Лекція 12. Аналітичні методи математичного опису тепло-масообмінних процесів Контрольні питання:

12.1. Проведіть аналіз систем рівнянь переносу кількості руху, енергії і маси, за якими здійснюють аналітичний опис технологічних процесів.

У загальному випадку при математичному описі технологічних процесів становлять рівняння переносу, збереження кількості руху, маси і енергії, визначають геометричні та фізичні характеристики системи, граничні та початкові умови. Звичайне число величин, що підлягають визначенню, більше числа рівнянь зв'язку між змінними. Тому частину величин варто задавати. Для фізичних систем при математичному описі в граничні умови часто включають і умови рівноваги. Всі фізико-хімічні процеси в машинах та апаратах, де є потоки рідин або газів, в узагальненому виді можна описати системами рівнянь переносу кількості руху, енергії і маси

де ω — проекції швидкостей на координати х, у, z; P — тиск; Δ2 — оператор Лапласа; t — температура; сі — концентрація і-го компонента; ρ — густина речовини; rіv — теплота фазового перетворення i-го компонента при постійному об'ємі; СP — теплоємність речовини при постійному тиску; q — потік теплоти; a, ν, Di — відповідно коефіцієнти температуропровідності, в'язкості і дифузії i-ro компонента суміші; X — проекція масової сили на вісь х. Наведені рівняння описують баланс кількості руху, поля температур і концентрацій у середовищі, що рухається.

12.2. Що є характеристичні функції і їх роль в математичному моделюванні фізико-хімічних об’єктів?

Характеристичними функціями (характеристиками, що обчислюються) системи, що визначають її стан, вважають внутрішню енергію U, ентальпію Н і енергію Гіббса G. Кожна з цих функцій виражається через незалежні змінні (параметри) системи. Для внутрішньої енергії незалежними параметрами є ентропія S і об'єм V, для ентальпії — ентропія S і тиск Р, для енергії Гіббса — температура Т і тиск Р.

12.3. Що називають хімічними потенціалами компонентів технологічної системи?

Частинні похідні характеристичних функцій по числах молів компонентів Ni при інших постійних параметрах стану називають хімічними потенціалами цих компонентів

де Ni — число молів i-го компонента.

12.4. Охарактеризуйте задачу оцінки структури моделі.

Задача оцінки структури моделі зводиться до визначення на виході з апарата кривої зміни концентрації речовини в часі після нанесення збурювання по потоці на вході. Збурювальною дією може бути введення в апарат разом із поступаючим потоком не реагуючого із середовищем індикатора (трасера). У якості трасерів використовують інертні гази, солі, радіоактивні ізотопи і т.п.

12.5. Яким чином здійснюють оцінку структури потоку і його моделі за східчастим та імпульсним збурюванням?

1. При східчастому збурюванні змінюють східчасту вхідну величину до нового значення й одержують так звану вихідну F-криву.

2. При імпульсному збурюванні, миттєво змінюючи вхідну величину, одержують так звану вихідну С-криву.

При стандартному дослідному сигналі на вході, графічне зображення Fкривої і С-кривої звичайно представляють у безрозмірних координатах. Для цього концентрацію із трасера в потоці на виході відносять до його початкової концентрації й по осі ординат відкладають значення Fkp = 0 c/c0 . Вісь абсцис представляє безрозмірний час Θ= c /c , де τ — реальний час, а τс = c V/c — середній час перебування часток у потоці апарата. Показник Fкр у потоці на виході змінюється від 0 до 1. F-крива є часовою характеристикою об'єкта і її вид визначається структурою потоку в апараті. При імпульсній подачі індикатора на вхід, на виході знімається С-крива (імпульсна характеристика). Зв'язок між імпульсними характеристиками, представленими в безрозмірному і натуральному часі, визначається співвідношенням С (Θ) = τсС(τ). Вид С-кривої визначається структурою потоку в апараті.