Практическое занятие № 3
Применение дисперсионного анализа в задачах определения влияния некоторого фактора на заданную случайную величину.
В ряде задач, связанных с технологией и организацией электромонтажного производства приходится определять влияние различных факторов на интересующий нас признак или величину, которые являются случайными. Для их решения используется однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ.
Рассмотрим пример использования однофакторного дисперсионного анализа. Предположим, что на нормально распределенный признак, например, показатель % брака при некоторой операции, воздействует некоторый новый фактор, например, измененная технология выполнения этой операции. Естественно возникает вопрос о влиянии новой технологии на % брака. Если этот анализ проводится длительное время и имеется соответствующие статистические данные, сделать вывод о целесообразности (или нет) использования новой технологии не представляет трудности. Однако на реальном производстве решение должно быть принято достаточно быстро, поэтому не всегда ясно, что повлияло на конечный результат: использование новой технологии или другие случайные факторы. Дисперсионный анализ позволяет принять правильное решение, подкрепленное расчетом.
Пример, дано:
- показатель брака при «старой» и «новой» технологии Xij;
- i – номер наблюдений (i = 1…q), q – число наблюдений , q = 4;
- j – номер постоянного уровня фактора (j = 1… p);
- p – число постоянных уровней фактора, p = 2.
Необходимо установить повлияла ли принятая новая технология на снижение процента брака (в данном примере это очевидно), и, главное, дать некоторую численную оценку, которая может обосновать это решение. Для этого определим остаточную дисперсию Dост, которая характеризует отклонение показателя Xij от среднего значения для данной группы, что отражает влияние на него случайных воздействий.
p(q
где Xгр.j
– групповое
среднее значение.
pq
Факторная дисперсия является внутригрупповой дисперсией и определяется как среднее арифметическое групповых дисперсий. Она характеризует разброс средних значений Xгр.j отдельных групп относительно общего среднего значения Хср. Этот вид дисперсии оценивает влияние фактора на показатель.
Dф
= (
Задача сравнения
групповых средних значений сводится
к сравнению факторной и остаточной
дисперсий по критерию Фишера, в
соответствии с которым необходимо найти
наблюдаемое значение критерия, Fнаб.
Fнаб
= Dф\
13.07
Далее задаются или определяются следующие параметры:
α - вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза, обычно α = 0.05.
kф - число степеней свободы kф = p – 1 = 2 – 1 = 1
kост - число степеней свободы для остаточной дисперсии (kост = p (q– 1) = 2х3 = 6.
Далее по таблице критических точек Фишера находится Fкр (α, kф, kост), в данном примере Fкр (0.05; 1; 6) = 5.99, который сравнивается с Fнаб. Так как Fнаб > Fкр нулевая гипотеза о равенстве групповых средних значений отвергается. Следовательно, делается вывод, что новая технология уменьшает процент брака. Если бы наблюдаемое значение критерия Фишера незначительно превышало критическое, то для принятия правильного решения следовало бы увеличить число наблюдений.
Исходные данные:
№ X11 X21 X31 X41 X12 X22 X32 X42
14 3.4 4.1 4.6 3.8 2.9 2.8 2.2 2.8
α=0,05; kф=1; kост=6
Xгр.1 |
Xгр.2 |
Dост |
Xср |
Dф |
Fнаб |
3,975 |
2,675 |
0,1791667 |
3,325 |
0,845 |
4,716279 |
Fкр=5,99
Fнаб<Fкр, это значит что для принятия правильного решения следовало бы увеличить число наблюдений.