6.5. Решение транспортной задачи с открытой моделью

_{Решение транспортной задачи рассмотрим для случая, когда:}

.

Пример 28. В трех хранилищах А₁, А₂, А₃ имеется соответственно 70, 80, 50 т. топлива. Требуется спланировать перевозку топлива четырем потребителям В₁, В₂, В₃, В_4, спрос которых равен 50, 70, 40 и 40 т. так, чтобы затраты на транспортировку были минимальны. Стоимость перевозки 1 т указана в табл. 36.

Таблица 36

Хранилища	Потребители				Запас топлива
	В1	В2	В3	В4
	Стоимость перевозки 1 т. в тыс. руб.
А1	5	2	3	6	70
А2	4	3	5	7	90
А3	2	4	1	5	50
Потребность в топливе, т	50	70	40	40	210 >200

Решение.

Поскольку запасы топлива в хранилищах больше спроса потребителей, вводим фиктивного потребителя В₅, спрос которого:

а затраты на перевозку для фиктивного потребителя с_i5 = 0 ( ).

П

Таблица 37

осле введения фиктивного потребителя открытая модель транспортной задачи ста­новится закрытой и распределительная табл. 37 примет вид:

	В1	В2	В3	В4	В5	аi	Ui
А1						70	0
А2						90	1
А3						50	-1
bj	50	70	40	40	10	210 = 210
Vj	3	2	2	6	0

Исходный опорный план получим по методу минимального элемента.

Проверяем m + n – 1 = 3 + 5 – 1 = 7 = 7 выполняется. Определяем потен­циалы занятых клеток и находим оценки свободных клеток:

S₁₁ = 5 – 3 = 2 > 0; S₁₃ = 3 – 2=1 > 0; S₁₄= 6 – 6 = 0;

S₂₃ = 5 – 3 = 2 > 0; S₂₅ = 0 – 1 = –1 < 0; S₃₂ = 4 – 1 = 3 > 0;

S₃₄ = 5 – 5 = 0; S₃₅ =0 + 1 = 1 > 0;

Только одна оценка S₂₅ < 0; поэтому план перевозки можно улучшить за счет этой клетки (2; 5).

Выделяем для нее цикл: λ = min (10; 10) = 10.

После смещения по циклу 10 т груза получаем новый план перевозок (табл. 38):

Таблица 38

	В1	В2	В3	В4	В5	аi	Ui
А1						70	– 1
А2						90	0
А3						50	– 2
bj	70	40	40	10
Vj	3	3	7	0

Найдем потенциалы занятых клеток, так как их 6, а должно быть 3 + 5 – 1 = 7, то занимаем клетку, например (2; 2). Подсчитываем потенциалы занятых клеток, составив и решив систему.

Находим оценки свободных клеток:

S₁₁ = 5 – 3 = 2 > 0; S₁₃ = 3 – 2 = 1 > 0; S₁₄ = 6 – 6 = 0;

S₁₅ = 0 +1 = 1 > 0; S₂₃ = 5 – 3 = 2 > 0; S₃₂ = 4 – 1 = 3 > 0;

S₃₄ = 5 – 5 = 0; S₃₅ = 0 + 2 = 2 > 0.

Так как все S_ij ≥ 0, то план оптимальный, но таких планов будет бесчисленное множество, т. к. S₁₄ = S₃₄ = 0, и поэтому, за счет загрузки клеток (1; 4) и (3; 4), можно получить новые планы, однако значение целевой функции при этом меняться не будет.

Итак, получили оптимальный план.

Х^*=

min Z = Z(X^*) = 2 · 70 + 4 · 40 + 7 · 40 + 2 · 10 + 1 · 40 = 640 тыс. руб. При этом 10 т. топлива из хранилища А₂ остались нераспределенными.