1 Стр доминирует над 3 стр

3) Проверим игру на наличие седловой точки.

	В1	В2	аi	а = max а ij = 2 β = mini аij = 4 2 ≠ 4 => седловой точки нет, 2 ≤ υ ≤ 4
А1 А2	4 3	2 6	2 1
Βj	4	6

4) Составим задачу линейного программирования

а) для игрока А: min f_(х) = x₁ + x₂ при ограничениях

б) для игрока В: max φ_(y) = У₁ + У₂ при ограничениях

5) Решим графически прямую задачу (рис. 15):

а) Строим область допустимых решений	Рис. 15
l1: 4х1 + 3х2 = 1,
(0; ), ( ; 0),
l2: 2х1 + 6х2 = 1
(0; ), ( ; 0),
б) f0 = 0 , х1 + х2 = 0, х1 = – х2,
в)

г) оптимальное решение получим в точке В.

Решим систему

Тогда

min f = .

Решаем двойственную задачу (рис. 16): строим область решений l1: 4у1 + 2у2 = 1 (0; ), ( ; 0) l2: 3у1 + 6у2 = 1 (0; ), ( ; 0).

Рис. 16

Точка В₁ – оптимальное решение – 9у₁ = = max φ = υ = ден. ед. – цена игры,

Следовательно, игрок А применяет стратегию А₁ с вероятностью , а стратегию А₂ с вероятностью , его выигрыш при этом в среднем составит ден. ед.

Аналогично делаем вывод и для игрока В.

Задание для самостоятельной работы

Решить матричную игру m×n с помощью линейного программирования.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

6. Транспортная задача линейного программирования

6.1. Постановка транспортной задачи и ее математическая модель

Транспортная задача (ТЗ): некоторый однородный продукт сосредо­точен у m поставщиков А₁, А₂, …, А_n в количестве а₁, а₂, …, а_m единиц. Его необходимо доставить n потребителям В₁, В₂, …, Вn, спрос которых выражается величинами b₁, b₂, …, b_n единиц. Известна стоимость с_ij перевозки единицы груза из i-го (i = ) пункта отправления в j-й (j = ) пункт назначения. Требуется составить план перевозок, который полностью удовлетворяет спрос потребителей в грузе, и при этом суммарные транспортные издержки будут минимальными. Для построения математической модели транспортной задачи рассмотрим матрицу.

Х= где х_ij ≥ 0 (i = ) обозначает количество единиц груза, которое необходимо доставить из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Матрицу Х называют матрицей перевозок, где х Удельные транспортные издержки _{(расходы) запишем в форме матрицы С= и называется она} матрицей тарифов. Для наглядности условия транспортной задачи можно записать табл. 29, которая называется распределительной.

Таблица 29

Поставщик	Потребитель				Запас груза аi
	В1	В2	. . .	Вn
	Затраты на перевозку I ед. груза
			. . .
			. . .
			. . .
Потреб­ность в грузе			. . .

Составим математическую модель задачи: цель транспортной задачи – минимизировать общие затраты на перевозки, то есть

^Найти

систему ограничений получаем из следующих условий задачи:

а) все грузы должны быть вывезены, т. е. (эти уравнения получаются из строк таблицы);

_{б) все потребности должны быть удовлетворены, т. е.} (эти уравнения получаются из столбцов).

_{Итак, система ограничений имеет вид:}

План перевозок Х= называется допустимым, если он удовле­творяет системе ограничений транспортной задачи, а допустимый план перевозок, доставляющий минимум целевой функции, называется оптимальным.

Решение транспортной задачи обусловливается следующей теоремой.

Теорема (о существование опорного плана). Для того чтобы транспортная задача имела допустимые (опорные) планы, необходимо и достаточно выполнение равенства .