2.Необходимый признак сходимости.

В приложениях обычно применяются сходящиеся ряды. Поэтому важно знать признаки, по которым можно было бы судить, сходится данный ряд или нет.

Попробуйте установить связь между поведением общего члена ряда на бесконечности и сходимостью ряда, опираясь на результаты выполнения упр. 1.

Подтверждают или опровергают ряды, рассмотренные в упр. 1, следующие гипотезы:

а) Если ряд сходится, то последовательность его членов стремится к нулю при .

б) Если последовательность членов ряда стремится к нулю при , то ряд сходится?

Подтверждение Ваших предположений найдете на следующей странице.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при . Действительно, пусть ряд сходится, т.е. последовательность его конечных сумм имеет конечный предел при . Тогда для этой последовательности выполняется условие Коши: С учетом равенства , последнее выражение является определением того, что последовательность стремится к нулю при .

Подчеркнем, что мы установили лишь необходимый признак сходимости, т.е. такой, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно доказывать лишь расходимость ряда.

Упражнение 2. Установить, расходимость каких из следующих рядов можно доказать, используя необходимый признак сходимости (по Вашему желанию: «вручную» или используя MATLAB):

а) ; б) .

Упражнение 3. Приведите два примера расходящихся числовых рядов (отличные от рассмотренных в упр. 3), общий член которых стремится к нулю. Используя M-функцию из упр. 1, проиллюстрируйте примеры графически.

Сделав упр. 3, Вы проиллюстрировали, что стремления общего члена ряда к нулю недостаточно для сходимости ряда.

3.Общие свойства рядов.

1) Если ряд сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыванием конечного числа членов. 2) Если ряды и сходятся, а их суммы соответственно равны и , то сходится и ряд , причем его сумма равна . 3) Если ряд сходится и его сумма равна , то сходится и ряд , причем его сумма равна .

Практически в каждом учебнике по математическому анализу можно найти доказательства этих свойств (впрочем, Вы можете доказать их и самостоятельно, опираясь на свойства числовых рядов).

А что получится, если складывать расходящиеся ряды?

Упражнение 4.

а) Пусть ряд сходится, расходится. Что можно сказать о сходимости ряда ? Проиллюстрируйте Ваше предположение на примере, используя М-файл из упр. 1.

б) Пусть ряды и расходятся. Что можно сказать о сходимости ряда ? Проиллюстрируйте Ваши предположения на примерах, используя М-файл из упр. 1.

4.Признаки сходимости рядов с положительными членами

Рассмотрим некоторые признаки сходимости числовых рядов.

Признак сравнения. Пусть даны два ряда (1) и (2) , с положительными членами, причем . Тогда 1) если ряд (2) («больший») сходится, то и ряд (1) («меньший») сходится; 2) если ряд (1) («меньший») расходится, то и ряд (2) («больший») расходится.

Например, рассмотрим ряд , полученный из ряда (упр. 1, п. 5) отбрасыванием первых двух членов. Его можно сравнить с рядом , сходимость которого ранее доказана (упр. 1, п.6). Так как и «больший» ряд сходится, то сходится и «меньший» ряд , а, значит, и ряд .

Предельный признак сравнения. Пусть даны два ряда и с положительными членами таких, что существует конечный предел , . Тогда 1) если один из рядов сходится, то сходится и другой; 2) если один из рядов расходится, то расходится и другой.

Докажем, что расходится (гармонический) ряд (упр. 1 п. 4). Используем для сравнения ряд . Заметим, что и найдем частичные суммы ряда : . Отсюда следует, что , т.е. ряд расходится. Но , значит, из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами существует предел , то ряд сходится в случае и расходится в случае .

Рассмотрим ряд .

Имеем , следователь, ряд сходится.

Радикальный признак Коши. Если для ряда с положительными членами существует предел , то ряд сходится в случае и расходится в случае .

Рассмотрим ряд .

Имеем , следователь, ряд сходится.

Интегральный признак Коши. Пусть функция определена для , положительна, монотонно убывает и для всех имеет место равенство . Тогда для сходимости числового ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл (иными словами ряд сходится или расходится одновременно с ).

Выясним, при каких сходится ряд . Положим ( ). Функция положительна, монотонно убывает. Поэтому ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл . Этот интеграл сходится при и расходится при . Значит, и ряд сходится при и расходится при .

Упражнение 5. Опираясь на признаки сходимости, доказать:

а) ряд расходится; б) ряд сходится;

в) ряд расходится; г) ряд сходится.