Лекция 4

Глава 3 Прямая на плоскости

Понятие уравнения линии. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой

3.1. Понятие уравнения линии

Предположим, что на плоскости задана декартова прямоугольная система координат и некоторая линия .

Рассмотрим уравнение

, (3.1)

связывающее две переменные и .

Определение 1. Уравнение (3.1) называется уравнением линии относительно заданной системы координат, если уравнению (3.1) удовлетворяют координаты и любой точки, лежащей на линии , и не удовлетворяют координаты и ни одной точки, не лежащей на линии .

Согласно этому определению сама линия представляет собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.1)

Если в заданной системе координат уравнение (3.1) является уравнением линии , будем говорить, что (3.1) определяет линию .

Пример 1. Пусть фиксирована декартова система координат . Требуется показать, что уравнение

(3.2)

является уравнением окружности радиуса с центром в точке .

Окружность по определению есть геометрическое место точек (совокупность тех и только тех точек), для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки есть величина постоянная.

Пусть – окружность радиуса с центром в точке .

(рис. 3.1), или , или , или

–

уравнение (3.2) в соответствии с определением 1 действительно определяет окружность .

Определение 2. Линия называется алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она определяется уравнением (3.1), в котором – алгебраический полином (т.е. сумма конечного числа слагаемых вида , – целые, – некоторая постоянная).

Если при этом – алгебраический полином порядка , линия называется линией порядка .

Например, окружность – алгебраическая линия второго порядка (см. пример 1).

Определение 3. Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.

Приведем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 1. Если линия в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени , эта линия и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени .

3.2. Уравнение прямой в общем виде

Теорема 2. Пусть фиксирована декартова система координат . Всякое уравнение вида

, (3.3)

где – действительные числа, причем и не равны нулю одновременно, определяет на плоскости прямую линию.

Доказательство. Пусть – решение (3.3).

Уравнение (3.3) имеет хотя бы одно решение ( и не равны нулю одновременно, пусть для определенности , тогда , полагаем и получаем , и пара – решение (3.3)).

Тогда справедливо тождество

. (3.4)

Пусть – другое решение (3.3). Тогда выполняется тождество

. (3.5)

Вычтем из (3.5) почленно (3.4):

. (3.6)

Пусть – точка с координатами , а – точка с координатами . Тогда .

Введем в рассмотрение вектор . Равенство (3.6) выполняется тогда и только тогда, когда .

(

).

Т аким образом, если пара чисел удовлетворяет (3.3), то точка является концом вектора , перпендикулярного и, следовательно, принадлежит прямой , проходящей через точку и перпендикулярной (рис. 3.2).

Обратно. Пусть принадлежит прямой , проходящей через точку и перпендикулярной . Тогда и выполняется равенство (3.6), а значит, с учетом (3.4) выполняется (3.5) или, что то же самое, уравнение (3.3), и пара чисел и является решением (3.3), следовательно, (3.3) – уравнение прямой .

Уравнение (3.3) называется общим уравнением прямой, вектор – нормальным вектором прямой.

Если хотя бы один из коэффициентов в уравнении (3.3) равен нулю, уравнение называется неполным.

Упражнение. Выяснить особенности расположения относительно осей координат прямой, задаваемой неполным уравнением:

1) , , ; 2) , , ;

3) , , ; 4) , , ;

5) , , .

Замечание. Два уравнения

, (3.7)

(3.8)

определяют одну и ту же прямую тогда и только тогда, когда

. (3.9)

Действительно, пусть (3.7) и (3.8) определяют одну и ту же прямую и коллинеарны .

Обозначим это общее отношение через : .

Пусть . Тогда выполняются два тождества: и .

Умножим первое на и вычтем из второго:

и .

Обратно. Пусть (3.7) определяет , а (3.8) - и пусть выполняется равенство (3.9). Пусть , следовательно, справедливо тождество

. (3.10)

Умножим обе части (3.10) на и получим – это означает, что . Справедливо также, что всякая точка , принадлежащая , принадлежит (доказывается совершенно аналогично) и состоят из одних и тех же точек и совпадают.