лекции / лекция 3 ММОСУ

где

и является дробно-рациональной функцией.

Найдем выражение для матричных полиномов p , p через матрицы системы A, B, C, D.

Уравнение состояния имеет вид x t Ax t Bu t .

Уравнение выходов имеет вид y t Cx t Du t .

Найдем выражение для r-й производной выхода y r t , где r –

произвольное число. Делать это будем путем последовательного дифференцирования уравнений выхода.

y t Cx t Du t C Ax Bu Du CAx CBu Du,

y y CAx CBu Du CA Ax Bu CBu DuCA2x CABu CBu Du

Матрицу An можно выразить через An 1, ,A. По теореме Гамильтона-

Кэли матрица А является корнем своего характеристического полинома. Если det Is A sn n 1sn 1 1s 0 – характеристический полином

матрицы А, то при s A.

An n 1An 1 1A 0I 0

где I –- единичная матрица, 0 – нулевая матрица строения n n. Следовательно, первое слагаемое в выражении для можно записать как

CAnx C n 1An 1 1A 0I x,

и выражение для y n примет вид:

Подставим его в предыдущее выражение. Получим запись следующего вида:

n 1CAn 1 k Bu k Du n .

k 0

Ее преобразуем к виду

k0

азатем

В последнем выражении подразумевается n 1 (в характеристическом полиноме это коэффициент при An. В правой части этого выражения присутствуют следующие слагаемые:

0D rn1 rCAr 1B u 0 ,

1D n rCAr 2B u 1 ,

r 2

рассмотренной выше.

В общем случае, когда вход u и выход y являются не скалярными, а векторными, мы имеем дело с матричной ПФ от u к y. В этом случае вместо полинома p получается матрица

где ij p - полином. При этом

ij p yj t ij p ui t .

Связь между u t и y t определяет соотношение

Ееэлементы-это wij p ij pp , представляющиесобойПФотi-говхода

к j-му выходу. Таким образом, знаменатель всех ПФ один и тот же и равенp – характеристическому полиному матрицы А. Матричную ПФ можно получить и при помощи преобразования Лапласа для системы

Применив преобразование Лапласа L к вектор-функциям x t , u t , y t :

получим

L x t L Ax t Bu t ,

или

sx s Ax s Bu s ,

или

Is A x s Bu s

а также

L y t L Cx t Du t , y s Cx s Du s .

Отсюда

x s Is A 1Bu s ,

y s C Is A 1B D u s W s u s ,

где W s – это матричная ПФ вида

Здесь ij s – полиномы относительно s, они совпадают с полиномами

ij p .

Поэтому в области изображений

s y s s u s

Полиномы s , s можно вычислять приведенным ранее способом.

Переход от описания динамической системы в форме “вход—выход”

дифференциальное уравнение вида

y n t n 1y n 1 t 1y 1 t 0y t

nu n t n 1u n 1 t 1u 1 t 0u t ,

Введем обозначения:

y n 1 yn 1, y 1 y1,y y0.

Дифференциальному уравнению системы соответствуют скалярные полиномы от оператора дифференцирования p:

p pn n 1pn 1 1p 0

и

p pn n 1pn 1 1p 0

Для описания системы в пространстве состояний требуется найти матрицы A, B, C, D и вектор начальных условий x t0 x0 – такие, чтобы системе

иисходномудифференциальномууравнениюсоответствовалитождественные выходы y t для одного и того же u t ,t t0,T .

Из исходной записи

pn y n 1pn 1y 1py 0 y n pnu 1pu 0u,

следует, что

y nu 1p n 1y n 1u p12 n 2y n 2u

p1n 0y 0u ,

или

y nu 1p n 1y n 1u 1p n 2y n 2u 1p 0 y 0u .

Введем переменную xn y nu,

отсюда

y xn nu.

Очевидно, что

xn 1p n 1y n 1u 1p n 2 y n 2u 1p 0y 0u ,

откуда, продифференцировав xn, получим

xn n 1y n 1u 1p n 2y n 2u 1p 0 y 0u

Выражение справа от знака равенства обозначим через xn 1.

Тогда

xn xn 1 n 1y n 1u.

Продифференцируем xn 1 и получим

xn 1 n 2y n 2u 1p 0y 0u

или

xn 1 n 2y n 2u 1p 0y 0u xn 2.

Последнее выражение можно записать как xn 1 xn 2 n 2 y n 2u.

что аналогично выражению для xn. Продолжая этот процесс, получим цепочку равенств, последним из которых будет

x1 01y 0u.

Полученная система уравнений

x1 0y 0u,

xn 1 xn 2 n 2 y n 2u,xn xn 1 n 1y n 1u

может быть записана как

x1 0 xn nu 0u,

xn 1 xn 2 n 2 xn nu n 2u,xn xn 1 n 1 xn nu n 1u

или

x1 0xn 0 0 n u,

xn 1 n 2xn xn 2 n 2 n 2 n u,xn n 1xn xn 1 n 1 n 1 n u.

В левой части этой системы стоит вектор производных от компонент вектора x x1 xn T .

Полученная система уравнений есть система неоднородных дифференциальных уравнений с вектором состояния x. Запишем эту систему уравнений в матричной форме: