Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

tr_m_an_ryady

.pdf

Скачиваний:

255

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

382.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Теорема 5.8. (Тейлор). Пусть функция f : (a, b) → IR бесконечно дифференцируема на (a, b) и все ее производные ограничены в совокупности на (a, b), т. е. существует такое конечное число M > 0, что для всех x (a, b) и для всех n IN выполнено |f(n)(x)| ≤ M. Тогда

+∞ f(n)(x0)

(x − x0)n.

x, x0 (a, b) f(x) =

n=0

При выполнении типового расчета студенты могут использовать сле-

дующие разложения:

+∞ xn

1) ex =

, x IR;

n=0

x2n+1

+∞

2) sin x =

(−1)n

(2n + 1)!

, x IR;

n=0

x2n

+∞

3) cos x =

(−1)n

(2n)!

, x IR;

n=0

n+1 xn

+∞

4) ln(1 + x) = (−1)

, −1 < x ≤ 1;

n=1

x2n+1

+∞

5) arctg x =

, −1 < x < 1;

(−1)n

2n + 1

n=0

α(α − 1)

α(α − 1)...(α − (n − 1))

6) (x+1)α = 1+αx+

x2 +...+

xn +...,

−1 < x < 1.

5.6.Типовой расчет по теме “Числовые ряды и их применение” (ТР 2.6)

Студентам выдается индивидуальное задание, имеющее следующий

вид.

ТР 2.6, Вар. 1 а) с точностью ε = 0.001 найти суммы Sk рядов.

+∞

4n + 4

+∞ (1n + 5)n

, S3

+∞

5n + 7

= n=1

4n + 10

, S2

= n=1

(3n

2)!

= n=1

(n2

+ 3)3 .

−

b) Вычислить значение интеграла I с точностью ε = 0.0001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его

почленно

0.80

arctg(x3)

I = Z0

dx.

Пример выполнения ТР 2.6 (Вар. 1). a) с точностью ε = 0.001

найти суммы Sk рядов.

+∞

4n + 4

I. Найти сумму ряда S1 = n=1

4n + 10

1. Проверим сходимость ряда, применив признак Коши. Для этого вы-

числим число K (см. теорему 5.1 )

4n+4

−6

K = lim

lim

1 +

4n + 10

4n+10

n→+∞ s

n→+∞

4n+10

−6n

4n+10

−6n

−6

= lim

1 +

−

= lim

4n+10

= e

−

2 < 1.

→

4n + 10

∞

→ ∞

Следовательно, ряд сходится по признаку Коши.

2. Выберем число q, удовлетворяющее неравенству

e−23

≈ 0.2231 < q < 1,

значит можно взять q = 0.5.

3. Решим неравенство

4n + 4

< 0.5.

(5.5)

4n + 10

4n + 4

Если обозначить yn =

, то можно показать (см. [1] лемма 2.1),

4n + 10

что yn−1 > yn, т. е. монотонное убывание yn. Неравенство (5.5) будем решать простым подбором. При n = 1 имеем

4 + 4	=	4	> 0.5,
4 + 10		7

т. е. n = 1 – неравенству не удовлетворяет. При n = 2 имеем

8 + 4	2	=	2	2	=	4	< 0.5.

8 + 10			3			9

Следовательно, в силу монотонного убывания yn, неравенство справедливо при n ≥ 2. Положим IN = 2;

qm+1

4. Решим неравенство

< ε. Так как q =

, то левая часть нера-

qm+1

− q

венства

. Логарифмируя, получим

1 − q

= log2(1000) ≈ 9.966,

m > log2

т.е. m ≥ 10. Положим m = 10;

4)возьмем n0 = max{N, m} = max{2, 10} = 10. Тогда |S1 − S1,10| < ε. Вычислим непосретственно


		10			4n + 10					n2				1					4	+	22		9	26			16	+
S1,10 = n=1					4n + 10					= 14				+ 18						+	22		+	26				+
		X				4n + 4						8				12					16				20
	24		25		28			36			32	49			36		64				40	81			44	100
+				+					+				+					+					+					≈
+	30			+			34		+		38		+		42			+			46		+		50			≈

≈0.5714 + 0.1975 + 0.0569 + 0.0150 + 0.0038 + 0.0009+ +0.0002 + 0.00005 + 0.00001 + 0.000003 = 0.84590.

