Добавил:

Substandart Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Лаба 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2021

Размер:

468.94 Кб

Скачать

☆

Практикумы 3 и 4 «Числовые ряды»

Числовой ряд. Частичные суммы ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда. Общие свойства рядов. Необходимый признак сходимости. Признаки сравнения рядов. Оценка остатка ряда.

Структура цикла с неопределенным числом повторений WHILE … END.

1. Числовой ряд. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда.

			Пусть задана бесконечная последовательность чисел a1, a2 , a3,...																																						Рассмотрим выраже-
ние a1 a2						a3 ...,						представляющее собой «сумму бесконечного множества слагаемых».
Оно называется числовым рядом, а сами числа a1, a2 , a3,... - членами ряда.
				Член ряда an								с произвольным номером n называется общим членом.

			Например,								1		1			1	...			1		... есть			ряд				с					общим						членом				a	1	, а
												2			3					n																								n	n
												2			3					n																									n
1	1		1		... (1)n					1	... есть ряд с общим членом a																(1)n						1		.
2			3							n																n							n
2			3							n																							n
			Числа
																						S1 a1 ,
																						S2 a1 a2 ,
																						S3 a1 a2 a3
и т.д. называются частичными суммами ряда. Обобщая:																													n -я частичная сумма Sn															есть сумма
первых n членов ряда:
																						Sn a1 a2		... an .
			В качестве примера рассмотрим ряд																				1	1		2		1		3		...				1	n		... .. Члены этого ряда
			В качестве примера рассмотрим ряд																											3		...							... .. Члены этого ряда
																						3
																						3		3			3									3
		1 n
bn				,		n 1, 2,... ,						образуют геометрическую прогрессию с первым членом																																	и зна-
bn				,		n 1, 2,... ,						образуют геометрическую прогрессию с первым членом																																	и зна-
		3
						q		1																					1					1 2			1 3					1	n
менателем									и, значит,									n -я частичная сумма								Sn															...			этого ряда
менателем									и, значит,									n -я частичная сумма								Sn															...			этого ряда
								3																					3					3			3					3
является суммой первых															n			членов геометрической прогрессии и может быть найдена по
формуле																																					,		S		b	1 qn		. Таким об-
формуле																																					,		S		b	1 q		. Таким об-
																																								n	1	1 q
							1		1 n
						1								1					1		n
																					n
									3
разом,				Sn											1							.
разом,				Sn		3				1				2	1							.
						3				1				2					3
								1
								1		3
			Если последовательность S1, S2 ,..., Sn ,... частичных сумм ряда имеет конечный предел,
т.е. существует число S lim Sn , то ряд называется сходящимся, а число S																																										называется сум-
															n
мой ряда. В этом												случае						также говорят,						что			ряд				сходится							к			сумме		S	и пишут
a1 a2			a3 ... S .

Если же lim Sn равен бесконечности или не существует, то говорят, что ряд расхо-

дится или, что он не имеет суммы.

Продолжим рассмотрение примера. Для ряда			1		1	2		1	3	...		1	n	... конечный
Продолжим рассмотрение примера. Для ряда										...				... конечный
			3		3			3
			3		3			3				3
			1				1 n			1
предел частичных сумм существует:	lim Sn lim			1							0,5 .		Следовательно,
предел частичных сумм существует:	lim Sn lim			1							0,5 .		Следовательно,
	n	n 2					3			2

этот ряд сходится и его сумма равна 0, 5 .

Упражнение 1. Создать M-функцию, которая строит в одной системе координат график последовательности членов ряда и график последовательности частичных сумм ряда. При построении этой пары графиков использовать разные цвета и маркеры. В качестве входных параметров M-функции использовать формулу an общего члена последовательности и

число n0 рассматриваемых членов. В качестве выходных параметров вывести значения Sn0 4 ,..., Sn0 . Применить созданную М-функцию для исследования следующих рядов:

			1			1				1			1
1) 0,3n ;	2) 1,5n ;	3)		;	4)			;	5)		;	6)		.

n 1	n 1	n 1 n			n 1		n		n 1 n2			n 1 n2 2n

а) Опираясь на построенные графики, для каждого ряда выдвинуть гипотезу о сходимости или расходимости ряда. В случае предположения о сходимости ряда указать приблизительное значение суммы ряда.

