лекции / лекция 3 ММОСУ

Лекция 3. Численные методы решения систем линейных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши для линейной динамической системы

с заданным для каждого момента времени вектором входа u t . Если найден,

то определить выход y t по второму уравнению не представляет труда, поэтому ограничимся рассмотрением только уравнения состояния

представляющегособойсистемулинейныхнеоднородныхдифференциальных уравнений.

Для построения решения неоднородной системы предварительно изучим свойства решений линейной однородной системы

Для этого рассмотрим n-линейно независимых векторов

которыепримемвкачественачальныхусловийлинейнойоднороднойсистемы

x i t0 x0i .

Поэтимn начальнымусловиямполучимnрешенийоднородной системы дифференциальных уравнений

x i t , t t0,T ,i 1, n,

каждое из которых удовлетворяет соотношению

Матрица X t ,составленнаяизэтихрешенийкакизстолбцов,называется фундаментальной матрицей линейной системы:

X t x 1 t | x 2 t | | x n t .

Любой столбец фундаментальной матрицы удовлетворяет линейной системе, поэтому

x 1 t | x 2 t | | x n t A x 1 t | x 2 t | | x n t ,

то есть фундаментальная матрица удовлетворяет матричному линейному дифференциальному уравнению

X t AX t , X t0 x01 | x02 | | x0n .

Основное свойство фундаментальной матрицы дает следующая теорема. Теорема:еслисуществует t* t0,T такая,что det X t* 0 тодлялюбой

tt0,T det X t 0.

Всвязи с тем, что векторы начальных условий линейно независимы, то

Система линейных дифференциальных уравнений имеет бесконечное число фундаментальных матриц в зависимости от принятого набора линейно независимых векторов начальных условий. Так как X t0 – невырожденная матрица, то можно определить матрицу

t,t0 X t X 1 t0 , t t0,T ,

называемую переходной матрицей. Переходная матрица обладает следующими свойствами:

1.t0,t0 X t0 X 1 t0 I.

2.Переходная матрица невырожденная для любых t0,t, т.е.

det t,t0 det X t X 1 t0 det X t det X 1 t0 0.

3. Переходная матрица удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

d dtt,t0 A t,t0 .

Действительно:

Из свойств 3 и 1 следует, что t,t0 – фундаментальная матрица, для которой X t0 I .

4. 1 t,t0 t0,t .

Действительно

1 t,t0 X t X 1 t0 1 X t0 X 1 t t0,t .

Переходную матрицу используют для построения решения систем линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений.

Решение задачи Коши систем линейных однородных дифференциальных уравнений через фундаментальную матрицу

Рассмотрим следующую задачу Коцш: x t Ax t ,

x t0 x0, x Rn, t t0,T

Докажем, что решение этой задачи имеет вид x t t,t0 x0,.

Доказательство. Продифференцируем по t левую и правую часть решения:

dxdt dtd t,t0 x0 A t,t0 x0 Ax t .

Второе равенство следует из свойства 3 переходной матрицы, третье равенство – из определения решения через переходную матрицу. Таким образом, предложенное решение удовлетворяет системе линейных однородных дифференциальных уравнений. Осталось показать, что предложенное решение удовлетворяет начальному условию, для чего вычислим

x t0 t0,t0 x0 Ix0 x0

Следовательно, переходная матрица позволяет вычислить решение ЛОУ для любого момента времени t через решение в другой момент времени t0 .

Вычисление переходной матрицы Переходная матрица удовлетворяет матричному дифференциальному

уравнению

d dtt,t0 A t,t0 .

с начальным условием t0,t0 I..

Требуется найти аналитическое решение этого матричного уравнения. Используем следующий прием: проинтегрируем обе части уравнения в пределах t0,t по переменной t:

Учитывая, что в левой части содержится полный дифференциал, а матрица А не зависит от , получим

t

t,t0 t0,t0 A ,t0 d ,

t0

или

t

t,t0 I A ,t0 d ,

t0

Подынтегральное выражение можно представить по этой же формуле, то

есть

t,t0 I Att0 I At0 1,t0 d 1 d I A t t0 A2tt0t0 1,t0 d 1d ,

Подставив (4.7) в подынтегральное выражение, получим:

продолжая итерационно этот процесс, получим выражение для переходной матрицы в виде сходящегося матричного ряда

t,t0 I A t t0 A2 t 2t!0 2 An t nt!0 n .

Рассмотрим скалярную функцию y t eat . Разложим ее в ряд Тейлора в

окрестности точки t0 .

y t y t0 y1t!0 t t0 y 2t!0 t t0 2 y nn!t0 t t0 n .

Производные от экспоненты вычисляют по формуле y k t0 akeat0 ,

В результате получим для экспоненты

eat eat0 eat0 a t t0 eat0 a2 t2!t0 2 eat0 an tn!t0 n .

откуда

ea t t0 1 a t t0 a2 t2!t0 2 an tn!t0 n .

