lection_part1-2

G = 6,6745 10−11 Нкгм2 .

Обосновать математически и физически II и III законы Кеплера

можно. Если рассматривать материальную точку массы m (рис. 5.2), движущуюся по эллипсу со скоростью v , то ее радиус-вектор r за время dt описывает площадь dS (бесконечно малый треугольник FKP), причем

т.е. всегда направлена к центру (полюсу) силы (в данном случае – к Солнцу как к центру тяготения, см. рис. 5.2), то по определению

51

Так как m=const при нерелятивистском (v<<c, с – скорость света в вакууме) движении, то и секториальная скорость, определяемая по формуле (5.3), также является константой. Это доказывает II закон Кеплера. Период обращения Т=площадь/S'=const, тогда r3/T2=const. Это доказывает III закон Кеплера.

Для описания взаимодействия тел на расстоянии (концепция близ-

кодействия: все взаимодействия в природе характеризуются конечной скоростью передачи) пользуются понятием силового поля, т.е. считают, что тело изменяет свойства окружающего его пространства, а другое тело это «чувствует». Полю приписывается роль передатчика взаимодействия, энергии, его считают одной из форм существования материи (по-

казанная А.Эйнштейном (1879–1955) в его теории относительности взаимосвязь массы и энергии (E=mc2) позволяет это утверждать).

Попытки создать единую теорию поля, объясняющую все извест-

ные явления с единой точки зрения, пока не увенчались успехом.

Поле называется силовым, если в каждой точке рассматриваемого

пространства определен вектор F силы любой природы происхождения.

Силовое поле (СП) называется однородным, если в любой его точке на тело действует одинаковая по модулю и направлению сила (любое поле в малой окрестности тела (точки) можно считать однородным).

Силовое поле называется центральным, если на тело, помещенное в поле, действует сила, всегда направленная вдоль луча, соединяющего тело (точку) и центр СП (полюс), а величина силы зависит только от расстояния от тела до центра поля. Примером такого поля может служить гравитационное поле, так как сила тяготения, согласно закону всемирного тяготения (И.Ньютон, 1687г., труд «Математические начала натуральной философии») равна

где (сравните с выводом формулы (5.2)) r – расстояние между центрами взаимодействующих тел массами m и M.

Сравните формулу (5.4) с выводом формулы (5.2). Данная форма записи свидетельствует о том, что взаимодействие происходит мгновенно, это в действительности не так, что отмечалось еще А.Эйнштейном. Согласно А.Эйнштейну, даже световой луч (электромагнитная волна (ЭМВ)) имеет массу, т.к. обладает энергией, и, следовательно, должен быть подвержен тяготению.

52

Силовой характеристикой любого силового поля является на-

пряженность. Для гравитационного поля напряженность определяется по формуле

щую со стороны поля на любое другое тело: F1 = gr m1 . На поверхности

форму слегка сплюснутого у полюсов шара, то эта величина изменяется (от 9,78 – на экваторе до 9,832 – на полюсах) в зависимости от места определения на планете (расстояния до центра планеты в этом месте).

Энергетической характеристикой силового поля является ска-

лярная величина потенциал – потенциальная энергия, которой в данной точке поля будет обладать тело единичной массы:

С учетом формул (3.4), (3.6/) можно записать U = −G mMr +const ,

тогда:

обозначается ( ) (набла) и называется оператором Гамильтона или наблаоператоромr;

ir, rj, k – единичные векторы координатных осей (орты).

Градиент всегда направлен в сторону максимального возрастания функции, в данном случае g , поэтому вектор напряженности в каждой

точке перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям (состоя-

щим из точек равного потенциала).

Силовое поле называется стационарным, если его характеристики неизменны во времени. Для удобного, наглядного представления силовое поле графически изображают с помощью силовых линий – линий, каса-

53

тельные, в каждой точке которых совпадает по направлению с результирующим вектором напряженности. Расстояние между линиями характеризует «мощь» поля: там, где линии гуще – поле сильнее, наоборот – слабее. Удобство этого способа связано с необходимостью рассматривать поля, создаваемые несколькими источниками (рассматривать несколько полюсов – центров поля, например, планет или звезд). При этом результирующая напряженность в каждой точке находится как векторная сумма напряженностей в этой точке каждого из полей, как если бы других полей не существовало

(принцип наложения или суперпозиции полей):

бумага будет испещрена векторами, т.е. получаемое изображение не наглядно, проведя же заранее расчет по формуле (5.9) можно наглядно представить результирующее поле в виде силовых линий.

Рис. 5.3

Гравитационное поле является потенциальным, т.е. его работа на замкнутом участке пути равна нулю:

L

54

Найдем работу силы тяжести при выполнении самолетом замкнутой фигуры пилотажа (рис. 5.3). Будем считать, что высота подъема над поверхностью Земли мала по сравнению с радиусом Земли, т.е. сила тяжести, как центральная сила, в любой точке траектории будет направлена к центру Земли (вниз), постоянна и равна mg (см. (3.2)).

При движении самолета работа совершается лишь на вертикальных участках траектории ( r 1, r 2, т.д.), на горизонтальных же участках ( r 1, r 2, т.д.) перемещение перпендикулярно линии действия силы и сила тяжести работы не совершает (3.1). Таким образом, работа силы тяжести определяется лишь разностью ∆h высот в точках Н и О.

При подъеме самолета S из нижней точки О в верхнюю точку Н траектории направления действия силы и перемещения противоположны (работа отрицательна: –mg∆h), а при последующем спуске совпадают (работа положительна: +mg∆h), т.е. сумма этих работ дает нуль.

Подобно приведенным выше рассуждениям и рассмотрению формулы (3.6) находится работа переменной силы тяжести при удалении ракеты на расстояние h от центра Земли сравнимое с радиусом Земли, с учетом того, что сила и перемещение противонаправлены. При этом разбивку траектории на точки проводят так, чтобы точки 1 и 2, 2 и 3, т.д. лежали как можно ближе одна к другой, тогда в этих промежутках движения силу тяготения можно считать постоянной (далее см. определение работы согласно формуле (3.6)).

5.2. Космические скорости (первая – четвертая)

Полная энергия тела в поле гравитационных сил определяется по формуле:

55

Перейдем от декартовых (x,y,z) к полярным координатам (r, ϕ) в формуле (5.12) для материальной точки массы m, движущейся со скоростью v в гравитационном поле (рис. 5.4).

Уравнение (5.14) содержит первые производные по времени, поэтому легче разрешимы, чем уравнения, получаемые из II закона Ньютона со вторыми производными. Интегрируя формулу (5.14) можно найти r(t) и ϕ(t), т.е. определить траекторию и характер движения частицы. Решение формул (5.14) громоздко (и выходит за рамки этого курса), поэтому обсудим лишь результат решения (рис. 5.5).

E>0 E=0

E<0

F1 F2

Рис. 5.5

Траектория частицы представляет собой коническое сечение (эллипс, парабола, гипербола). В случае финитного (в определенной области пространства) движения тела, траектория движения – эллипс и преобладают силы притяжения (Е<0). В случае удаления тела в бесконечность (инфи-

56

нитное движение) возможные траектории – парабола (Е=0) и гипербола (E>0) – преобладают силы отталкивания.

Принимая в первом приближении орбиту тела за круговую с уче-

том формул (5.4), (5.5), получают для тела массы m:

рость – скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало искусст-

венным спутником Земли.

При параболическом движении (Е=0) из формулы (5.12) имеют для Земли: vп = 2g0RЗемли ≈11,2 км/с– вторая космическая скорость –

скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Солнца. При сообщении телу третьей космической скоро-

сти νг оно, тело, без действия дополнительных сил преодолеет притяжение Земли и Солнца и покинет пределы Солнечной системы (по гиперболе).

Так как скорость Земли на орбите при движении вокруг Солнца ≈29,8 км/с, чтобы тело покинуло Солнечную систему, ему нужна скорость vг min ≈ 2 29,8км/ c ≈ 42,1км/ с, реально же еще большая, т.к. необходимо преодолеть земное притяжение. Причем эта скорость минимальна, если ориентирована по направлению орбитального движения Земли, и максимальна – если противонаправлена. Также необходим учет положения Земли на орбите (дальняя ли точка от Солнца – перигелий (П, см. рис. 5.1), ближайшая ли – афелий (А), положение других планет и звезд):

νг≈16,7÷72,7 км/с. Четвертой космической скоростью называется ско-

рость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно упало в заданной точке Солнца (ν4≈29,2÷31,8 км/с) или чтобы тело покинуло нашу Галактику (Млечный Путь) и ушло во Вселенную (тогда ν4≥285 км/с).