б) Для 1, 2 и 6 рядов доказать, опираясь на определение, выдвинутую гипотезу о сходимости (расходимости) ряда, и в случае сходимости ряда, найти точное значение суммы

Рекомендации к упр.1:

Как вариант, можно построить графики в одном графическом окне, но в разных графических областях, т.е. воспользоваться subplot. В одной графической области построить ,в другой

В любом случае для наглядности получаемых результатов рекомендую включить паузу по-

сле каждого действия	,
А для автоматизации создания хорошей системы координат не писать		, но напи-

сать

axis([-1 N+1 -1 max(a_n)+1]),

line([-1 0; N+1 0],[0 -1;0 max(S)+1],'LineWidth',1,'Color','black')

2.Необходимый признак сходимости.

Вприложениях обычно применяются сходящиеся ряды. Поэтому важно знать признаки, по которым можно было бы судить, сходится данный ряд или нет.

Попробуйте установить связь между поведением общего члена ряда на бесконечности

исходимостью ряда, опираясь на результаты выполнения упр. 1.

Подтверждают или опровергают ряды, рассмотренные в упр. 1, следующие гипотезы: а) Если ряд сходится, то последовательность его членов стремится к нулю при n . б) Если последовательность членов ряда стремится к нулю при n , то ряд сходит-

ся?

Подтверждение Ваших предположений найдете на следующей странице.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то его n -й член стремится к нулю при n .

Действительно, пусть ряд сходится, т.е. последовательность его конечных сумм Sn имеет конечный предел при n . Тогда для этой последовательности выполняется усло-

вие Коши: 0	N( ) :	n N( )		Sn Sn 1		.

С учетом равенства Sn Sn 1 an , последнее выражение является определением того,

что последовательность an стремится к нулю при n .

Подчеркнем, что мы установили лишь необходимый признак сходимости, т.е. такой,

при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно до-

казывать лишь расходимость ряда.

Упражнение 2. Расходимость каких из следующих рядов можно доказать, используя необходимый признак сходимости? Обязательно провести доказательство «вручную» и, при желании, используя MATLAB:

					n 3	2n 1
	3 n 1 1				n 3	2n 1
А )				;	б)	.
А )				;	б)	.
n 1		n			n 1 n 1
Упражнение 3. Приведите два примера расходящихся числовых рядов (отличные от
рассмотренных в упр. 3), общий член которых стремится к нулю. Используя M-функцию из
упр. 1, проиллюстрируйте примеры графически.
3. Общие свойства рядов.


1) Если ряд an					сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыва-
		n 1
нием конечного числа членов.

2) Если ряды an и bn сходятся, а их суммы соответственно равны A и B , то
			n 1		n 1

сходится и ряд an bn , причем его сумма равна A B .
		n 1

3) Если ряд an					сходится и его сумма равна A , то сходится и ряд an , причем
		n 1				n 1

его сумма равна A .

Практически в каждом учебнике по математическому анализу можно найти доказательства этих свойств (впрочем, Вы можете доказать их и самостоятельно, опираясь на свойства числовых рядов).

А что получится, если складывать расходящиеся ряды?

Упражнение 4.


а) Пусть ряд an	сходится, bn расходится. Что можно сказать о сходимости ряда
n 1	n 1

an bn ? Проиллюстрируйте Ваше предположение на примере, используя М-файл из

n 1

упр. 1.


б) Пусть ряды an	и bn расходятся. Что можно сказать о сходимости ряда
n 1	n 1

an bn ? Проиллюстрируйте Ваши предположения на примерах, используя М-файл из

n 1

упр. 1.

4. Признаки сходимости рядов с положительными членами

Рассмотрим некоторые признаки сходимости числовых рядов.

