Коновалюк МА - весна 2021 (1 сем.) / 04 ЛК - Метод узловых напряжений
.pdf
Кафедра «Теоретическая радиотехника»
www.mai-trt.ru
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Лекция. Метод узловых напряжений
Коновалюк М.А. konovaluk@mai-trt.ru
ЭТАП 1
Метод узловых напряжений позволяет оценить токи и напряжения на всех элементах схемы. Метод представляет собой алгоритм анализа цепи и состоит из нескольких этапов.
• Выбирается опорный (общий) узел.
Примечание. За опорный узел удобнее всего выбирать узел, к которому
подключено больше всего ветвей или источников напряжения.
•Общий узел обозначается символом « ».
•Обозначаются узловые напряжения для остальных узлов:
, , … , узл.−1,
где узл. – количество узлов в схеме.
Институт №4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
2 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
ЭТАП 1
Количество узлов в схеме узл.
Обозначеные узлы схемы:
, , , , .
1
5
= 5.
4
|
|
|
|
В узлах , , , соединено 3 ветви. |
|
|
|
В узле соединено 4 ветви. |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
опорный 6
узел
7
Узел выбран в качестве опорного узла.
Институт №4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
3 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
ЭТАП 1
На рисунке показаны направления |
|
|
|
|
Узловое напряжение в -ом узле |
||||||||||
узловых напряжений: |
|
|
|
|
определяется как напряжение, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
действующее между |
-ым узлом и |
||||||||
|
, |
, , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
опорным узлом: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Узловое напряжение опорного узла равно нулю: |
|
= 0 |
|
|
|
Институт №4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
4 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
|
|
|
|
ЭТАП 1 |
|
|
|
В схеме вместо узлов обозначают |
|
Любое напряжение между узлами |
|||||
узловые напряжения и не указывают |
V |
в схеме определяется как разность |
|||||
их направления. |
|
узловых напряжений, например: |
|||||
|
|
||||||
|
, |
, , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
= |
− |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
= |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Количество неизвестных узловых напряжений в схеме равно узл. − 1.
Институт №4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
5 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
|
|
|
ЭТАП 1 |
|
|
|
|
||||
Примечание. В схеме могут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Узловые напряжения в |
|
присутствовать суперузлы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
суперузле определяются |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
источником напряжения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cуперузел – это |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
пара узлов, соединенных |
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
источником напряжения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 суперузел
5 |
7 |
Количество неизвестных узловых напряжений в схеме уменьшается на число суперузлов.
Институт №4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
6 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
ЭТАП 2
•Составляются уравнения по закону Кирхгофа для токов (ЗКТ) в узлах с неизвестными узловыми напряжениями. Для каждого из узлов считается, что токи вытекают из узла, для которого записывается уравнение. Токи в ветвях записываются через узловые напряжения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неизвестными узловыми |
1 |
1 |
2 |
||
напряжениями для схемы |
|
|
|||
|
|
|
|||
являются: |
|
|
3 |
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Институт №4 «Радиоэлектроника, |
|
|
|||
|
|
||||
инфокоммуникации и информационная |
7 |
|
|||
безопасность» |
|
|
|
||
Для нахождения неизвестных узловых напряжений требуется составить уравнения для узлов:
, ,
6
Кафедра «Теоретическая радиотехника»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЭТАП 2 |
|
|
|
|
|
|
На рисунке показаны направления |
|
|
|
Токи, вытекающие из узла : |
||||||||||||
токов, вытекающих из узла : |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение по ЗКТ для |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
узла : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ |
|
+ |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Токи записываются |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
через узловые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
напряжения: |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ |
|
+ |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Институт №4 «Радиоэлектроника, |
|
|
|
Кафедра «Теоретическая |
|||||||||||
|
инфокоммуникации и информационная |
8 |
|
|||||||||||||
|
|
радиотехника» |
||||||||||||||
|
безопасность» |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1
ЭТАП 2
Примеры нахождения токов в ветвях.
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Институт №4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
9 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
ЭТАП 2
На рисунке показаны направления |
|
|
|
Токи, вытекающие из узла : |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
токов, вытекающих из узла : |
|
|
|
|
|
|
− |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Составляется уравнение |
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
||||||||
|
|
|
= |
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
по ЗКТ для узла : |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
+ |
|
+ |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Токи записываются |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||
через узловые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
напряжения: |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
1 |
+ |
|
2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Институт №4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
10 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|