Вопрос 21. Характеристики простейшого потока. Основные свойства простейшего потока. Время ожидания и время обслуживания.

Ответ:

Определение. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени.

Типичными для СМО являются случайный поток заявок

Определение Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной τ зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси Ot расположен этот участок.

Определение Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Определение Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на временной интервал малой длительности ΔT двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. То есть вероятность попадания отдельного события на интервал ΔT равна λΔT+0(ΔT), а двух или более событий равна 0(ΔT).

Определение Входной поток событий, обладающий свойствами стационарности, ординарности и если он не имеет последействий называется простейшим (или стационарным пуассоновским потоком).

Замечание 1 Условию стационарности удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени.

В частности, для стационарного потока характерна постоянная плотность (среднее число заявок в единицу времени).

Пример:

Поток вызовов на городской станции с 12 до 13 часов может считаться стационарным, поток вызовов же в течение суток уже не может считаться стационарным (ночью плотности ниже, чем днем).

Замечание 2 Условие отсутствия последействия означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга.

Пример:

Поток пассажиров, входящих на станцию метро можно считать потоком без последействия, так как причины, обусловившие приход отдельного пассажира в тот, а не другой момент, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Поток пассажиров, покидающих станцию метро, не считается поток без последействия. так как моменты выхода пассажиров, прибывающих одним и тем же поездом. зависимы между собой.

Замечание 3 Условие ординарности означает, что заявки приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток клиентов, входящих в парикмахерскую, может считаться практически ординарным, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака.

Простейший поток играет в ТМО важную роль: во-первых, чаще всего встречается на практике; во-вторых, при потоке заявок, отличающемся от простейшего, можно получить удовлетворительные результаты, заменив поток любой структуры простейшим.

Рассмотрим основные свойства простейшего потока.

Теорема 1 Дискретная случайная величина η(ω), принимающая значения 0, 1, 2, … и характеризующая при простейшем входном потоке число заявок, поступающих в систему обслуживания на временном интервале длительности t, распределена по закону Пуассона с параметром λt.

Следствие 1. Если входной поток является простейшим, то среднее число заявок, поступающих в систему обслуживания на временном интервале длительности t, равно λt, то есть Eη(ω)= λt.

Замечание. Параметр 𝜆 представляет собой среднее число заявок, поступающих в единицу времени, поэтому его называют интенсивностью, или плотностью простейшего потока.

Следствие 2. Если входной поток заявок является простейшим, то дисперсия случайной величины η(ω), характеризующая рассеивание числа заявок, поступающих в СМО на временном интервале длительности t, относительно их среднего значения, равно λt, то есть Dη(ω)= λt.

Из определения простейшего потока, длительность τ временного интервала между двумя последовательно поступающими заявками является случайной величиной τ(ω).

Для построения математических моделей СМО необходимо знать функции распределения Fτ(T)=P{τ(ω)<T} и ее плотности распределения pτ(T)

Теорема 2. В случае простейшего входного потока с интенсивностью 𝜆 длительность τ(ω) временного интервала между двумя последовательными заявками имеет экспоненциальное распределение с параметром 𝜆.

Следствие 3. В случае простейшего потока с интенсивностью 𝜆 длительность τ(ω) временного интервала между двумя поступающими заявками является случайной величиной с плотностью

Кроме характеристик входного потока заявок, режим работы системы зависит еще от характеристик производительности самой системы: числа каналов и быстродействия каждого канала. Одной из важнейших величин, связанных с системой, является время обслуживания одной заявки.

Определение 1. Время обслуживания (время пребывания одной заявки в канале обслуживания) – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с плотностью распределения с плотностью распределения вероятностей

где – интенсивность обслуживания.

По определению

Функция распределения времени обслуживания заявки равна

Ее значение равно вероятности того, что к моменту времени t обслуживание заявки будет завершено, т.е. освободится канал обслуживания.

Определение 2. Время ожидания (время пребывания заявки в очереди, если последняя существует) – случайной величина, распределенная по экспоненциальному закону с плотностью распределения вероятностей

и функцией распределения

где v — величина, обратная среднему времени ожидания.

Величина H(t) равна значению вероятности того, что в момент t начнется обслуживание заявки.

По определению