Лекция 1

Глава 1

Пространство геометрических векторов

Линейные операции над геометрическими векторами. Коллинеарные и компланарные векторы. Базис, координаты вектора, их свойства. Проекция вектора на ось. Декартов базис и декартовы координаты вектора. Декартовы координаты точки.

1.1. Понятие геометрического вектора.

Линейные операции над векторами, их свойства

Определение 1. Геометрическим вектором (или просто вектором) называется отрезок, концы которого рассматриваются в определенном порядке (т. е. указано, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом).

Е сли за начало отрезка принята точка , вектор будем обозначать символом (либо одной малой латинской буквой, например, ), а точку называть точкой приложения вектора.

На чертеже вектор будем изображать отрезком со стрелкой в конечной точке (рис. 1.1).

Длиной вектора назовем длину отрезка и в записи используем знак абсолютной величины: (либо ).

Вектор называется нулевым вектором, если его конечная точка совпадает с начальной .

Нулевой вектор в силу его определения не имеет направления, а длина его равна нулю.

Векторы и назовем коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 1.2; 1.3).

Два вектора и называют равными, если они коллинеарны, имеют общее направление и равные длины (рис. 1.4).

Из определения следует, что два вектора, порознь равные третьему, равны между собой. Именно поэтому в аналитической геометрии не различают равные векторы, имеющие разные точки приложения. Векторы, изучаемые в аналитической геометрии, называются свободными.

О пределение 2. Суммой векторов и называется вектор, идущий из начала первого вектора ( ) в конец второго ( ), при условии, что приложен к концу вектора (рис. 1.5).

Обозначать сумму в тексте будем (либо , если , ).

Замечание 1. Из определения 2 следует так называемое «правило параллелограмма»: если векторы и приложены к одной точке (одному началу), то сумма представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Д ействительно, в параллелограмме (рис. 1.6) векторы и равны: , а тогда по определению 2 диагональ или .

Докажем два свойства операции сложения геометрических векторов:

1) для любых двух геометрических векторов и :

;

2) для любых трех геометрических векторов , и :

.

Д оказательство свойства 1.

Приложим векторы и к одному началу – произвольной точке , концевые точки обозначим так, как показано на рис. 1.7 и рассмотрим треугольники и .

Из вектор , так как по определению равных векторов .

С другой стороны, из тот же самый вектор , так как .

Таким образом, , и свойство 1 доказано.

Доказательство свойства 2.

П риложим вектор к произвольной точке , к концу вектора приложим вектор , к концу - вектор . Концевые точки обозначим так, как показано на рис. 1.8, и рассмотрим вектор , идущий из начала в конец вектора .

Из имеем:

, (1.1)

но вектор из равен

. (1.2)

Из (1.1) и (1.2) получим

. (1.3)

С другой стороны, тот же самый вектор из треугольника можно записать в виде

, (1.4)

но из

. (1.5)

Равенства (1.4) и (1.5) дают следующее:

.

Сравнив последнее равенство с (1.3), получим

,

и свойство 2 доказано.

Замечание 2. Свойство 2 означает, что мы можем далее не различать векторы и , а рассматривать их как один и тот же вектор .

С умма произвольного числа векторов может быть получена по следующему правилу: к произвольной точке приложим вектор , к его концу – вектор и так далее, к концу вектора приложим вектор , тогда вектор, начало которого совпадет с началом , а конец – с концом , и будет вектором (рис. 1.9).

Замечание 3. Существует такой вектор , что для любого геометрического вектора справедливо равенство

.

Действительно, в качестве вектора можно взять введенный ранее нулевой вектор.

Если – произвольный геометрический вектор, то по определению суммы вектор имеет начало в начале , а конец – в конце второго слагаемого, т. е. , но у начало и конец совпадают и, таким образом, у вектора начало совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора и .

Аналогично устанавливаем, что .

Определение 3. Разностью векторов и называется такой вектор , что .

Запись: .

И з определения 3 следует, что если привести векторы и к одному началу, то изображается вектором, идущим из конца в конец (рис. 1.10).

Определение 4. Произведением вектора на число назовем вектор , удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. коллинеарен ;

2. ;

3. направление совпадает с направлением , если , и противоположно ему, если .

Под произведением вектора на будем понимать нулевой вектор .

Запись: .

З амечание 4. Вектор имеет длину такую же, как вектор ( ), и направление, противоположное направлению (так как число ).

Вектор называется противоположным для вектора (рис. 1.11).

Замечание 5. Для любых векторов и , если , , равенство есть необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и .

В самом деле, пусть , и . Тогда в соответствии с определением 4 и коллинеарны.

Обратно. Пусть и коллинеарны. Так как , , можно рассмотреть векторы и .

В соответствии с определением 4 и коллинеарны, аналогично и коллинеарны, но тогда и тоже коллинеарны.

Имеем и .

Таким образом, , т.е. , или и оказывается равным вектору , умноженному на число .

Отметим следующие свойства умножения вектора на число:

3) ;

4) ;

5) .

Доказательство свойства 3.

Приложим векторы и к общему началу – произвольной точке и построим на них как на сторонах параллелограмм (рис. 1.12).

И з подобия треугольников и найдем , но , а тогда .

С другой стороны, , и свойство 3 доказано.

Свойства 4 и 5 очевидны из наглядных геометрических соображений, и доказательство их опустим.

Совокупность всех геометрических векторов с операциями сложения и умножения на число будем называть пространством геометрических векторов и обозначать .