лекции / лекция 2 ММОСУ

Рисунок 2.1 Получим количественную характеристику обусловленности СЛАУ.

Рассмотрим исходную систему

.

Изменим вектор правой части таким образом, что b b0 b, при этом изменится решение СЛАУ x x0 x. Найдем зависимость x от b:

A x0 x b0 b, Ax0 A x b0 b.

Учитывая, что Ax0 b0 имеем

A x b,

x A 1 b.

Вычислим зависимость норм векторов x и b. По правилу треугольников имеем

xA 1 bA 1 b,

поэтому, если A 1 мала, то большие изменения b приведут к малым изменениям x. Удобно иметь дело с относительными величинами

Учитывая, что b0 Ax0 , умножая полученное неравенство на b0 ,

получим:

xb0 A 1 bb0 A 1 bAx0 A 1 bAx0

Разделим обе части неравенства на x0b0 :

Величина

AA 1 cond A

называется числом обусловленности матрицы. Как следует из полученного неравенства, это число характеризует относительное изменение нормы решения СЛАУ в зависимости от относительного изменения нормы правой части системы.

Для вычисления числа обусловленности матрицы воспользуемся определением нормы матрицы

A 2 AT A max i AT A ,

1 i n

где i AT A – собственное число матрицы AT A. Вычислим

A 1 A 1 T A 1

Учитывая симметричность A 1 T A 1 и коммутативность операций

транспонирования и обращения, получим:

Из определения числа обусловленности

max i AT A 12 cond A A A 1 1 i n 1.

min i AT A

1 i n

Вычисление собственных значений матрицы

Рассмотрим наиболее простой алгоритм вычисления собственных значений матрицы, основанный на вычислении корней характеристического полинома матрицы – алгоритм А. Н. Крылова. Алгоритм является следствием теоремы Гамильтона-Кэли.

Теорема: квадратная матрица А является корнем своего характеристического полинома

p s det Is A sn pn 1sn 1 p1s p0,

то есть матрица А удовлетворяет матричному уравнению

An pn 1An 1 p1A p0I 0.

Алгоритм А.Н. Крылова основан на вычислении коэффициентов характеристического полинома матрицы, а собственные значения вычисляют как корни характеристического полинома

Для вычисления коэффициентов характеристического полинома воспользуемся матричным уравнением, следующим из теоремы Гамильтона-

Кэли. Умножим обе части этого уравнения на произвольный x0 0 Rn

Anx0 pn 1An 1x0 p1Ax0 p0x0 0,

введем обозначения xi Aix0 ‚ после чего исходное матричное уравнение сведется к векторному уравнению:

xn pn 1xn 1 p1x1 p0x0 0.

Из коэффициентов pi ii 0n 1 составим вектор p pn 1 pn 2 p1 p0 T ,

а из векторов xi ii 0n 1 матрицу

Xxn 1 | xn 2 | | x1 | x0 .

Врезультате получена СЛАУ относительно вектора неизвестных коэффициентов характеристического полинома

Xp xn

Решая эту СЛАУ, получим характеристический полином, корни которого есть собственные значения матрицы.