Скачиваний:
3
Добавлен:
16.05.2021
Размер:
460.45 Кб
Скачать

Лекция 2. Системы линейных алгебраических уравнений

2.1 Решение систем линейных алгебраических уравнений

2.1.1 Определения и основные свойства матриц

Для начала напомним некоторые сведения из линейной алгебры. Рассмотрим систему из n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с

n неизвестными x1, ,xn :

a11x1 a12x2 a1nxn b1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a22x2 a2nxn b2,

 

 

 

 

 

a21x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

n1

a

n2

x

2

a

nn

x

n

b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Запишем СЛАУ в матричной форме, для этого введем векторы

 

x

 

 

 

b

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

11

 

1n

x

,b

 

и матрицу A

 

 

 

.

 

x

n

 

 

 

b

 

 

 

 

 

a

n1

a

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

nn

Тогда СЛАУ примет вид

 

 

 

 

 

Ax b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение: A 1

– обратная матрица для квадратной матрицы А, если

AA 1 I , где I

– единичная матрица.

 

 

 

 

 

Определение: А — невырожденная, если для А существует A 1. Теорема: следующие утверждения эквивалентны:

1.А — невырождена;

2.det A 0;

3.линейная однородная система Ax 0 имеет единственное решение

x0;

4.для любого b система Ax b имеет единственное решение;

5.столбцы (строки) матрицы А линейно независимы, то есть для любой

комбинации чисел 1, 2, n , не все из которых равны нулю, линейная комбинация

 

a11

 

 

 

a12

 

 

 

a1n

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

 

 

 

a22

 

 

 

a2n

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

an1

 

 

 

an2

 

 

 

ann

 

 

 

 

 

Определение: ранг матрицы –

 

rank(A) – число линейно независимых

столбцов (строк).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие: А — невырожденная, если и только если А — полного ранга

(rank(A)=n).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение: комплексное или вещественное число и вектор

x 0,

x Rn

 

называются

собственным

значением и собственным вектором

матрицы А, если они удовлетворяют алгебраическому уравнению

Ax x

Собственный вектор — это такой вектор, который, будучи умножен на матрицу А, изменяет лишь свою длину.

Из определения собственного значения следует:

Ax x 0 A I x 0.

Так как x — собственный вектор и по определению x 0, то в соответствии с теоремой A I — вырожденная матрица, а det A I 0.

Левая часть последнего выражения — полином степени n относительно комплексной переменной , называемый характеристическим полиномом матрицы, следовательно собственные значения матрицы есть корни характеристического полинома матрицы A, их ровно n с учетом кратности.

Определение: совокупность всех собственных значений i in 1 матрицы

А называется спектром матрицы А, а величина

A max i

1 i n

называется спектральным радиусом. Определение: нормой матрицы А называется

A

 

 

 

sup

 

 

Ax

 

 

AT A1 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x Rn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение СЛАУ методом исключения

Одной из наиболее распространенных задач является задача решения СЛАУ

Ax b,

для заданных квадратной матрицы А и вектора b.

Если А — невырожденная матрица, то для нее существует обратная A 1.

Умножая СЛАУ на A 1 слева, получим решение: x A 1b.

Полученный метод решения СЛАУ неэффективен в силу большого времени вычислений.

Рассмотрим более эффективный алгоритм решения СЛАУ – метод исключения Гаусса. Этот алгоритм с некоторыми модификациями используют для решения СЛАУ до двухсотого порядка.

Вначале продемонстрируем работу алгоритма на примере следующей СЛАУ:

4x1 9x2 2x3 6,

 

 

 

 

 

 

 

4x3 6,

 

 

 

 

2x1 4x2

 

 

 

 

x 2x

2

2x 1,

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

которую запишем в матричной форме

 

4

9

 

2 x1

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

4

x2

 

 

6

.

 

 

1 2

 

2

x

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем расширенную матрицу системы:

 

 

4

9

 

2

6

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

4

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На

первом

шаге

алгоритма исключим x1 из второго

и третьего

уравнений системы.