Признак сравнения. Пусть даны два ряда a1 a2 ...	an ...	(1) и b1 b2 ...	bn ... (2) ,
с положительными членами, причем an bn . Тогда

1)если ряд (2) («больший») сходится, то и ряд (1) («меньший») сходится;

2)если ряд (1) («меньший») расходится, то и ряд (2) («больший») расходится.

			1				1												1
Например, рассмотрим ряд			1	...			1				..., полученный из ряда								1	(упр. 1, п.
Например, рассмотрим ряд			2	...		(n 2)				2	..., полученный из ряда								2	(упр. 1, п.
3						(n 2)												n 1 n
																		1
5) отбрасыванием первых двух членов. Его можно сравнить с рядом																		1	, сходимость

																	n2	2n
															n 1
										1		1
которого ранее доказана (упр. 1, п.6).					Так как									и «больший» ряд сходится,
которого ранее доказана (упр. 1, п.6).					Так как				(n 2)2				n(n 2)	и «больший» ряд сходится,
	1				1										1
то сходится и «меньший» ряд	1	...			1			..., а, значит, и ряд							1	.
то сходится и «меньший» ряд	2	...			(n 2)		2	..., а, значит, и ряд							2	.
3					(n 2)									n 1 n
Предельный признак сравнения.
Пусть даны два ряда a1 a2 ... an ... и						b1 b2				... bn ... с положительными членами,

1)если одни из рядов сходится, то сходится и другой;

2)если одни из рядов расходится, то расходится и другой.

Докажем, что расходится (гармонический)

ряд

(упр. 1

п.

4). Используем для

n 1 n

n 1

сравнения ряд ln 1

Заметим,

что

ln(n 1) ln n

и найдем

час-

n 1

тичные

суммы

ряда

ln 1

ln(1 1) ln 1

... ln 1

n 1

(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ...(ln(n 1) ln n) ln(n 1) ln1 ln(n 1) .

Отсюда следует,

что

ln 1

lim Sn

lim ln(n 1)

, т.е. ряд ln 1

расходится. Но lim

1 , значит, из

n 1

расходимости ряда ln

следует расходимость ряда

n 1

n 1 n

Признак Даламбера. Если для ряда a1 a2 ... an ... с положительными членами

существует предел

lim

an 1

l ,

то ряд сходится в случае l 1 и расходится в случае l 1.

Рассмотрим ряд 1

...

... .

Имеем lim

an 1

lim

1/ (n 1)!

lim

0 1 , следователь, ряд сходится.

1/ n!

n n

Интегральный признак Коши.

Пусть функция

f (x)

определена для

x 1, положительна,

монотонно убывает и для всех

n N

имеет

место

равенство

an f (n) .

Тогда

для

сходимости

числового

ряда

a1 a2 ... an ...

необходимо и

достаточно,

чтобы

сходился несобственный

интеграл

f (x)dx (иными словами ряд f (n)

сходится или расходится одновременно с

f (x)dx ).

n 1

Выясним, при каких

сходится ряд

...

... . Положим

f (x)

(

x 0 ).

Функция

f (x)

положительна,

монотонно убывает. Поэтому ряд

сходится то-

n 1 n

гда и только тогда, когда сходится интеграл

. Этот интеграл сходится при 1 и

расходится при 1. Значит, и ряд

сходится при 1 и расходится при 1.

n 1 n

Упражнение 5. Опираясь на признаки сходимости, доказать:

а) ряд

расходится;

б) ряд

сходится;

n 1

n 1 n3 4

в) ряд

сходится;

г) ряд

сходится;

n(n 1)(n 2)

n 1

д) ряд

сходится;

е)

расходится.

n 2 n ln2 n

n 2 n ln n

(сделать дома и принести как часть отчета по лабораторной работе).

5. Оценка остатка ряда с положительными членами

Пусть дан ряд

a1 a2 ... an ....

Назовем ряд

ak 1 ak 2 ... ak n ..., полученный

из исходного отбрасыванием первых k

членов ряда, k -м остатком ряда. Если сходится ряд

a1 a2 ... an ...,

то сходится и его остаток,

причем их суммы связаны соотношением

S a1 a2 ... ak

(здесь S - сумма ряда,

Rk - сумма остатка).