+∞

4n + 4

Значит с точностью ε = 0.001 сумма ряда S1 = n=1

4n + 10

≈ 0.846.

II. Найти сумму ряда

+∞

(n + 5)n

−

S2 =

(3n

2)!

n=1

1. Проверим сходимость ряда, применив признак сходимости Далам-

бера. Для этого вычислим число D (см. теорему 5.2 )

D = lim

((n + 1) + 5)n+1

(3n − 2)!

= lim

n + 6

(n + 5)n

n→+∞ (3(n + 1) − 2)!

n→+∞

n + 5 (3n − 1)3n(3n + 1)

= n→+∞

n + 5

lim

1 +

0 = e 0 = 0 < 1.

Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

2.Так как D = 0 возьмем, например, q = 0.5 (D < q < 1).

3.Подберем n удовлетворяющее неравенству


	n + 6		n				n + 6	< 0, 5.

	n + 5				(3n − 1)3n(3n + 1)
При n = 1 сразу получаем		7			7		= 0.34 < 0.5, положим N = 1;
При n = 1 сразу получаем		6		2 · 3			= 0.34 < 0.5, положим N = 1;
		6		2 · 3		· 4

4. Решим неравенство
	(m + 5)m 0.5		(m + 5)m
lm =		=		< 0.001.
	(3m − 2)! 1 − 0.5		(3m − 2)!

Решение ищем простым подбором. Получаем m ≥ 5. Так как

lm	=	1 + m + 5		m	(3m + 1)3m(3m − 1) < 1,

lm+1			1		m + 6

при m ≥ 5, то последовательность lm монотонно убывает и можно положить m = 5;

5. Возьмем n0

= max{N, m} = max{1, 5} = 5. Тогда |S2 − S2,5| < ε.

Вычислим

(n + 5)n

105

−

2)!

= 1!

+ 4! + 7! + 10! + 13! ≈

S2,5 = n=1 (3n

≈ 6 + 2.0417 + 0.1016 + 0.0018 + 0.000016 = 8.14508.

+∞

(n + 5)n

−

2)! ≈ 8.145.

Значит с точностью ε = 0.001 сумма ряда S2 n=1 (3n

III. Найти сумму ряда

+∞

5n + 7

S3 =

(n2 + 3)3

n=1

5x + 7

1. Рассмотрим функцию f(x) =

. Она положительна и убы-

(x2 + 3)3

вает при x ≥ 1.

+∞

(x2 + 3)3

(x2 + 3)3 =

= b→+∞ Z1

≤ b→+∞ Z1

(5x + 7)dx

6x dx

f(x) dx

lim

= 3 b→+∞ −2 (x2 + 3)2 1 =

lim

Ряд сходится по интегральному признаку Коши см. теорему 5.3 .

Здесь и далее используется оценка

+∞

(x2

+ c)d dx ≤ Z

(x2 + c)d ,

ax + b

(a + 1)x

N+1

где a ≥ 0 b ≥ 1, c ≥ 0 и d ≥ 2.

2. Произведем интегральную оценку остатка ряда

+∞

(x2 + 3)3

+∞

(x2 + 3)3 =

|S3 − S3,n| ≤ Zn

f(x) dx =

≤ Zn

(5x + 7)dx

6x dx

= −2 b→+∞

(b2 + 3)2

− (n2 + 3)2

2 (n2

+ 3)2

lim

Найдем наименьшее n IN, при котором

n > s

2 (n2

+ 3)2 < ε = 0.001

− 3

≈ 5.977,

0.002

т. е. n = 6. Вычисляем непосредственно:

	6	5n + 7 12 17 22 27 32 37
	X	5n + 7 12 17 22 27 32 37
	X

S3,6 = n=1 (n2 + 3)3 = 43 + 73 + 123 + 193 + 283 + 393 ≈

≈ 0.1875 + 0.0496 + 0.0127 + 0.0039 + 0.0015 + 0.0006 = 0.25650.