Для исключения x1 во втором уравнении,

из второго

уравнения вычтем первое, умноженное на l21 24. Для исключения x1 в

третьем уравнения из него вычтем первое, умноженное на l31 14. В результате после первого шага исключения получим

 

 

9

 

 

 

 

 

 

4

2

6

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3

3

.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

2

 

 

 

 

 

На втором шаге алгоритма исключим x2 в третьем уравнении, для чего из третьего уравнения вычтем первое, умноженное на l32 12. После второго шага исключения получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

9

2

6

 

 

 

0

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3 3

 

,

L

 

1

 

0

0

.

2

 

2

 

 

0

 

4

4

 

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

За два шага закончилась первая часть алгоритма — приведение системы к треугольной форме. Решение полученной треугольной системы осуществляется снизу вверх

x3 44 1;

x2 2 3 3x3 0;

x1 14 6 2x3 9x2 1.

Перейдем к построению алгоритма исключения для СЛАУ общего вида

a11x1 a12x2 a1nxn b1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21x2 a22x2 a2nxn b2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

n1

a

n2

x

2

a

nn

x

n

b .

 

 

 

 

 

n

Шаг 1: исключим x1 из уравнений с номерами 2,…, n путем вычитания:

из второго уравнения первого, умноженного на l21 a21a11 ;

из n-ого уравнения первого, умноженного на ln1 an1a11 . После первого шага система уравнений преобразуется к виду

 

a11x1 a12x2 a1nxn b1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 1 x

 

 

a

1 x

 

 

 

b 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

2n

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 1 x

2

 

a 1 x

n

b 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

nn

 

n

 

 

 

 

 

 

где

a 1

a

ij

l

a

 

 

,b 1

b l

b ,l

i1

a

a ,i, j 2, ,n

ij

 

 

i1

1j

i

 

 

i

 

 

i1 1

 

 

 

i1

11

 

Шаг 2: исключим

x2

из уравнений с номерами 3,…, n путем вычитания:

 

Из третьего уравнения второго, умноженного на l32 a32 a22

 

….

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из n-ого уравнения второго‚ умноженного на ln2 an2 a22 .

 

После второго шага получим

 

 

 

 

 

 

 

 

a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1,

 

 

 

 

 

a 1 x

 

 

a

1 x a 1 x

 

 

b 1 ,

 

 

 

 

 

2

n

 

 

 

 

22

 

 

23

3

 

 

 

 

2n

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2 x a 2 x

n

b

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

3

 

 

 

 

3n

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an3 x3

ann

bn

.

После n-1 шага исключения исходная система придет к треугольной

форме

a11

a12

 

0

a221

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

где

a1n

x1

 

 

 

 

b1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

a2n

x2

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a n 1 x

n

 

 

b

n 1

nn

 

 

 

 

 

n

 

a k 1

lik aikk 1 ,bik bik 1 likbkk 1 ,aijk aijk 1 likaijk 1 , kk

k=1,…n–1– номер шага исключения, i=k+1, …, n – номер строки, j=k+1, …, n - номер столбца.

Решение треугольной системы осуществляется путем обратной подстановки k=n, n-1, …, 1.

 

 

 

n

k 1

 

k 1

 

 

 

 

xk

k-1

 

 

 

.

 

 

 

bk

akj

xj

akk

 

 

 

 

 

 

j k 1

 

 

 

 

 

 

 

При

реализации

алгоритма

в виде программы элементы

a k

и

b k

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

i

обычно хранят на месте исходных элементов aij , bi , поэтому их прежние значения будут изменены. Приведем программу, реализующую алгоритм решения СЛАУ методом исключения.

LU-факторизация матриц

Впроцессе исключения по Гауссу исходная матрица СЛАУ А приведена

кверхней треугольной матрице

u11

u12

u1n

 

 

 

u22

 

 

 

0

u2n

 

U

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

unn

 

где элементы матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Введем в рассмотрение нижнюю треугольную матрицу, на главной диагонали которой расположены единицы, а под главной диагональю помещены lij, полученные в процессе приведения А к верхнетреугольному виду

1

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

l21

1

 

0

 

L

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln2

 

1

 

ln1

 

Можно показать, что

A LU ,

то есть в процессе решения СЛАУ с использованием метода исключения получено разложение (факторизация) исходной матрицы на нижнетреугольную с единичной главной диагональю и верхнетреугольную.

