деформируемого многогранника.

Метод регулярного симплекса

Метод поиска экстремума с помощью регулярного симплекса получил свое название за счет использования регулярной (равносторонней) фигуры в n -мерном пространстве Регулярный многогранник называется симплексом. Для вектора переменных X x1 , x2 , ..., xn , симплекс в n -мерном

пространстве описывается n 1 вершинами. В двумерном пространстве проектирования симплекс представляет собой равносторонний треугольник, в трехмерном – тетраэдр.

На каждом шаге поиска рассчитывается новая точка решения внутри или вблизи симплекса. Значение функции в новой точке сравнивается со значениями функции в вершинах симплекса, и, как правило, одна из вершин заменяется новой точкой, образуя новый симплекс. Процедура повто-

4

При поиске минимума целевой функции двух переменных в качестве симплекса используется равносторонний треугольник (рис. 2а). От заданной длины ребра симплекса b (т.е. длины стороны треугольника) зависит скорость поиска оптимального решения. Первоначально векторы решений X задают в вершинах симплекса, где вычисляют значения целевой функции F X . Одна из вершин исходного симплекса находится в начальной

точке X 1 X 0 5; 5 . Координаты двух других вершин исходного симплекса определяются по формулам [2]

Далее определяют, в какой вершине симплекса, X 1 , X 2 или X 3 целевая функция F X имеет максимальное (наихудшее) значение. Затем определяют центр тяжести симплекса (в данном случае центр равностороннего треугольника) и отражают вершину с максимальным значением целевой функции через центр тяжести.

Строят новый регулярный симплекс (рис. 2б), вершинами которого будут две вершины предыдущего симплекса и отраженная вершина X 4 . В отраженной вершине вычисляют значение целевой функции F X , и процесс повторяется (рис. 2в). Таким образом, шаг за шагом регулярный симплекс перемещается в сторону минимума (рис. 2г). Дополнительно предусмотрены правила уменьшения размера симплекса и предотвращения циклического движения вокруг точки экстремума (рис. 3а).

Критерий останова алгоритма определяется по формуле

где – заданное малое число (в данном примере 10 4 ).

5

Рис. 3. Сжатие симплекса и траектория поиска локального минимума целе-

вой функции

8

%Демонстрация метода регулярного многогранника

%(симплекс-метод)

clc; close all

% График ЦФ

xi1 = -5.5:0.1:5.5; xi2 = -5.5:0.1:5.5;

[X1, X2] = meshgrid(xi1,xi2);

Fun = (X1.^2 + X2 - 11).^2 + (X1 + X2.^2 - 7).^2; figure

meshc(X1, X2, Fun); grid on figure

contour(X1, X2, Fun, 120); grid on

%линии уровня вблизи x1 = [5; 5] xi1 = 3.5:0.02:5.5;

xi2 = 3.5:0.02:5.5;

[X1, X2] = meshgrid(xi1,xi2);

Fun = (X1.^2 + X2 - 11).^2 + (X1 + X2.^2 - 7).^2; figure

contour(X1, X2, Fun, 50); hold on; axis equal

%встроенная ЦФ

F = inline('(x(1).^2+x(2)-11).^2 + (x(1)+x(2).^2- 7).^2');

n = 2; % размерность задачи

b = 0.2; % длина ребра симплекса alpha = 1; % коэффициент отображения

9

MaxNumIter = 100; % максимальное количество итераций

x1 = [5; -5]; % стартовая точка

TolFun = 0.000001;

% строим исходный симплекс

x2 = zeros(2,1); % координаты второй точки симплекса x2(1) = x1(1) + (sqrt(n+1)-1) / (n*sqrt(2)) * b; x2(2) = x1(2) + (sqrt(n+1)+n-1) / (n*sqrt(2)) * b;

x3 = zeros(2,1); % координаты третьей точки симплекса x3(1) = x1(1) + (sqrt(n+1)+n-1) / (n*sqrt(2)) * b; x3(2) = x1(2) + (sqrt(n+1)-1) / (n*sqrt(2)) * b;

x = zeros(2,3);

% записываем в массив 2*3 координаты симплекса x(:,1) = x1;

x(:,2) = x2; x(:,3) = x3;

for i=1:MaxNumIter, % цикл по номеру sprintf('Симплекс № %d', i) plot(x1(1), x1(2), 'bo'); hold on; plot(x2(1), x2(2), 'g*'); hold on; plot(x3(1), x3(2), 'r*'); grid on;

patch([x1(1) x2(1) x3(1)], [x1(2) x2(2) x3(2)], ...

[1 1 1], 'FaceColor', 'none')

F1 = F(x1);

F2 = F(x2);

F3 = F(x3);

sprintf('ЦФ в точке х1 %f', F1) sprintf('ЦФ в точке х2 %f', F2) sprintf('ЦФ в точке х3 %f', F3)

% самая высокая точка F

Fmax = max([F1 F2 F3]); switch Fmax

case F1

xh = x1; nh = 1; case F2

xh = x2; nh = 2; case F3

10