TR 2.6 var 19
.docxТР 2.6 Вариант 19
а) С точностью ε=0,001 найти суммы Sk рядов.
б) вычислить значение интеграла I с точностью ε=0,0001, разложить подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно
1. Найти сумму ряда с точностью ε=0,001
Проверим сходимость ряда по признаку Коши. Для этого вычислим число K
Следовательно, ряд сходится по признаку Коши
Выберем число q, удовлетворяющее неравенству:
Значит можно взять q = 0,5
Решим неравенство:
Если обозначить , то можно показать, что yn-1 > yn т.е yn монотонно убывает. Неравенство будем решать простым подбором. При n = 1 имеем:
Т.е. и в силу монотонного убывания yn неравенство справедливо при n≥1. Положим N=1.
Решим неравенство . Так как q=1/2, то левая часть неравенства . Логарифмируя, получим:
Выберем m=10
Возьмем n0 = max{N,m} = max{1,10} =10. Тогда |S1 – S1(10)| < ε. Вычислим непосредственно:
Значит с точностью ε=0,001 сумма ряда
2. Найти сумму ряда с точностью ε=0,001
Проверим сходимость ряда по признаку Даламбера. Для этого вычислим число D
Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера
Выберем число q, удовлетворяющее неравенству:
Значит можно взять q = 0,5
Подберем n удовлетворяющее неравенству:
При n=1:
Т.е. и в силу монотонного убывания неравенство справедливо при n≥1. Положим N=1.
Решим неравенство
Решение найдем простым подбором. Получаем m ≥ 9
Выберем m=9
Возьмем n0 = max{N,m} = max{1,9} =9. Тогда |S2 – S2(9)| < ε. Вычислим непосредственно:
Значит с точностью ε=0,001 сумма ряда
3. Найти сумму ряда с точностью ε=0,001
Рассмотрим функцию . Она положительна и убывает при x ≥ 1. Тогда:
Следовательно, ряд сходится по интегральному признаку Коши
Здесь и далее используется оценка:
Где a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 0, d ≥ 2
Произведем интегральную оценку остатка ряда
Найдем наименьшее , при котором
Т.е. n = 6. Тогда |S3 – S3(6)| < ε. Вычислим непосредственно:
Значит с точностью ε=0,001 сумма ряда
4. Вычислить значение интеграла I с точностью ε=0,0001, разложить подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно
Разложим функции и в степенной ряд по степеням x:
Тогда
Это разложение верно для x, таких что т.е. , следовательно степенной ряд равномерно сходится на отрезке [-,]. На отрезке равномерной сходимости ряд можно интегрировать почленно. Отсюда:
Где обозначено
Покажем, что ряд C(n) сходится, используя признак Лейбница:
Для доказательства неравенства an+1 > an при n ≥ 1, рассмотрим функцию:
определенную на [1, +∞), f(n) = an и докажем, что она убывает при всех x [1, +∞)
Так как функция f(x) является произведением положительных функций f1(x)= и f2(x)=, которые убывают на [1, +∞), то убывает на [1, +∞), т.е. для произвольных x1 и x2 [1, +∞), x1 < x2 справедливо равенство f(x1) > f(x2). Пусть x1=n и x2=n+1. Тогда an = f(x1) > f(x2) = an+1 для всех n>0 и требуемое неравенство установлено.
Ряд сходится в силу признака Лейбница.
Найдем наименьшее n при котором верно неравенство
Решение ищем простым перебором. При n=4 неравенство выполнено.
Вычислим непосредственно:
Аналогично находим:
Тогда интеграл
Значит интеграл с точностью