+∞

X 5n + 7

Значит с точностью ε = 0.001 сумма ряда S3 = n=1 (n2 + 3)3 ≈ 0.257.

0.8

b) Вычислить значение интеграла I = Z arctg(x3) dx с точностью x2

ε = 0.0001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно.

1. Разложим функцию arctg(x3) в степенной ряд по степеням x

3		+∞	n (x3)2n+1
		X
arctg(x ) = (−1)				2n + 1			.
		n=0
Тогда		+∞			x6n+1
	arctg(x3)	+∞			x6n+1
		X	(−1)n					(5.6)
	x2	=	(−1)n		2n + 1	.		(5.6)
		n=0

Это разложение верно для x, таких, что −1 < x3 < 1, т. е. для −1 < x < 1, следовательно, степенной ряд (5.6) равномерно сходится в интервале [−r, r] при произвольном r, 0 < r < 1 (например, r = 0.8). В этом интервале равномерной сходимости ряд можно интегрировать почленно. Отсюда

I = +∞	0.8	x6n+1 dx = +∞		0.86n+2
	(−1)n		(−1)n		.
	2n + 1 Z					(5.7)
n=0		n=0 2n + 1 6n + 2
X	0	X

2. Покажем, что ряд (5.7) сходится, используя признак Лейбница (см. теорему 5.4 ). Действительно,

lim an = lim

= 0.

n→∞

n→∞ (2n + 1)(6n + 2)

0.86n+2

Для доказательства неравенства

an+1 < an, n > 0,

(5.8)

0.86x+2

рассмотрим функцию f(x) =

, определенную на [1, +∞),

(2x + 1)(6x + 2)

f(n) = a

[1, +

)

как

n, и докажем, что она убывает при всех

∞

. Так 6x+2

f(x) является произведением положительных функций где f1(x) = 0.8

и f2(x) =

– убывающих на [1, +∞) функций, то f(x) убы-

(2x + 1)(6x + 2)

вает на [1, +∞), т. е. для произвольных x1, x2 [1, +∞), x1

< x2, спра-

ведливо неравенство f(x1) > f(x2). Возьмем x1

= n, x2 = n + 1. Тогда

an = f(x1) > f(x2) = an+1 для всех n > 0 и требуемое неравенство (5.8) установлено.

Ряд (5.7) сходится в силу признака Лейбница.

3. Найдем наименьшее n, при котором верно неравенство

0.86n+2

an = (2n + 1)(6n + 2) < ε = 0.0001.

Решение ищем простым подбором, так как монотонное убывание коэффициентов an доказано (см. неравенство (5.8)). При n = 2 имеем

0, 814

5 · 14

≈ 0, 000628 > 0, 0001,

т. е. n = 2 неравенству не удовлетворяет. При n = 3

0.820

7 · 20

≈ 0.000082 < 0.0001,

т.е. при n = 3 неравенство выполнено.

4.Вычислим непосредственно

S =	+∞	(−1)n	0.86n+2	=	0.82	0.88			+	0.814					0.820
	X				2 −		·				·		−			·		≈
3						3		8 5				14		7			20
	n=0 2n + 1 6n + 2

≈ 0.32 − 0.0069905 + 0.0006283 − 0.00008235 ≈ 0.31356.

0.8

Значит, интеграл Z arctg(x3) dx ≈ 0.31356 с точностью ε = 0.0001. x2

Ответ. a) с точностью ε = 0.001 суммы рядов следующие:

+∞

4n + 4

+∞ (n + 5)n

= n=1

4n + 10

≈ 0.846,

= n=1 (3n − 2)! ≈ 8.145,

∞

5n + 7

≈ 0.257.

= n=1

(n2 + 3)3

0.8

b) с точностью ε = 0.0001 интеграл Z arctg(x3) dx ≈ 0.31356. x2

Список литературы

1.Бондарев А.С., Доценко М.Л., Фролова Е.В. Математический анализ (функции одной вещественной переменной): Учебное пособие / Под ред. А.Л.Белопольского; СпбГЭТУ. СПб., 1998.

