3.3. Каноническое и параметрические уравнения прямой

Определение 4. Пусть – декартова система координат, - произвольная прямая. Любой вектор такой, что , параллелен , называется направляющим вектором прямой (рис. 3.3).

Пусть , – направляющий вектор прямой . Тогда

коллинеарен

(3.11)

(соответствующие координаты векторов и пропорциональны).

Уравнение (3.11) называется каноническим уравнением прямой , проходящей через точку и имеющей направляющим вектор .

Обозначим отношение в (3.11) через : . Тогда уравнение (3.11) приведет к двум равенствам

(3.12)

Так как , то хотя бы одно из чисел или отлично от нуля. Пусть для определенности . Тогда при и , таким образом, .

Равенства (3.12) при называются параметрическими уравнениями прямой , проходящей через точку и имеющей в качестве направляющего вектор .

Пример 2. Составить каноническое уравнение прямой , проходящей через две заданные точки и .

В качестве направляющего возьмем вектор (рис. 3.4). Воспользуемся уравнением (3.11), полагая , и получим

. (3.13).

Пример 3. Составить каноническое уравнение прямой , проходящей через и ( (рис. 3.5).

Воспользуемся уравнением (3.13), полученным в примере 2, считая , : , или

. (3.14)

Уравнение (3.14) называется уравнением прямой в отрезках.

3.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

О пределение 5. Пусть – декартова система координат, не параллельна оси и пересекает ее в точке (рис. 3.6). Выберем на оси точку , расположенную по ту сторону от куда направлена ось . На выберем точку , расположенную на прямой по ту сторону от , куда направлена ось . Угол называется углом наклона прямой к оси . Число называется угловым коэффициентом прямой (если параллельна оси , то ; если , т.е. параллельна , то не определен).

Упражнение. Доказать следующее утверждение: пусть не параллельна оси , – угловой коэффициент , – направляющий вектор прямой , тогда .

Пример 4. Пусть , – угловой коэффициент прямой . Составить уравнение прямой.

Воспользуемся каноническим уравнением (3.11):

, или , или , или ,

или . (3.15)

Уравнение (3.15) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (в уравнении (3.15) – угловой коэффициент прямой (см. упражнение), а – ордината точки пересечения прямой с осью ).

Итак, положение прямой на плоскости полностью определяется заданием:

1. точки и , перпендикулярного прямой (нормального вектора);

2. точки и вектора , параллельного прямой (направляющего вектора);

3. точки и углового коэффициента .

3.5. Угол между двумя прямыми

Две прямые и , пересекаясь, образуют два угла, дополняющие друг друга до . Любой из этих углов будем считать углом между прямыми и и обозначать далее .

Утверждение 1. Пусть прямые и заданы своими общими уравнениями

: и : .

Тогда

. (3.16)

В самом деле, один из углов между и равен углу между нормальными векторами и (рис.3.7). (Углы, отмеченные двумя дугами, равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами.)

Итак, , отсюда

,

и формула (3.16) верна.

Отметим частные случаи:

1) (условие коллинеарности и ) (рис. 3.8);

2) (рис. 3.9).

Утверждение 2. Пусть прямые и заданы своими каноническими уравнениями

: и : .

Тогда

. (3.17)

Действительно, один из углов между прямыми и равен углу между направляющими векторами и (на рис. 3.10 отмечены одной дугой).

Итак, , , , поэтому

,

и равенство (3.17) справедливо.

Частные случаи:

1) и коллинеарны (рис. 3.11);

2) (рис. 3.12).

Утверждение 3. Пусть прямые и заданы своими общими уравнениями

: и : .

Тогда

. (3.18)

Е сли – углы наклона к оси прямых и соответственно, то (на Рис. 3.13 двумя дугами отмечены угол и равный ему как соответственный при параллельных прямых и и секущей ). Поэтому

и равенство (3.18) верно.

Замечание. Отметим, что в формулу (3.18) числа и входят не симметрично: - с «–», - с «+». Но если изменить знак дроби в (3.18), получим тангенс смежного угла, который мы тоже считаем углом между и .

Частные случаи:

1) ;

2) не определен или .