Если проведена LU-факторизация матрицы СЛАУ Ax b, то решение системы может быть получено следующим образом. Исходную систему перепишем в виде

LUx b.

Введем обозначение Ux y, тогда исходная система сведется к двум СЛАУ

Ly b, Ux y,

каждая из которых проще, чем исходная, так как имеет треутольную матрицу.

Решение первой системы -

1

 

0

0 y1

 

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l21

 

1

0

y2

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

1

 

 

 

 

l

n1

n2

y

n

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

легко вычисляется прямой подстановкой

y1 b1,

y2 b2 l21y1,

yn bn ln1y1 ln,n 1yn 1,

или, в общем виде:

k 1

yk bk lki yi i 1

После того как получен вектор у, можно решить вторую треугольную систему

u11

u12

u1n x1

 

 

y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

u22 u2n x2

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

unn xn

 

 

yn

 

путем обратной подстановки

xn u1nn yn ,

xn 1

 

 

1

 

yn 1 un 1,nxn ,

 

 

 

 

 

un 1,n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 u

 

y1

u1jxj .

 

11

 

j 2

 

или, в общем виде:

xk u1kk yk j nk u1kjxj , k n,n 1, ,1.

Таким образом, применение LU-факторизации сводит решение исходной СЛАУ к последовательному решению двух СЛАУ c треугольными матрицами. Если требуется решить несколько СЛАУ о одной и той же матрицей А и различными правыми частями

Ax b ; x

,b Rn,

i 1, ,n,

i i i

i

 

то предварительная LU-факторизация матрицы системы А позволяет существенно сократить трудоемкость решения n систем, сводя задачу к решению 2n СЛАУ с треугольными матрицами

Lyi bi ,

Uxi yi .

Вычисление определителя и обратной матрицы

Определитель матрицы А является побочным продуктом LU-факторизации матрицы А, действительно:

det A det LU det L det U .

Второе равенство получено на основании того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей.

Вычислим определитель каждого из сомножителей. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов,

 

 

1

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l21

1

 

0

 

1,

 

 

 

 

 

det

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u11

u12

u1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det

 

0

u2n

u

u

 

u

 

,

 

 

 

 

 

 

 

22

nn

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

unn

 

 

 

 

 

 

следовательно

det A in 1uii .

В MATLAB реализована функция вычисления определителя матрицы

D = det(A).

Перейдем к рассмотрению вопроса о вычислений обратной матрицы. По определению обратная матрица X удовлетворяет матричному алгебраическому уравнению

AX I

Представим матрицы X и I в виде наборов их столбцов

X x | x

2

| | x

n

;

x

Rn;

1

 

 

 

 

 

i

 

I e |e

2

| |e

n

;

 

e Rn;

1

 

 

 

 

 

i

 

где ei – вектор, который имеет все нулевые элементы за исключением i-ого, равного 1. Тогда матричное уравнение для обратной матрицы можно переписать в виде

A x1 | x2 | | xn e1 |e2 | |en ,

то есть представляет собой n СЛАУ вида

Axi ei, i 1, ,n.

Таким образом, для вычисления обратной матрицы необходимо решить n СЛАУ и составить из полученных решений матрицу. Учитывая, что все n СЛАУ имеют одинаковую матрицу А, целесообразно произвести ее LUфакторизацию и свести задачу вычисления обратной матрицы к решению 2n СЛАУ с треугольными матрицами

Lyi ei,

 

Uxi yi,

i 1, ,n.

Обусловленность СЛАУ. Анализ ошибок решения СЛАУ

Определение: СЛАУ плохо обусловлена, если малые изменения элементов матрицы А или вектора b приводят к большим изменениям в решении.

Рассмотрим пример плохо обусловленной СЛАУ:

0,8x1 0,4x2 1, 0,79x1 0,41x2 .

Решения этой системы x0 для 0 и x для малого значения будут сильно отличаться. Это связано с тем, что на плоскости x1x2 уравнения системы задают “почти” параллельные прямые 1 и 2 (рис. 2.1). Следовательно, уравнения являются “почти” линейнозависимыми, и при их малом изменении относительно друг друга точка пересечения прямых будет значительно меняться.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке лекции