1.2. Линейная зависимость векторов

Линейной комбинацией векторов с коэффициентами будем называть сумму

.

Определение 5. Векторы называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , не все равные нулю одновременно, что

(линейная комбинация векторов с коэффициентами равна нулевому вектору ).

Пример. Вектор и его противоположный вектор составляют линейно зависимую систему векторов.

Действительно, (см. замечание 4). Таким образом,

и система линейно зависима.

Определение 6. Система векторов называется линейно независимой, если из равенства следует, что .

Теорема 1. Система векторов, содержащая нулевой вектор , линейно зависима.

Доказательство. Пусть в системе векторов вектор , . Рассмотрим линейную комбинацию , причем среди коэффициентов не все равны нулю ( ). Следовательно, в соответствии с определением 5 система линейно зависима.

Теорема 2. Всякая система векторов , содержащая линейно зависимую подсистему векторов, , линейно зависима.

Доказательство. Пусть для определенности линейно зависимы первые векторов (это допущение не ограничивает общности рассуждений, так как мы могли бы перенумеровать всю исходную систему, если бы были линейно зависимы другие векторы).

Это означает, что найдутся числа , не все равные нулю, и такие что

.

Но линейная комбинация всей системы векторов с коэффициентами равна :

.

Следовательно, система линейно зависима.

Теоремы 3 - 5 проясняют понятие линейной зависимости для геометрических векторов.

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух геометрических векторов является их коллинеарность.

Доказательство. Необходимость. Пусть и линейно зависимы. Тогда существуют числа и (хотя бы одно из которых не равно нулю), что .

Пусть для определенности , тогда , и один из векторов оказался равен произведению другого на число, следовательно (см. определение 4), векторы и коллинеарны.

Обратно. Пусть векторы и коллинеарны.

Случай 1. Хотя бы один из векторов нулевой: (либо , либо ), тогда (см. теорему 1) система , линейно зависима.

Случай 2. , . В силу замечания 5 найдется число такое, что , следовательно, и линейная комбинация векторов и с коэффициентами, не равными нулю одновременно, равна нулевому вектору, – это означает, что система , линейно зависима.

Следствие. Если два вектора и не коллинеарны, они линейно независимы (допустим противное, тогда и коллинеарны (Теор. 3), что противоречит условию).

Определение 7. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях (рис. 1.13).

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех геометрических векторов является их компланарность.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , и линейно зависимы. Тогда существуют такие числа , , , не все равные нулю, что выполняется равенство

.

Пусть для определенности (это допущение не ограничивает общности рассуждений, совершенно аналогично рассматриваются случаи либо ). Тогда

(1.6)

Пусть , и приложены к одному началу.

Равенство (1.6) означает, что вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , а, следовательно, лежит в плоскости этого параллелограмма, тогда все три вектора , и лежат в этой плоскости, т. е. они компланарны.

Достаточность. Пусть , и компланарны.

Случай 1. В системе векторов , , присутствует нулевой вектор , следовательно (см. теорему 1), система , , линейно зависима.

Случай 2. , , и какая-нибудь пара из векторов , , коллинеарна, следовательно (см. теорему 3), эта пара составляет линейно зависимую подсистему в системе , , , тогда вся система , , линейно зависима (см. теорему 2).

С лучай 3. , , и никакие два из них не коллинеарны.

Приведем , и к одному началу – некоторой точке и через конец вектора проведем прямые, соответственно параллельные и , получим точки и (рис. 1.14). Имеем

(1.7)

Вектор коллинеарен вектору , следовательно (см. замечание 5), найдется число : . Аналогично вектор коллинеарен , следовательно, найдется число : .

Таким образом, равенство (1.7) примет вид , откуда получим

,

что означает линейную зависимость системы , , .

Следствие 1. Пусть и не коллинеарны, тогда любой вектор плоскости можно представить в виде их линейной комбинации (см. доказательство достаточности, случай 3).

Следствие 2. Если три вектора , и не компланарны, они линейно независимы (допустим противоположное, тогда по теореме 4 , , компланарны, что противоречит условию).

Теорема 5. Любые четыре геометрических вектора линейно зависимы.

Доказательство. Пусть , , и – рассматриваемые векторы.

Случай 1. Какие-нибудь три из четырех векторов компланарны, тогда (см. теорему 4), эти три вектора линейно зависимы, следовательно (см. теорему 2), все четыре вектора линейно зависимы, так как содержат зависимую подсистему.

Случай 2. Среди четырех векторов , , и никакие три не компланарны.

Приведем векторы , , и к одному началу и проведем через конец вектора плоскости, соответственно параллельные плоскостям, определяемым парами векторов и , и , и .

Точки пересечения этих плоскостей с прямыми, на которых лежат , и , обозначим , и соответственно (рис. 1.15).

Из параллелограмма , аналогично из параллелограмма и, таким образом,

. (1.8)

Вектор коллинеарен , следовательно, найдется число такое, что

.

Вектор коллинеарен , следовательно, найдется число такое, что

.

Вектор коллинеарен , следовательно, найдется число такое, что

.

Подставив полученные результаты в (1.8), найдем

,

или

. (1.9)

Равенство (1.9) означает линейную зависимость векторов , , и : их линейная комбинация с коэффициентами, не равными нулю одновременно (коэффициент при равен и отличен от нуля), равна .

Следствие. Каковы бы ни были некомпланарные векторы , и , любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации