Частина 1-2

Розділ І. Основні математичні методи в курсі загальної фізики

§ 1.1. Cистеми координат і відліку

У фізиці поняття руху відносне за своєю суттю, тому для його дослідження необхідно задати положення допоміжного тіла - так званого тіла відліку, яке вважають нерухомим, і відносно якого розглядають рух інших тіл. Необхідною умовою математичного опису руху є використання певної системи координат*), яка разом із тілом

---------

*)За еталон одиниц довжини – метра, ХІ Генеральною конференцією з мір та ваги прийнятий відрізок такої довжини, в якій вкладається 1650763 .73 довжин хвиль випромінювання, які відповідають переходу

– це одиниця вимірювання довжини в Міжнародній системі одиниць СІ.

відліку та годинником для вимірювання часу, утворює систему відліку. Наприклад, для вивчення законів руху планет сонячної системи відносно системи Сонце-зорі можна протягом досить довгого проміжку часу систему Сонце-зорі вважати тілом відліку. Тоді, якщо розташувати початок відліку в центрі Сонця і сумістивши напрями декартових осей із напрямами до конкретних зірок, одержимо відому геліоцентричну систему відліку Коперніка.

У фізиці під годинником розуміють систему тіл, в якій протікає певний періодичний процес, період якого використовують для визначення та відтворення одиниці часу.*)

Годинники повинні бути синхронізовані між собою, щоб у довільній точці простору вони в один і той же момент показували один і той же час, тобто величина визначеного часового інтервалу відносно різних рухомих тіл однакова. До появи теорії відносності час сприймався як абсолютне поняття.

Ньютон так писав про час:

“Абсолютний, дійсний і математичний час пливе сам собою і завдяки своїй природі рівномірно і незалежно від будь-яких зовнішніх предметів. Він зіставляється також з терміном тривалість.”

В класичній механіці обмежуються рівномірним плином часу та тривимірним евклідовим**) простором для дослідження фізичних процесів. Однак геодезичні та астрономічні спостереження свідчать, що

евклідовість простору справджується до певних його розмірів і порушується на значних відстанях 1026 м .

На таких великих відстанях з’являється його кривина, яку можна унаочнити як перехід від плоскої до сферичної поверхонь.

---------

*) В 1967 р. Генеральна конференція з мір та ваги дала таке означення секунди:

Cекунда – це проміжок часу, протягом якого відбувається 9192 631 770 коливань електромагнітного випромінювання, яке виникає під час переходу атома цезію-133 між двома енергетичними станами.

**)Евклідовим вважається простір, в якому визначений скалярний добуток векторів. В ньому задовольняється аксіома Евкліда про те, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 1800.

Згідно із Ньютоном:

“Абсолютний простір залишається внаслідок своєї природи і безвідносно до будь-яких зовнішніх

предметів завжди тим самим і нерухомим. Відносний простір є мірою або рухомою частиною абсолютного; він визначається за допомогою наших органів чуття положеннями відносно інших тіл і приймається звичайно за нерухомий простір.” Так Ньютоном через рух встановлює з’вязок між часом і простором:

“Абсолютний рух – це переміщення тіл з одного абсолютного місця до іншого абсолютного місця, відносний рух – це переміщення з одноно відносного місця до іншого відносного місця.”

Одновимірний рух. Якщо тіло рухається прямолінійно то досить задати одну вісь координат,

наприклад, X . Така система координат називається одновимірною і складається із: осі*) – прямої, на якій визначений додатний напрям;

початку відліку у вигляді довільної або фіксованої точки О; масштабу – як відрізку одиничної довжини. Інші дві просторові координати при такому русі залишаються незмінними.

2

Рис.1.7.1

Для виконання арифметичних операцій над комплексними числами часто використовують алгебраїчну форму запису. Вона забезпечує одночасно найменші обчислювальні затрати і найбільшу точність. Однак в

цьому підході процедура визначення є складною, оскільки внаслідок періодичності функцій sin і cos

отримують безмежну кількість значень аргументу: 2m . Тому за домовились приймати головне

Встановлення меж для за цією умовою має дві переваги:

аргументи комплексно _ спряжених чисел відрізняються тільки знаком; фізичний зміст _ експериментально знайдена різниця фаз двох коливань однієї частоти теж знаходиться в межах ( , ) .

