Лаба 2
.pdf
Практикум 2. Приложения определенного интеграла
Вычисление площадей
Вычисление длины дуги и объёма тела вращения.
1. Вычисление площадей фигур, ограниченных кривыми, заданными уравнениями в
декартовых координатах. |
|
|
|
|
|
|
Если интегрируемая на отрезке a;b функция f (x) |
неотрицательна на нем, то |
|||||
криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x a, x b, |
y 0 и графиком функции |
|||||
|
|
b |
|
|
|
|
y f (x), имеет площадь, равную S f (x)dx. |
|
|
|
|
||
|
|
a |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=a |
y=f(x) |
|
|
|
|
|
|
x=b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
a |
y=0 |
b |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение 1. Построить график функции y x cos x на отрезке |
[0; / 2]. Вычислить |
|
площадь фигуры, ограниченной графиком функции и линиями x 0, x |
, y 0. |
|
|
|
2 |
Если |
фигура ограничена кривыми y f (x) и y g(x) пересекающимися в точках |
|
|
|
b |
A(a; f (a)) |
и B(b; f (b)), f (x) g(x) при x a;b , то ее площадь равна S f (x) g(x) dx |
|
|
|
a |
(можно считать, что она ограничена еще и прямыми x a, x b ).
Указание к упр1. Для того чтобы увидеть как вообще ведет себя данная функция
, постройте несколько графиков в различных диапазонах x=[-10*pi:0.01:10*pi];
x=[0:0.01:pi/2]; а для большей наглядности постройте этот график вместе с графиками функций
. Не забудьте оформить график: hold on, grid on, axis equal, введите и пометьте оси
координат, сделайте заголовок. На втором графике выделите также линию .
Упражнение 2. Построить графики функций y x2 2x и y 7 4x x2. Найти точки пересечения графиков. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками.
1
Указание к упр1. Сделать рисунок.
2. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически .
Если плоская фигура ограничена прямыми |
x a, |
x b ( a b ), |
y 0 |
и графиком |
|
функции, заданной параметрическими уравнениями |
y y(t), x x(t), |
a x( t ) ,b x( t ) , и |
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
функция y(t) неотрицательна на отрезке t1;t2 , то площадь фигуры вычисляется по формуле
t2
S y(t)x '(t) dt.
t1
Для построения графика функции, заданной параметрически нужно задать изменение параметра t и функции x(t), y(t).
Пример 1.
t=0:pi/100:2*pi;
x=cos(t)+1;
y=sin(t);
plot(x,y)
Указание к прим.1. Прежде, чем строить график из примера 1, попробуйте избавиться от параметра и, перейдя в декартовую систему координат, докажите, что это будет уравнение окружности. Укажите радиус и центр окружности.(При построении важно учесть axis equal.)
Упражнение 3. Построить графики функций. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками. Проверить без использования MatLab:
а) x cosn t, y sinn t, |
при n 1,3. |
Указание к упр.3 а). Докажите, что при n=1, это будет окружность радиуса 1, с центром в
н.к.
б) x 2cost, y 3sin t.
Указание к упр.3 б). Докажите, что это эллипс. Какие у него будут полуоси? Поместите его в соответствующий прямоугольник.
3. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в
полярных координатах.
|
Если фигура на плоскости ограничена двумя лучами, выходящим из начала координат |
|||||||||
|
и , и кривой, заданной в полярных |
|
|
|
|
|
|
|
координатах |
|
интегрируемой на отрезке функцией r r( ) 0, |
то |
y |
|
|
|
|
|
|
эта фигура имеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r=r( ) |
|
||
площадь, равную |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
O |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S 1 r2 ( ) d .
2
Построение графика функции, заданной в полярных координатах можно свести к построению графика параметрически заданной функции.
Пример 1. Построить график функции r , 0 2 , заданной в полярных координатах.
>> t=0:pi/100:2*pi; >> r=t;
>> x=r.*cos(t); >> y=r.*sin(t); >> plot(x,y)
Упражнение 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Построить фигуру, ограниченную графиком логарифмической спирали r e |
и |
||||||||||||
прямыми 0, |
2 . Найти площадь фигуры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) Построить фигуру, ограниченную кривыми |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и лучами |
|
. Прокомментируйте, что это будут за фигуры. Найти площадь |
|||||||||||
фигуры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычисление длины дуги. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если дуга кривой задана явным образом y y(x), |
a x b, где |
|
|
y(x) - непрерывно |
|||||||||
дифференцируемая на отрезке a;b функция, то ее длина вычисляется по формуле |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение 5. Найти длину дуги параболы y x2 , |
от точки A(1;1) |
|
до точки |
B(2;4). |
|||||||||
Построить график функции, отметить на графике точки. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями y y(t), |
x x(t), |
t1 |
t t2 , |
||||||||||
где функции y(t) |
и x(t) |
- непрерывно дифференцируемые на отрезке t1,t2 , |
|
и y '(t) |
и x '(t) не |
||||||||
обращаются одновременно в 0 (т.е. ( y '(t))2 (x '(t))2 |
0 при всех t t ,t |
2 |
), то длина дуги |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
Упражнение 6. |
Найти длину |
замкнутой |
кривой, заданной |
|
параметрическими |
||||||||
уравнениями y sin3 t, x cos3 t. Сделать рисунок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3
Если дуга кривой задана в полярных координатах уравнением r r( ), ; , где функция r( ) непрерывно дифференцируема на отрезке ; , то длина дуги вычисляется по формуле
Упражнение |
7. |
Вычислить |
длину |
замкнутой |
кривой, задаваемой уравнением |
|||
r 4(1 cos ).Сделать рисунок. |
|
|
|
|
|
|||
5. Вычисление объема тела вращения. |
|
|
|
|||||
Объем |
тела, |
образованного вращением |
вокруг оси Ox криволинейной трапеции, |
|||||
ограниченной |
прямыми |
x a, |
x b, |
y 0 |
и |
графиком |
неотрицательной непрерывной на |
|
отрезке a; b функции |
y f (x), равен |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
V y2 (x) dx. |
|
||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
Объем |
тела, |
образованного вращением |
вокруг оси Oy криволинейной трапеции, |
|||||
ограниченной |
прямыми |
x a, |
x b, |
y 0 |
и |
графиком |
неотрицательной непрерывной на |
|
отрезке a; b |
функции y f (x), равен |
|
|
|
|
|||
b
V 2 xy(x) dx.
a
(Формулы нужно уметь выводить)
Упражнение 8. Вычислить объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y sin x и прямой y 0 ( x 0; ):
а) относительно оси Ox; б) относительно оси Oy.
Постройте полученные фигуры.
4