490
.pdfМіністерство транспорту України Дніпропетровський державний технічний універсітст залізничного транспорту
Кафедра вищої математики
Методичні вказівки і контрольні завдання
Частина VII
Для студентів другого курсу факультету безвідривної підгстовки
Ю.П. Чибаиюв
0.Е. І.1ьчук
Ю.Р. Бредіхін
Є.П. Крищко
Дніпропетровськ
1997
|
|
Додаток J |
|
В |
геометрії |
1 |
fJ da= Jf dxdy = fJ fXlfXlrp |
Площа оо.юсті Д. |
о[;
2 |
Jf |
f(x,J~da= Jf f(ч'ldxdy, гдеj(х,;'l >О |
Оо см цu.1ін(Jрично,•о тіла |
|
|
|
|
,·1 |
[J |
|
|
|
|
3 |
|
Jf-v1+ J;'(x,y)+ !/'rx,y)dxdy |
Площа частини 1106ерхні z = f(x,J'l, |
я1'а |
|
|
|
має проею1ію на п10щuну ХОУ |
|
|
|||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В фізиці (якщо cr - матеріа.11ьна п:JЗстина з 1-устиною р(х,у) ) |
|
І |
||
1 |
|
т = Jfp( х,у)dхф· |
Л1аса пластини а |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
S, = Jfyp(x,y)dxdy |
Статичні люменти пластини cr відносно |
|
||
2 |
|
а |
|
|
||
|
s_, = Jfxp( x,y)dxdy |
вісейОХ, ОУ |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
а |
|
|
|
|
3 |
|
хс = s_, ; |
s |
Координати центра _,щси пластини |
|
|
|
У~=____.:!._ |
відносно вісей ОХ, ОУ |
|
|
||
|
|
т |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
І,= Jfy'p(x,y}dxdy |
|
|
І |
|
|
|
и |
|
Мол1енти інерції 1иасти11и авідносно |
||
І 4 |
|
а |
|
|
||
І |
|
I.r = Jfx' р(x,y)dxdy |
віссй ОХ, ОУ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
Io=Ix+f,. |
Л1оменти інерціі п'щстини а-сіднос110 |
|
||
|
початку ~·оордшют |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Потрійний інтеграл
Обчис.1ення потрійного інтсгра.1)' зводиться до пос:JіJІовного трьохкратного інтегрування по кожній із змінних x,y,z , віл яких залежить підінтегральна функuія . В декартовій системі коор;шнат справедливий запис :
ь |
f 2 f х} |
f!J 1 |
(x,y) |
Ш f(x,y,z) d~· = J |
{ J f |
|
Jf (x,y,z)dz 1dy }dx |
,. |
|
|
|
В запису є такі позначення : |
z = rp1(X,J~ та z = fJJ2(x,y) - рівняння поверхні, ЯІ<а обмежує |
||
прави.1hну область J? знизу і зверху. Лініїу =f1 (х) .та у =f2 (х) . х =а , x=h обмежують об.1а.сть Д, яка є проекuісю області V на плошину ХОУ.
Тобто. щоб обчислити потрійний інтеграл в декартових коорJІияатах,потрібно проінтегрувати фувкuіі/ (х,у,;:) по всіх змінних .В приведеному випадку обч11с:1юсться ІJН)трішний інтеграл по змінній z . потім середній по змінній у , а потім зошrішний no змінній х. Границі в зовнішнім і середнім інтегра:шх розглядаються по п:юскій е>о.1асті (Д). яка r проекнісю просторової oG:iacтi \І·') на одну із площин координат .
ІJ(об визначити 1-рюшuі інтегрування у внутрішньо'І1у інтег-ра:1і достатньо через точку об.1асті <).() нровести перпендикулярно до неї пряму і знайти тС1чки перетину
її з поверхнями, які обмежують (І') . Лотrійний інтеграл використовусться д:rя розв· язку геометричних і фізичних задач за допомогою співвідношею" які зведені в додо.ток :2.
б
і
! 1
І
І2
3
4
5
6
fJJdv
,.