§ 1.8. Диференціальні рівняння

Для розв’язання багатьох задач науки і техніки потрібні вміння знаходити невідомі функції, що їх описують , якщо задані співвідношення, які встановлюють зв’язок між цими функціями, їхніми похідними та незалежними змінними. Такими співвідношеннями є диференціальні рівняння – як рівності, які пов’язують

якими провадять диференціювання, називаються незалежними змінними, а змінні, від яких узято похідні – їхніми функціями, або залежними змінними. Тому суть розв’язання диференціального рівняння – це його інтегрування, в результаті чого необхідно встановити вигляд функції f ( x) , а не визначити число. Графік

розв’язку визначає інтегральну лінію диференціального рівняння, порядком якого є порядок найстаршої похідної (диференціал), що зустрічається в рівнянні.

У загальному випадку диференціальне рівняння першого порядку записується як

де (x) - деяка задана функція.

В залежності від вигляду правої частини, розв’язок рівняння (1.8.1) може мати принципово різний характер. Наприклад, якщо (x) p f (x) , де p - деяка стала, то проінтегрувавши (1.8.1) одержуємо

із довільним одним множником (сталою інтегрування) C .

Диференціальне рівняння другого порядку записується так:

Розділ ІІ. Кінематика поступального та обертального рухів точки і абсолютно твердого тіла § 2.1. Основні означення і моделі кінематики

9

Кінематика – це розділ фізики, в якому вивчаються закономірності механічного руху не вникаючи в причини, які його викликають. Для неї важливим є поняття про проміжок часу, його початок та довільний момент , безвідносно до сил, які його зумовлюють. Кінематика вивчає просторові, часові та просторово– часові кінематичні характеристики руху. Тому кінематика – це розділ фізики, в якому досліджуються геометричні властивості руху.

Для дослідження використовують різні фізичні моделі, що є спрощеними копіями досліджуваних систем. Такими є, наприклад, в механіці матеріальна точка (м.т.), система матеріальних точок, абсолютно тверде тіло, тощо .

Матеріальною точкою називається геометрична точка, якій приписана певна маса. Це поняття використовують для позначення тіла, розмірами якого за визначених обставин руху можна знехтувати.

Системою матеріальних точок називається така сукупність м.т., положення і рухи яких взаємопов’язані між собою. Окремим їх випадком є абсолютно тверде тіло.

Абсолютно твердим називається тіло, яке складається з системи м.т., що жорстко зв’язані між собою і неперервно заповнюють певну частину простору так, що відстань між будь-якими двома його точками залишається незмінною. При поступальному русі абсолютно твердого тіла всі його точки описують однакові траєкторії, а вектори їх швидкостей і прискорень рівні між собою в кожний момент чи в певному проміжку часу.

Під проміжком часу розуміють перебіг часу між двома фізичними подіями. Моментом часу називають границю між двома суміжними проміжками часу. Його початок – це момент, з якого починається відлік часу

В класичній механіці постулюється наявність системи відліку , відносно якої простір однорідний і ізотропний. Однорідним є також і час, що плине рівномірно і не залежать від фізичних процесів, які протікають у розглядуваній ділянці простору.

Згідно із Ньютоном, під простором розуміють такий геометричний простір, властивості якого не змінюються за наявності в ньому мас, електричних зарядів та інших фізичних агентів.

Цей простір задовольняє геометрії Евкліда, тому називається евклідовим. Еквлідів простір векторний або лінійний, тобто в ньому означено дві операції: додавання і множення, найкоротшою відстанню є пряма, а

квадрат відстані між двома безмежно близькими точками ds2 дорівнює

Укласичній механіці абсолютизується маса, яка вважається незмінною під час руху тіла.

Вкласичній фізиці для опису руху широко використують поняття про траєкторію. В системі

координат час – координата рухомої точки під нею розуміють геометричне місце послідовних її положень,

тобто лінія, яку описує кінець радіус – вектора r (t) точки (рис.2.1.1). В системі просторових координат чи їх похідних відповідна траєкторія називається годографом вектора r (t) .

Траєкторія не залежить від вибору початку відліку системи відліку. В квантовій фізиці поняття про траєкторію руху частинки фізичного змісту не має.

Довжина траєкторії, яку описує м.т. під час свого руху, називається шляхом. Шлях - це величина

скалярна. Вектор r , що сполучає початкове і кінцеве положення точки, називається вектором переміщення. Він з'єднує попереднє і наступне положення точки на траєкторії. Його легко зв'язати із зміною координат точки

з час переміщення, як : r x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .

Описати рух тіла означає, що кожному моменту необхідно співставити значення координат усіх її частин відносно вибраної системи відліку. Найменша кількість параметрів, які повністю визначають положення тіла в просторі, називають кількістю ступенів вільності. Наприклад, положення м.т. в певний момент визначають значення трьох координат x, y, z , тому вона має три ступені вільності. Як переконаємось у

подальшому, саме від цих координат залежить потенціальна енергія одного тіла в полі гравітаційних сил інших. Якщо

Z

r (t1) r (t2)

Рис.2.1.1

10