Курсач / Доп материалы / Литература / Термодинамика_часть 2 (старое издание)

Согласно закону Фурье количество теплоты проходящий через элемент

где – коэффициент пропорциональности есть физический параметр веще-

ства и называется коэффициентом теплопроводности, Вт/(м·°C); dF – эле-

ментарная площадь поверхности теплообмена, м2; d – временной промежу-

ток, сек.

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу

мическую поверхность F , называется тепловым потоком (Дж/с =Вт)

Величина теплового потока Q и плотность теплового потока q явля-

ются векторами, за положительное направление которых принимают направ-

ление по нормали к изотермической поверхности в сторону уменьшения температуры (рис.1).

Скалярная величина вектора плотности теплового потока будет рав-

на:

Скалярная величина вектора теплового потока будет равна:

11

Знак минус в правой части уравнений (7 и 8) указывает на то, что теп-

ловой поток и температурный градиент как векторы имеют противополож-

ные направления.

Полное количество теплоты равно

Выражение плотности тепловых потоков в направлении осей x, y,z мо-

жет быть записано в виде:

Вектор теплового потока с учетом (10) для трехмерной задачи составит

Коэффициент теплопроводности

Под коэффициентом теплопроводности понимают тепловой поток, пе-

редаваемый через единичную поверхность при единичном значении темпера-

турного градиента

Для каждого тела коэффициент теплопроводности имеет свое числен-

ное значение и, зависит от природы, пористости, влажности, давления, тем-

пературы и других параметров. Численное значение определяется опыт-

ным путем. В практических расчетах используют значения коэффициента

12

теплопроводности, которые приводятся в справочных таблицах. При выводе уравнения (7) принято, что не зависят от температуры и, является постоян-

ной величиной. Однако, как показывают опыты, для многих материалов с достаточной для практики степенью точности, зависимость коэффициента теплопроводности от температуры можно принять линейной во всем рас-

сматриваемом интервале температур

Наихудшими проводниками теплоты являются газы. Коэффициент теп-

лопроводности газов возрастает с увеличением температуры и изменяется в пределах 0,005 – 0,5 Вт/(м·К).

Коэффициент теплопроводности жидкостей лежит в пределах 0,07 – 0,7

Вт/(м·К) и, как правило (за исключением воды и глицерина), уменьшается с увеличением температуры.

Наилучшими проводниками теплоты являются металлы, у которых

10 420 Вт/(м·К). У большей части металлов с возрастанием темпера-

туры он уменьшается.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Распределение температуры в теле, описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, которое при принятых допущениях, а имен-

но: тело однородно и изотропно; физические параметры тела постоянны во времени и пространстве; температурные деформации рассматриваемого эле-

ментарного объема малы по сравнению с самим объемом; внутренние источ-

ники теплоты распределены в рассматриваемом объеме равномерно; макро-

частицы тела неподвижны относительно друг друга; имеет следующий вид:

13

плотность тепловыделения, Bm/м3; – оператор Лапласа.

Уравнение (13) называется дифференциальным уравнением теплопро-

водности.

В цилиндрических координатах уравнение (13) имеет следующий вид:

Чтобы получить конкретное решение уравнения (13) для рассматрива-

емого случая, необходимо ввести полное математическое описание данного конкретного процесса теплопроводности. Эти частные особенности называ-

ются условиями однозначности или краевыми условиями, включающими:

геометрические условия (форма, размеры тела);

Физические условия (физические свойства тела и его физические пара-

метры);

Начальные условия (распределение температуры в теле в начальный момент времени);

Граничные условия, определяющие взаимодействие тела с окружаю-

щей средой.

1. Граничные условия первого рода. Задается распределение темпера-

туры на поверхности тела, как функция координат и времени

14

где tc -температура поверхности тела.

В частном случае, если температура поверхности тела постоянна вы-

ражение (15) имеет вид tc const .

2. Граничные условия второго рода. Задается распределение плотности тепловогопотока на поверхности тела, как функция координат и времени

В частном случае, когда плотность теплового потока на поверхности тела остается постоянной, имеем qc q0 const .

3. Граничные условия третьего рода. Задается температура окружаю-

щей среды tж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой

Уравнение (17) выражает закон Ньютона-Рихмана. Теплота, восприня-

тая поверхностью тела, распространяется в нем по закону Фурье. Следова-

тельно, где – коэффициент теплообмена, представляющий собой плотность теплового потока подведенного (отведенного) к единице поверхности тела при разности температур между поверхностью тела и окружающей среды 1К,

Вm/(м2К

на основании уравнений (16) и (17) имеем

Индекс “с” означает, что температурный градиент относится к поверх-

ности тела.

Выражение (18) можно записать в виде

15

Уравнение (19) является аналитическим выражением граничных усло-

вий третьего рода.

4. Граничные условия четвертого рода. Отражают условия теплообмена системы тел имеющих различные значения коэффициентов теплопроводно-

сти. Между телами предполагается идеальный контакт. Тогда

Теплопроводность плоской стенки

теплопроводности при стационарном температурном поле запишется в виде

Определим тепловой поток теплопроводностью через изотропную плоскую стенку, предполагая, что температура меняется только в направле-

нии,

перпендикулярном плоскости стенки (рис.2а) имеем:

16

Рис. 2. Теплопроводность плоской однослойной (а) и многослойной стенки (б)

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий пер-

вого рода

17

Подставляя постоянные интегрирования в формулу (24), получим уравнение распределения температуры в рассматриваемом сечении стенки

Из выражения (26) следует, что уравнение распределение температуры в стенке, при граничных условиях первого рода, является линейной функци-

ей.

По закону Фурье q t и с учетом формул (23) и (25) получим

n

Тепловой поток определяется следующим образом:

С учетом выше сказанного уравнения (27) и (28) могут быть представ-

лены следующим образом:

F

18

Таким образом можно утверждать, что величина удельного или полно-

го теплового потока зависит от термического сопротивления стенки.

Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через плоскую трех-

контакт между стенками идеальный и температура на границе смежных слоев одинакова. Перенос тепла происходит в стационарных условиях – плотность теплового потока по всем слоям стенки имеет одно и то же значе-

ние (q=const.). В этих условиях

Складывая левые и правые части уравнений разности температур, по-

лучаем слева изменение температуры в стенке tс1 tс4 , справа – произведе-

ние плотности теплового потока q и общего термического сопротивления

19

Таким образом, для плотности теплового потока при переносе теплоты теплопроводностью через плоскую трехслойную стенку получим следующее выражение:

где R – общее термическое сопротивление многослойной стенки.

Как следует из соотношения (35), плотность теплового потока прямо пропорциональна разности температур ( tс1 tс n 1 ) и обратно пропорцио-

нальна термическому сопротивлению стенки R.

Рис.3. Теплопроводность цилиндрической стенки

Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассмотрим теплопроводность цилиндрической однослойной стенки

(рис. 3) с внутренним диаметром d1=2r1 и наружным диаметром d2=2r2 в

20