Теоретические основы электротехники
Теория электромагнитного поля
ВШВЭ, проф. Л. И. Сахно 2021
1
Индуктивность коаксиального |
|
|
||||||||
|
кабеля. |
|
1 |
протекает ток в одном |
||||||
По внутренней жиле коаксиального кабеля радиуса R |
|
|||||||||
направлении, а по наружной оболочке толщиной (R3 – R2) такой же ток в обратном |
||||||||||
направлении. |
Рассмотрим три области коаксиального кабеля |
|||||||||
|
Первая область – внутри прямого проводника с током (0 |
|||||||||
|
r R1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
Вторая область - в слое изоляции кабеля (R1 |
|
r R2) |
|||||||
Третья область – внутри проводника (оболочки) с |
||||||||||
R1 |
обратным током (R2 r R3) |
|
|
|
|
|||||
Первая область – внутри прямого проводника с |
||||||||||
|
||||||||||
l |
током (0 r R1). |
|
|
|
r2 |
|||||
H1 |
|
i/ |
|
i |
/ |
i |
|
|||
R3 |
2 r |
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
R1 |
||||
dФ = B·dS = |
d 1 |
0i l r dr |
H 1 |
i r2 |
||||||
|
|
2 R12 |
|
|
|
|
2 R1 |
|||
0·H·l·dr. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первая область – внутри прямого проводника с током
(0 r R1).
Элементарный магнитный поток в первой области проходит внутри проводника, магнитная проницаемость которого обычно равна 0, и сцепляется лишь с частью
всего тока внутренней жилы, определяемой отношением площади, охваченной линиями индукции соответствующего радиуса к площади сечения всей внутренней жилы. Поэтому потокосцепление внутренней жилы можем записать в виде:
R1 |
R1 |
r2 |
R1 |
r2 |
|
|
i l r |
|
|
i l R1 |
|
i l R 4 |
|
|
i l |
||
1 d 1 2 |
d 1 2 |
|
0 |
|
dr |
0 |
|
r3 dr |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|||
|
|
2 |
|
4 |
|
4 |
4 |
8 |
|||||||||
0 |
0 |
R1 |
0 |
R1 |
|
2 R1 |
|
2 R1 0 |
2 R1 |
|
|||||||
Это соотношение определяет внутреннее потокосцепление провода кругового сечения с постоянным током, равномерно распределенным по его сечению.
Вторая область - в слое изоляции кабеля (R1 r R2)
В этой области напряженность магнитного поля убывает при удалении от оси кабеля, а элементарный магнитный поток равен элементарному потокосцеплению, так как сцепляется со всем током, проходящим по жиле кабеля, и является внешним по отношению к проводнику с током:
H 2 |
|
i// |
i // i |
H 2 |
|
i |
d 2 d 2 |
0i l |
dr |
|
2 r |
|
2 r |
||||||||
2 r |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Внешнее потокосцепление коаксиального кабеля, определяемое магнитным потоком в рассматриваемой области равно:
|
R 2 |
|
0i l |
ln |
R2 |
|
d |
||||||
|
|
|||||
2 |
|
2 |
2 R1 |
|||
|
||||||
|
R1 |
|
||||
Третья область – внутри проводника (оболочки) с обратным током (R2 r R3)
В этой области напряженность магнитного поля зависит от обратного тока:
H 3 |
i/// |
|
|
|
|
|
i |
/// |
i (1 |
|
r2 R2 |
2 |
) |
|
H 3 |
i ( R32 |
r2 ) |
|||||
2 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
R32 R2 2 |
|
2 r( R32 R22 ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i l( R 2 |
r2 )dr |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
d 3 |
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 r( R32 R22 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Элементарный магнитный поток сцепляется с прямым током (+i) и с частью |
|
|||||||||||||||||||||
обратного тока – i |
r2 |
R22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R32 |
R22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
R 2 |
|
|
|
R 2 |
r2 |
|
|
||||||
d d |
( 1 |
|
|
|
|
2 |
) d |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
R32 |
|
3 R32 R22 |
|
|
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
R22 |
|
|
|
|
|||||||||||
