Теплопроводность через цилиндрическую однослойную стенку
Любая практическая задача теплообмена в итоге сводится к вычислению теплового потока или определения температурного поля.
Для определения температурного поля без внутренних источников теплоты используется дифференциальное уравнение теплопроводности:
,
(8)
где
– коэффициент температуропроводности,
характеризующий скорость изменения
температуры в теле, м2/с;
ср – удельная массовая
изобарная теплоемкость, Дж/(кг.К);
– плотность, кг/м3;
– оператор Лапласа.
В цилиндрических координатах уравнение (8) имеет вид
,
(9)
где
– радиус-вектор;
– угол наклона радиуса-вектора, z
– вертикальная координата.
Для стационарного температурного поля
в однослойной цилиндрической стенке
(
,
и
)
при λ = idem
дифференциальное уравнение
теплопроводности принимает вид:
.
(10)
Для решения дифференциального уравнения
(10) введем новую переменную
,
тогда уравнение (10) запишется в виде
.
(11)
После интегрирования дифференциального уравнения (11), получается
.
(12)
Потенцируя выражение (12) и переходя к первоначальной переменной t, получаем
.
(13)
Уравнение стационарного температурного поля в цилиндрической однослойной стенке получается после интегрирования выражения (13)
.
(14)
Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются из граничных условий I рода:
при r = r1 t = tc1; r = r2 t = tc2; (15)
,
.
(16)
Решение уравнений (16) позволяет найти постоянные интегрирования
,
(17)
После подставки полученных значений С1 и С2 в уравнение (14), окончательно получается уравнение стационарного одномерного стационарного температурного поля в цилиндрической однослойной стенке (рис. 2):
,
(18)
где tc1, tc2 – температуры на внутренней и наружной поверхностях цилиндрической стенки; r1, r2 – внутренний и наружный радиусы; r – текущий радиус (r1 r r2).
Полученное выражение температурного поля представляет собой уравнение логарифмической кривой.
Рис. 2. Стационарное температурное поле
в цилиндрической однослойной стенке
Так как температура в рассматриваемом случае изменяется только в зависимости от текущего радиуса, то температурный градиент с соотношений (13) и (17) определяется следующем образом:
.
(19)
Тепловой поток, передаваемый теплопроводностью через цилиндрическую однослойную стенку, определяется по закону Фурье (5) с учетом выражения температурного градиента (19) и площади поверхности (F = 2πrl) теплообмена:
=
,
(20)
Тепловой поток, отнесенный к единице длины цилиндрической стенки l, называется линейной плотностью теплового потока.
,
Вm/м
(21)
Значения теплового потока Q и линейной плотности теплового потока ql не меняются во времени и по толщине стенки.
Формулы для определения теплового потока (20) и линейного теплового потока (21) можно представить в виде:
Q =
,
(22)
где R =
,
Rl
= R/l
− полное и удельное линейные
термические сопротивления
теплопроводности однослойной
цилиндрической стенки.
Из соотношений (22) видно, что при стационарной теплопроводности перепад температур на цилиндрической стенке прямо пропорционален термическому сопротивлению и обратно пропорционален величине коэффициента теплопроводности.