Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

TR 2.6 var 19

.docx
Скачиваний:
23
Добавлен:
09.02.2015
Размер:
35.24 Кб
Скачать

ТР 2.6 Вариант 19

а) С точностью ε=0,001 найти суммы Sk рядов.

б) вычислить значение интеграла I с точностью ε=0,0001, разложить подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно

1. Найти сумму ряда с точностью ε=0,001

Проверим сходимость ряда по признаку Коши. Для этого вычислим число K

Следовательно, ряд сходится по признаку Коши

Выберем число q, удовлетворяющее неравенству:

Значит можно взять q = 0,5

Решим неравенство:

Если обозначить , то можно показать, что yn-1 > yn т.е yn монотонно убывает. Неравенство будем решать простым подбором. При n = 1 имеем:

Т.е. и в силу монотонного убывания yn неравенство справедливо при n≥1. Положим N=1.

Решим неравенство . Так как q=1/2, то левая часть неравенства . Логарифмируя, получим:

Выберем m=10

Возьмем n0 = max{N,m} = max{1,10} =10. Тогда |S1 S1(10)| < ε. Вычислим непосредственно:

Значит с точностью ε=0,001 сумма ряда

2. Найти сумму ряда с точностью ε=0,001

Проверим сходимость ряда по признаку Даламбера. Для этого вычислим число D

Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера

Выберем число q, удовлетворяющее неравенству:

Значит можно взять q = 0,5

Подберем n удовлетворяющее неравенству:

При n=1:

Т.е. и в силу монотонного убывания неравенство справедливо при n≥1. Положим N=1.

Решим неравенство

Решение найдем простым подбором. Получаем m ≥ 9

Выберем m=9

Возьмем n0 = max{N,m} = max{1,9} =9. Тогда |S2 S2(9)| < ε. Вычислим непосредственно:

Значит с точностью ε=0,001 сумма ряда

3. Найти сумму ряда с точностью ε=0,001

Рассмотрим функцию . Она положительна и убывает при x ≥ 1. Тогда:

Следовательно, ряд сходится по интегральному признаку Коши

Здесь и далее используется оценка:

Где a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 0, d ≥ 2

Произведем интегральную оценку остатка ряда

Найдем наименьшее , при котором

Т.е. n = 6. Тогда |S3 S3(6)| < ε. Вычислим непосредственно:

Значит с точностью ε=0,001 сумма ряда

4. Вычислить значение интеграла I с точностью ε=0,0001, разложить подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно

Разложим функции и в степенной ряд по степеням x:

Тогда

Это разложение верно для x, таких что т.е. , следовательно степенной ряд равномерно сходится на отрезке [-,]. На отрезке равномерной сходимости ряд можно интегрировать почленно. Отсюда:

Где обозначено

Покажем, что ряд C(n) сходится, используя признак Лейбница:

Для доказательства неравенства an+1 > an при n ≥ 1, рассмотрим функцию:

определенную на [1, +∞), f(n) = an и докажем, что она убывает при всех x [1, +∞)

Так как функция f(x) является произведением положительных функций f1(x)= и f2(x)=, которые убывают на [1, +∞), то убывает на [1, +∞), т.е. для произвольных x1 и x2 [1, +∞), x1 < x2 справедливо равенство f(x1) > f(x2). Пусть x1=n и x2=n+1. Тогда an = f(x1) > f(x2) = an+1 для всех n>0 и требуемое неравенство установлено.

Ряд сходится в силу признака Лейбница.

Найдем наименьшее n при котором верно неравенство

Решение ищем простым перебором. При n=4 неравенство выполнено.

Вычислим непосредственно:

Аналогично находим:

Тогда интеграл

Значит интеграл с точностью

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]