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные и интегральные исчисления: Учебник для ВУЗов. - М.: Наука, 2003.

3.Боревич Е.З., Жукова Е.Е., Челкак С.И. Дифференциальное исчисление функций многих вещественных переменных. Учеб. пособие. - СПб : СПбГЭТУ „ ЛЭТИ“, 2001.

4.Бодунов Н.А., Челкак С.И., Чистяков В.М. Комплексные числа. Многочлены. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Учеб. пособие.- СПб : ГЭТУ, 1996.

5.Двайт Г. Д. Таблицы интегралов и другие математические формулы.

-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983.

6.Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979.

ПРИЛОЖЕНИЕ

													x
Таблица значений интегральных синусов Si(x) = Z0														sin t
																	dt..
															t
	.0	.1	.2	.3		.4		.5		.6		.7		.8		.9
0.	0	0.0999	0.1996	0.2985	0.3965		0.4931		0.5881		0.6812		0.7721			0.8605
1.	0.9461	1.0287	1.1080	1.1840	1.2562		1.3247		1.3892		1.4496		1.5058			1.5578
2.	1.6054	1.6487	1.6876	1.7222	1.7525		1.7785		1.8004		1.8182		1.8321			1.8422
3.	1.8487	1.8517	1.8514	1.8481	1.8419		1.8331		1.8219		1.8086		1.7934			1.7765
4.	1.7582	1.7387	1.7184	1.6973	1.6758		1.6541		1.6325		1.6110		1.5900			1.5696
5.	1.5499	1.5313	1.5137	1.4973	1.4823		1.4687		1.4567		1.4462		1.4374			1.4302
6.	1.4247	1.4209	1.4187	1.4182	1.4192		1.4218		1.4258		1.4312		1.4379			1.4457
7.	1.4546	1.4644	1.4751	1.4864	1.4983		1.5107		1.5233		1.5361		1.5489			1.5617
8.	1.5742	1.5864	1.5981	1.6093	1.6198		1.6296		1.6386		1.6467		1.6538			1.6599
9.	1.6650	1.6691	1.6720	1.6739	1.6747		1.6745		1.6732		1.6708		1.6676			1.6634
10.	1.6583	1.6525	1.6460	1.6388	1.6311		1.6229		1.6144		1.6056		1.5965			1.5874
11.	1.5783	1.5693	1.5604	1.5518	1.5436		1.5357		1.5284		1.5215		1.5153			1.5098
12.	1.5050	1.5009	1.4975	1.4950	1.4933		1.4923		1.4922		1.4929		1.4943			1.4965
13.	1.4994	1.5029	1.5071	1.5119	1.5172		1.5229		1.5290		1.5355		1.5422			1.5492
14.	1.5562	1.5633	1.5704	1.5773	1.5841		1.5907		1.5970		1.6030		1.6085			1.6136
15.	1.6182	1.6223	1.6257	1.6286	1.6309		1.6326		1.6336		1.6340		1.6337			1.6328
														+∞
Таблица значений интегральных косинусов Ci(x) = − Zx																cos t		dt