В фізиці (якщо V-
m= JJJp(x,y)dV
|
Додаток 2 |
|
в геометрії |
|
|
--- ] |
|
----------j |
|
06 'r:м. об,юсті~,'_ |
І |
і |
І |
|
! |
|
|
матеріальне тіло |
з rустиною p(x,y,i:)) |
|
Маса тіла V
V
S-<> = |
fJfzp(x,y,z)dV |
|
|
|
|
,, |
|
|
|
S,,, = Jffxp(x,y,z)dV |
|
Статичні моменти тіла відносно площин |
||
|
V |
|
|
ХОУ, YOZ,XOZ |
Sx:. = |
Jf Jyp(x,y,z)dV |
|
|
|
|
,, |
|
|
|
s,,, |
s'" |
|
s |
Координати центра маси тіла V |
z, |
=_:r.. |
|||
Хс=-,' |
}'с = - ; |
т |
|
|
т |
т |
|
|
|
/-<> = |
JJJz2 р(х,у)df-' |
|
|
|
|
,, |
|
|
|
І,,,= JfJx 2 р(x,y)dV |
|
}dоменти інерції тіла V відносно площин |
||
|
,. |
|
|
ХОУ, YOZ, XOZ |
І"= JfJy 2 p(x,y)dV |
|
|
|
,. |
|
|
|
rи=lxy+ lxz |
1..!оменти інерції тіла V |
віднос110 вісей |
|
lyy= !ху+ lyz |
|||
ОХ, OY,OZ |
|||
/"=І".+ lxz |
|||
|
|
||
Іо=Іху |
+ lyz +І_" |
Мо,чеити інерції тіла V |
|
віднос110 початку координат |
|||
|
|
||
|
|
Криволінійний інтеrраJІ |
Криво,1інійний інтеграл по координатам: (друтого роду) обчислюють шляхом йОІ"о зведення до означеного інтегра.:rу. Якщо лінія задана рівнянням у=f (х) , відомі точки А (х, ,у,) ,В (х, ,у,), то криволінійний інтеграл по L =АВ знаходнть за формулою :
JР(х,у)dx + Q (х,у)dy = xJ f Р(xJ (х) + Q (xJ(x)) f' (х)/ dx
L |
~ |
Ввипадку параметричного завдання шляху інтt:грування ,тобто
х=х (t) ,у= у (t), t, < t < t, .то:
JР(х,;) dx + Q (х,у) = 'J {Р(х(t) ,у(t) х'(t) + Q (х(t) ,у(t)) у'(t) } dt
І. |
с1 |
Криволінійний інтеграл , як і всі інші 03нttчені інтеграли .використовують д.'lя обчислення
слід)1очих п'ометричних і фізичних ве,1ичин .
1. Довжина д)ТИ АВ п.:-~оскої та просторової лінії: L = JdL.
АВ
7
;!\ z
в
с |
}' 1' |
а |
дч' t z |
б |
о |
Дху~~- v2 · 1 2 }' |
|||
|
|
|
|
|
х/ |
|
|
Рис. 8 |
|
Рис.-; |
|
|
|
|
2. Змінити поря.:юк інrсгрунання в подвійному інтегга,1і.
1 "_"
а) ftix fлx.yJdy
.\'+2
J |
о |
2 |
о |
Ь) fra .[!rx,y)dy+ ftix ff(x,y}'ly
-....-2-:;
За.1ача по за,чіні порядку іfпеrрування 1юдягас в тім, щоб змінити 1юрядок змінних інт~грування .Розв'язок такої задачі нроводять за такою схемою :
1)згідно заданому подвійно'\\у інтегга,ту виписуємо рінняння :1іпій. які обмеж;10ть об.1асть Д інтеггушшня :
2)будуємо на а.1оuшні обла<:ть інтегрування;
3)перевіряємо обла<:ть Дна стандартність в НЗЛ]Ж'\\КУ ;\р)ТОЇ змінної :
4)записуємо повторний інтегра.1 нже з іншим nорядком інтеrрування.
Розв'язок
а) !Jo залано~1у подRійно11-1у інтегралу зюшсуємо рівняння 1раниць. які обмежують об.1асть
Д:
Д: X=O;X=l;Y=X2 +2;J.=4-X.
Накреслим ui .1інїї в 11.1ошині ХОУ і
Рис. 9
,11 { 2<у<3: О<.х< ·1, у - 2
ві,~мітимо об.1асть.J (0<.\<1; XJ+2<Y<4-
X) .(рис. 9). !нтегра,1 треба записати у
вигляді: J~1· Jj( x,y)dx. Тому
перевірясмо 06.1асть Дна стандартнісп, у напрямку осі ОХ. Об:~асть Д в па11рямку осі ОХ нестав;~артна. тому що обмежена дініями АН і ВС. які описані різвнмн
хрів11янням11 ~ ш,оп1 приводу облJстьД
ро·161ш<кмо HJ ;~ві стандартні 06:1асті ,.11 і Jc ІJрЯ\ЮЮ у= 3 .
Об.1ас гі ;11 і Д: обме)І(СНІ :
) ; Д:: { 3<у<4; О<х< 4 -у/;
10