Утверждение об оценке остатка ряда. Если для ряда с положительными членами

существует такое число q 1 ,

что при всех n ,

начиная с некоторого n0 , выполняется нера-

венство

an 1

q ,

то

сумма

k -го

остатка

при

k n

удовлетворяет

неравенству

ak 1

1 q

Действительно,

условие

an 1

q ,

выполняемое для всех номеров больших n ,

озна-

чает, что члены ряда, начиная с an 1 , стремятся к нулю не медленней членов геометрической прогрессии с данным q , а значит и остаток ряда будет не больше суммы бесконечной гео-

метрической прогрессии, т.е. Rk ak 1 . 1 q

Для выполнения следующего упражнения, Вам, возможно, понадобится оператор цикла с неопределенным числом операций while … end. Его синтаксис:

while <логическое выражение> <инструкции>

еnd

Этот оператор многократно выполняет инструкцию или группу инструкций, пока логическое выражение истинно. Логическое выражение имеет форму:

выражение <оператор отношения> выражение оператор отношения: ==, <=, >=, <, >, ~

Упражнение 6. Пусть к ряду an применимо утверждение об оценке ряда. Создайте

n 1

M-функцию, которая оценивает число членов, достаточное для вычисления суммы ряда с заданной точностью , и вычисляет сумму ряда с заданной точностью. В качестве входных параметров M-функции используйте формулу общего члена последовательности и точность. Применить созданную М-функцию для вычисления с точностью до 0,001 суммы ряда:

а)

...

б) 1

...

2! 3!

Указание. Для ряда а) имеем:

an 1

- при увеличении n монотонно умень-

шается от 1

до

. Для ряда б):

an 1

убывает от

до нуля.

Наша М-функция

n 1

может содержать два цикла. В первом цикле, начиная с n 1, вычисляем

an 1

Sn до тех

пор

пока выполняется

неравенство

an 1

Во

втором

цикле продолжаем

вычислять

an 1

q и

, а также

an 1

Второй цикл заканчивается при выполнении условия

1 q

Rn . Выходными параметрами М-функции должны быть Sn и

n .

6. Знакочередующиеся ряды

Назовем ряд a a

... ( 1)n 1a

..., где все a

положительны, знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если a1 a2

... an

... и lim an 0 , то:

1)ряд сходится;

2)для любого остатка Rk выполняется неравенство Rk ak 1 , причем знак Rk совпа-

дает со знаком (1)k .

Упражнение 7. Создать M-функцию, которая оценивает число членов знакочередующихся рядов, достаточное для вычисления суммы ряда с заданной точностью , и вычисляет сумму ряда с заданной точностью. В качестве входных параметров M-функции использовать формулу общего члена последовательности и точность .

Для следующих рядов доказать сходимость и применить созданную М-функцию для вычисления с точностью до 0,001 суммы ряда:

а) 1	1		1	... (1)n 1	1	...	б) 1	1		1	... (1)n 1	1		....
									2	2			2
2		3			n			2				n
										3

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
15.06.2021497.15 Кб1lab2.6_m2_vm1_vm1_prmaML2_231300.62.doc
#
15.06.2021297.47 Кб0lab2.7_m2_vm1_vm1_prmaML2_231300.62.doc
#
15.06.2021256 Кб8lab2.9_m1_vm1_vm1_prmaML2_231300.62.doc
#
15.06.2021235.71 Кб1Лаба 1.pdf
#
15.06.2021372.94 Кб0Лаба 2.pdf
#
15.06.2021468.94 Кб0Лаба 3.pdf
#
15.06.2021652.33 Кб0Лаба 4.pdf
#
15.06.2021610.39 Кб1Лаба 5.pdf
#
15.06.2021266.39 Кб0Лаба 6.pdf
#
15.06.2021248.35 Кб0Лаба 7.pdf
#
15.06.2021206.96 Кб0Лаба 8.pdf