																	t
	.0	.1	.2		.3		.4		.5		.6		.7			.8		.9
0.		-1.7279	-1.0422	-0.6492		-0.3788		-0.1778		-0.0223		0.1005			0.1983			0.2761
1.	0.3374	0.3849	0.4205	0.4457		0.4620		0.4704		0.4717		0.4670			0.4568			0.4419
2.	0.4230	0.4005	0.3751	0.3472		0.3173		0.2859		0.2533		0.2201			0.1865			0.1529
3.	0.1196	0.0870	0.0553	0.0247		-0.0045		-0.0321		-0.0580		-0.0819		-0.1038				-0.1235
4.	-0.1410	-0.1562	-0.1690	-0.1795		-0.1877		-0.1935		-0.1970		-0.1984		-0.1976				-0.1948
5.	-0.1900	-0.1835	-0.1753	-0.1655		-0.1544		-0.1421		-0.1287 -0.1144 -0.0994								-0.0839
6.	-0.0681	-0.0520	-0.0359	-0.0199		-0.0042		0.0111		0.0258		0.0399			0.0531			0.0654
7.	0.0767	0.0869	0.0960	0.1038		0.1104		0.1156		0.1196		0.1222			0.1236			0.1236
8.	0.1224	0.1200	0.1164	0.1118		0.1061		0.0994		0.0919		0.0837			0.0748			0.0653
9.	0.0553	0.0451	0.0346	0.0239		0.0133		0.0027		-0.0077		-0.0178		-0.0275				-0.0368
10.	-0.0455	-0.0535	-0.0609	-0.0675		-0.0733		-0.0783		-0.0824		-0.0855		-0.0878				-0.0891
11.	-0.0896	-0.0891	-0.0877	-0.0855		-0.0824		-0.0786		-0.0740		-0.0688		-0.0630				-0.0566
12.	-0.0498	-0.0426	-0.0350	-0.0273		-0.0194		-0.0114		-0.0034		0.0044			0.0121			0.0196
13.	0.0268	0.0335	0.0399	0.0457		0.0510		0.0558		0.0598		0.0633			0.0660			0.0681
14.	0.0694	0.0700	0.0699	0.0691		0.0677		0.0655		0.0628		0.0594			0.0555			0.0511
15.	0.0463	0.0410	0.0354	0.0295		0.0234		0.0172		0.0108		0.0045		-0.0019				-0.0081

Таблица значений интеграла вероятностей Φ(x))

	.0	.1	.2	.3	.4	.5	.6	.7	.8	.9
0.	0	0.1125	0.2227	0.3286	0.4284	0.5205	0.6039	0.6778	0.7421	0.7969
1.	0.8427	0.8802	0.9103	0.9340	0.9523	0.9661	0.9763	0.9838	0.9891	0.9928
2.	0.9953	0.9970	0.9981	0.9989	0.9993	0.9996	0.9998	0.9999	0.9999	1.0000

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Построение графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Точки разрыва функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.3. Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4. Монотонность и экстремумы функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5. Выпуклость функции. Тоски перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6. Алгоритм половинного деления (бисекций) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7. Типовой расчет по теме „Построение графика функции“ (ТР 2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 2.1. Многочлены и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Рациональные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4. Типовой расчет по теме „Интегрирование рациональных дробей“ (ТР 2.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. Приближенное вычисление интеграла.

Специальные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 3.1 Формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Интеграл вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 3.3 Интегральный синус и интегральный косинус . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Типовой расчет по теме „Формула трапеций и применение специальных функций“ (ТР 2.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 4. Функции двух вещественных переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 4.1. Функции двух вещественных переменных, непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2. Частные производные функции двух вещественных

переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3. Локальные экстремумы функций двух вещественных переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4. Типовой расчет по теме „Экстремумы функций двух переменных“ (ТР 2.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 5. Числовые ряды и их применение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 5.1. Понятие числового ряда. Сходимость ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 5.2. Признаки сходимости числовых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3. Вычисление суммы ряда с заданной точностью . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.4. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.5. Разложение функций в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.6. Типовой расчет по теме „Числовые ряды и их применение“ (ТР2.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.09.20192.64 Mб1566tpr-crib-01-42.doc
#
26.08.20194.65 Mб12TPR_II.doc
#
09.02.201535.24 Кб23TR 2.6 var 19.docx
#
24.08.2019442.88 Кб16Trebovania-mini.doc
#
05.09.2019459.34 Кб12TRPO_total.docx
#
09.02.2015382.38 Кб255tr_m_an_ryady.pdf
#
16.04.2019495.1 Кб5tyapr_answers.doc
#
09.02.20151.69 Mб921Uchebnik_nemetskogo.pdf
#
10.11.2019435.2 Кб2Uchebnoe_posobie_po_EP.doc
#
12.09.20191.55 Mб11unikalnaya_shpora_po_matanu_vtoroy_sem..doc
#
17.12.2018573.44 Кб9Untitled.doc