Третья область – внутри проводника (оболочки) с обратным током (R2 r R3)
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
0i l |
|
|
|
|
R3 |
(R32 |
r2 )2 dr |
|
|
|
0i l |
|
|
|
|
R3 |
R34 dr |
R3 |
2R32 r2 dr |
R3 |
r4 dr |
|
||||||||||||
3 d 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
r |
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
r |
r |
r |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
R2 |
|
|
|
2 |
(R3 |
R2 |
) |
|
R2 |
|
|
|
|
|
(R3 |
R2 |
) |
|
|
|
R2 |
|
R2 |
|
R2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i l |
|
|
R |
4 |
|
|
|
R |
3 |
|
|
|
2R 2 (R 2 |
R 2 ) |
|
|
|
R 4 |
R 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
R2 |
|
|
2(R |
2 |
|
2 |
2 |
|
4 (R |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(R3 |
R2 ) |
|
|
|
|
|
3 |
R2 |
) |
|
|
3 |
R2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||
|
|
0i l |
|
R2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
R2 |
|
|||||
2 |
|
R22 |
|
|
|
|
|
R22 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
(1 |
) |
2 |
|
1 |
|
|
|
4 (R32 R22 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
||
Индуктивность коаксиального кабеля получим, разделив сумму всех составляющих потокосцепления на величину тока в кабеле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
R |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 |
R 2 |
|
||||
|
|
|
|
0 |
l |
|
|
0 |
l |
|
R |
2 |
|
|
0 |
l |
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
L |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
||||||
|
i |
|
8 |
2 |
R1 |
2 |
(1 |
R22 |
) |
2 |
1 |
|
R22 |
|
4 (R32 R22 ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|||
Первое слагаемое в полученной сумме называется внутренней индуктивностью прямолинейного провода кругового сечения:
L внутр 0 l
8
Внутренняя индуктивность круглого прямолинейного провода не зависит от его радиуса, а определяется лишь длиной и магнитной проницаемостью материала проводника
Индуктивности тонких проводников с
Определение взаимной индуктивноститоками между тонкими контурами.
Контур считается тонким, если поперечные размеры проводника намного меньше его длины
dl1 |
r |
d |
|
|
l2 |
l1 l2
|
|
|
i |
dl |
|
|
|
0 i1 |
|
|
dl1dl2 |
|
A2 |
|
0 1 |
1 |
21 2 A2 dl2 |
4 |
|
r |
|||||
|
|
4 |
r |
l |
|
|
l |
l |
|
|||
|
|
|
|
l1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Величина взаимной индуктивности между тонкими контурами определяется следующим соотношением:
|
|
|
|
|
dl dl |
|
M 21 |
|
0 |
|
1 2 |
||
|
4 l |
l |
|
r |
||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Определение индуктивности тонкого контура
Разделим потокосцепление контура на внешнее и внутреннее, предполагая, что ток протекает по оси контура
|
d |
|
l1 |
r |
d |
|
|
|
|
|
l2 |
Внешнее потокосцепление равно внешнему потоку и определяется интегралом по контуру l2:
внешн внешн A2 dl2 |
|
|
|
|
|
0 i |
dl1 |
|
|
|
|
A2 |
|||
l2 |
|
|
|
|
|
4 |
l r |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
i |
|
dl1dl2 |
|
|
|
внешн |
|
|
|
|
|
|
|
4 l l |
|
r |
|
|
|||
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Внутреннее потокосцепление тонкого контура можно принять равным
внутреннему потокосцеплению спрямленного проводника такой же длины, выражение для которого мы получили, рассматривая коаксиальный кабель:
внутр i l1
8
Индуктивность тонкого контура определяется его суммарным потокосцеплением:
|
|
|
|
|
внутр |
|
|
|
|
dl dl |
|
l |
|
L |
i |
|
|
внешн |
i |
L внешн L внутр |
|
0 |
|
1 2 |
|
1 |
|
|
|
|
i |
|
4 l l |
2 |
r |
|
8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Предполагается, что магнитная проницаемость проводника может отличаться от 0.