5.3. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции. Вес тела и невесомость

Как известноr , в ИСО выполняются законы Ньютона и форма за-

писи II закона – F = mar . Найдем теперь форму записи для неинерциальной

57

системы отсчёта (неИСО), т.е. СО, движущейся относительно любой ИСО с ускорением. Ограничимся при этом нерелятивистским рассмотрением (m=const при v<<c, с – скорость света в вакууме).

Пусть относительно неподвижной СО S с началом отсчета в точке О тело (масса m) движется с ускорением a , а относительно движущейся поступательно с ускорением ar СО S1 с началом отсчета в точке О1 тело покоится (рис. 5.6). Тогда в любой момент времени получаем выражение rr = rr1 + rr0 , дифференцируя которое по времени, получают:

Величины, характеризующие движение тела относительно неподвижной СО, называются абсолютными (ν , а), относительно движущейся

СО – относительными (νr1, аr1 ), а характеризующие движение систем друг относительно друга – переносными (ν0 , а0 ).

Подставляя формулу (5.17) во II закон Ньютона, получаем:

только от разностей скоростей и координат, и в нерелятивистской механике ее форма записи не изменяется (инвариантна) при переходе от одной СО кrдругой (это сила в том смысле, в котором мы к ней привыкли). Слагаемое

Fu = −mar0 – называется поступательной силой инерции, она возникает не из-за взаимодействия тел, а из-за ускоренного движения СО (существует

58

также разновидность – центробежная сила (инерции при вращательномr

движении)). В общем случае для силы инерции, в отличие от F по III закону Ньютона, не существует равной ей по модулю силы противодействия, приложенной к другому телу. Она всегда направлена противоположно ускорению и является внешней силой для любой СО. Запись силы инерции не инвариантна относительно перехода от одной СО к другой.

Многие практические задачи решаются проще при рассмотрении сил инерции, при этом с точки зрения ньютоновской механики эти силы не являются силами в привычном смысле этого слова, т.е. они фиктивны. С другой стороны, их можно представлять как действие на тела каких-то силовых полей и реально использовать это на практике. Часто при рассмотрении задач трудно разделить результирующую силу на силу инерции и «ньютоновскую» силу.

Пример. Рассмотрим силу инерции, действующую на тело, покоящееся в движущейся поступательно СО: поезд в метро разгоняется на горизонтальном участке с ускорением а=5 м/с2. Кота, оказавшегося в поезде, согнали с места, и он остался сидеть, прислонившись спиной к стенке, с обиженным выражением глядя по направлению движения (рис.5.7). Какова перегрузка кота, находящегося в поезде?

Решение. Перегрузкой называется отношение силы F, действующей на кота, к силе

тяжести Р=mg. Кот в неИСОr , связанной с поездом, покоится, а в ИСО относительно земли движется с ускорением аr. Противоположно направлению движения (ускорению) на кота

действует сила инерции Fu = −mar, вжимающая кота в стенку, ее компенсирует сила реак-

цииопорыстенки Nr1 = mar0 , действующаянакота. ТогдавпроекцияхII законНьютона:

OX: N1 = ma , OY: N = mg .

Силу инерции, действующую на тело, покоящееся во вращающейся СО (рис. 5.8), называют центробежной (направлена противопо-

59

ложно ускорению). Она направлена противоположно центростреми-

тельной силе, создаваемой натяжением шнура.

Fц Fи mg

Рис. 5.8.

Для шарика II закон Ньютона в проекциях на оси будет иметь вид:

ОХ: Fц=Тsinα=man=-Fu,

где r – расстояние от оси вращения.

Еще одной разновидностью сил инерции является сила Корио-

лиса (1792–1843). Она возникает только тогда, когда СО S1 (рис. 5.6) вращается, а тело движется относительно этой СО. Если рассмотреть движение незакрепленного шарика массы m из центра вращающегося с угловой скоростью ωr диска, то его траектория – кривая 12 (рис. 5.9).

1 2

ω

Рис. 5.9

Если же дать шарику возможность катиться (трением пренебрегаем) из центра прямолинейно по глубокому желобу, вырезанному вдоль одного из радиусов диска, то шарик, отклоняясь влево от направления движения вдоль желоба, будет давить на его стенку с силой Fk (рис. 5.10), названной кориолисовой (уравновешивается силой реакции опоры стенки желоба F ).

60