Из сравнения полученного ряда с выражением для переходной матрицы следует, что переходная матрица представляет собой ряд для матричной экспоненты

t,t0 eA t t0 I A t t0 A2!2 t t0 2 An!n t t0 n .

Матричная экспонента обладает всеми свойствами, присущими скалярной экспоненциальной функции, в частности

t,t0 eA t t0 eAte At0 .

Численное решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Решение СЛОДУ определяется с помощью переходной матрицы

Пусть требуется получить решение СЛОДУ в узлах равномерной сетки

сизвестнымшагомh.Дляэтогорассмотримрешениявдвухпоследовательных узлах сетки, например:

x t1 x t0 h eA t0 h t0 x t0 eAhx0,

x t2 x t0 2h eA t0 2h t0 x t0 e2Ahx0 eAheAhx0 eAhx1.

Продолжая вычисления указанным способом, получим общее выражение для решения СЛОДУ на узлах равномерной сетки:

x ti 1 eAhx ti .

Таким образом, решение СЛОДУ задается рекуррентным разностным уравнением спостоянной (дляфиксированного шагасетки)матрицей системы

eAh.

Для вычисления матрицы можно воспользоваться тем, что матричный

ряд

сходится абсолютно для любого h, в связи с чем величину eAh можно вычислять путем непосредственного суммирования ряда из N членов

I N A1i ,

i 1 i!

где A1 Ah.

Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений

Как было выведено ранее, математическая модель линейной динамической системы представляет собой задачу Коши для СЛНДУ:

x t Ax t Bu t ,

x t0 x0, x Rn,u Rl .

где вектор-функция u t известна для любого момента времени. Найдем решение СЛНДУ. Для этого произведем замену переменных

z t t0,t x t ,

где x t – решение СЛНДУ, t0,t eA t0 t t,t0 1‚ t,t0 – переходная матрица для СЛОДУ

x t Ax t .

Продифференцировав величину z t eAt0 e At x t

dt

eAt0 Ae Atx t e At Ax t e AtBu t eAt0e AtBu t .

При переходе к последнему равенству воспользовались равенством

Ae At e At A,

которое следует из представления e At в виде ряда. Интегрируя выражение

dzdt eAt0e AtBu t

на интервале t0,t получим: z t z t0 tt0 eA t0 Bu d .

Подставив в него z t eAt0 e At x t и z t0 x t0 получим eA t0 t x t x t0 tt0 eA t0 Bu d .

Окончательно решение СЛНДУ будет иметь вид: x t eA t t0 x t0 tt0 eA t Bu d .

Формула для решения СЛНДУ носит название формулы Коши.

3.5 Численное решение СЛНДУ

Воспользуемся формулой Коши для построения алгоритма численного решения СЛНДУ, то есть решений x ti , вычисленных в узлах равномерной сетки

Считая величину h малой, можно пренебречь изменением входного сигнала на интервале t0,t0 h , то есть считать

тогда

x t1 eAhx t0 tt00 heA t0 h Bu t0 d

Интеграл вычислим путем замены переменных s t0 h ,

откуда ds d ,

t0 s h,

t0 h s 0,

тогда

x t1 eAhx t0 0heAsdsBu t0 .

Обозначив величины

Ad eAh,Bd 0heAsds B,

получим выражение для решения в первом узле сетки: x t1 Ad x t0 Bdu t0 ..

Вычислив x t2 x t1 h по указанной методике, получим x t2 Ad x t1 Bdu t1 .

Аналогично для i-го узла сетки решение определяется следующей дискретной системой:

Ad I A.

В MATLAB реализована команда вычисления матриц дискретной системы Ad и Bd по матрицам А, В исходной системы:

[sysd]=c2d(sysc,h);

где sysc – исходная непрерывная система, h – величина шага по времени, sysd

–дискретная система.

Преобразование линейных моделей

Переход От СЛДУ к ЛДУ n-го порядка

Описание линейной динамической системы в виде СЛДУ -

называют описанием в форме пространства состояний, т. к. . x – вектор состояния или фазовый вектор.

Описание в форме пространства состояний связано с описанием в форме “вход—выход”, т.е. с математическим описанием, непосредственно связывающим выход y t и его производные со входом u t и его производными:

y n t n 1y n 1 t 1y 1 t 0y t

nu n t n 1u n 1 t 1u 1 t 0u t ,

где i,i 0, ,n 1, – квадратные матрицы строения m m, а i,i 0, ,n 1

– матрицы строения m l .

где p , p - матричные полиномы от оператора p (коэффициенты этих полиномов — матрицы).

Если ввести 1 p – обратную матрицу, то формально можно записать

y t 1 p p u t W p u t ,

выражение

p y t p u t ,

т.е. дифференциальное уравнение !!!!!!-го порядка.

Если y t и u t – скалярные выход и вход, то p , p – скалярные полиномs, поэтому

y t pp u t W p u t ,