Частина 1-2
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
dL |
|
|
||||
M |
або |
dL |
M dt |
(4.4.5) |
||
dt |
||||||
|
|
|
|
|
називається законом обертального руху і формулюється він так:
Швидкість зміни моменту імпульсу матеріальної точки дорівнює обертальному моменту
рівнодійної сили, що діють на неї. Добуток M dt називається імпульсом моменту сил. Тому, зміна моменту кількості руху чисельно дорівнює імпульсу прикладеного моменту сил.
Спроектувавши векторне рівняння (4.4.5) на виділену вісь Z обертання одержимо відоме рівняння моментів:
dLz |
M |
z |
= I |
z |
, |
(4.4.6) |
|
||||||
dt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
тобто похідна по часу від моменту імпульсу відносно осі дорівнює моменту сил, що діють на систему відносно цієї осі. Отже, якщо змінюється геометричний розподіл мас в тілі відносно осі обертання, то змінюється момент інерції, а, отже, кутова швидкість.Треба відзначити, що рівняння (4.4.6) справедливе у класичній і релятивіській динаміці.
Інтегруючи рівняння (4.4.5) одержимо, що приріст моменту імпульсу дорівнює інтегралу за часом від моменту діючої сили:
|
|
t |
|
|
Lk L0 |
M dt , |
(4.4.7) |
||
|
|
0 |
|
|
Відзначимо деякі особливості динаміки обертального руху тіла, що пов’язані з моментом імпульсу. Момент імпульсу тіла, який зумовлений його обертанням навколо власної осі, що проходить через центр інерції називається власним моментом імпульсу*). Момент
*) У квантовій механіці він називається спіном Спін квантується, тобто приймає дискретні значення..
імпульсу частинки, що рухається вздовж замкнутої орбіті називається обертальним моментом імпульсу . Зазначимо, що сталість моменту імпульсу не означає сталість кутової швидкості.
§ 4.5. Закон динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі. Кінетична енергія твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі
Рівняння динаміки обертального руху. Для твердого тіла вектор кутової швидкості спрямований
уздовж осі обертання, тому якщо воно обертається навколо осі, то вектор моменту імпульсу буде дорівнювати |
||
|
|
|
L |
I . |
(4.5.1) |
Взявши в цьому рівнянні похідну за часом ,одержимо векторне рівняння динаміки обертання тіла навколо
нерухомої осі Z |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dL |
d |
|
|
|
||||
|
|
I |
|
I M . |
(4.5.2) |
|
|
||
|
dt |
dt |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dp |
||
В динаміці поступального руху аналогічне рівняння мало вигляд |
F . |
||||||||
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Робота механічного моменту та кінетична енергія обертального руху. Обчислимо кінетичну
енергію тіла, що обертається навколо нерухомої осі. Для цього розглянемо обертання тіла під ідєю зовнішньої |
|||||
|
|
|
|
||
сили F на такий малий кут d (рис.4.5.1), щоб залишалась сталою її проекція FS на вектор елементарного |
|||||
|
|
|
|
|
|
переміщення dS . За цих умов на проміжку переміщення виконується елементарна робота |
|||||
A = Fs dS = |
Fsr d M z d , |
(4.5.3) |
|||
де r d - довжина дуги обертання, а M z |
Fs r - момент сили відносно осі. Потужність моменту діючої |
||||
сили дорівнює |
|
|
|
||
|
dA |
|
|
||
|
|
|
M |
. |
(4.5.4) |
dt |
|||||
Згідно із теоремою про зміну кінетичної енергії, елементарна робота дорівнює зміні його кінетичної енергії на величину
31
A dW . |
|
|
(4.5.5) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тоді після інтегрування (4.5.3) в межах від 0 до 2 |
A |
|
M z d = I z |
|
d |
dt = |
I z |
|
d одержимо, |
|||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||
кінетична енергія обертання тіла дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
W |
I |
z |
2 |
. |
|
(4.5.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Порівнюючи цю формулу з відповідною для кінетичної енергії поступального руху W |
m 2 |
|||||||||||||
|
|
приходимо |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до висновку, що момент інерції відіграє в обертальному русі ту ж роль, що маса m в поступальному. Тому, можна зробити висновок про те, що момент інерції дійсно є мірою інерції твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі.
Z |
|
|
|
d dS |
|
||
|
|||
|
|
F |
|
Z |
r |
|
|
|
|
Рис.4.5.1
Отже, якщо вільне тіло здійснює поступально-обертальний рух, то кінетична енергія цього руху буде дорівнювати
W W |
W |
|
1 |
m 2 |
|
1 |
I 2 . |
(4.5.7) |
|
|
|||||||
k |
|
|
2 |
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вираз (4.5.7) відомий як формула Кьоніга. Тут перший доданок – це кінетична енергія руху центра мас.
Розділ V. Закони збереження в механіці §.5.1 Загальна характеристика
Класична механіка користується евклідовим простором і рівномірним перебігом часу. Важливими властивостями простору і часу є їх однорідність і ізотропність. З властивістю однорідності простору внутрішньо пов’язаний закон збереження імпульсу, а з властивістю його ізотропності - закон збереження момента імпульсу. Закон збереження енергії невіддільно зв’язаний з властивістю однорідності часу.
Закони збереження – це фундаментальні закони природи, згідно з якими певна фізична величина ізольованої системи залишається сталою, незважаючі на різноманітні зміни в ній. До цих законів належать:
1.Закон збереження імпульсу. Він відображає еквівалентність усіх точок простору внаслідок його
однорідності. Це означає , що оператор Гамільтона |
|
|
|
|
|
не змінюється під час паралельного |
|
x |
y |
z |
|||||
|
|
|
|
переносу на деякий вектор у просторі.
2. Закон збереження моменту імпульсу. Він відображає ізотропність простору і свідчить про те, що завдяки однорідності простору всі напрямки в ньому еквівалентні, тобто оператор Гамільтона не
змінюється під час повороту системи відліку на деякий кут відносно довільної осі.
3. Закон збереження енергії. Він виражає однорідність часу, тобто рівнозначність усіх його моментів. Сутність цього полягає в тому, що заміна t t без зміни значень координат і швидкостей тіл не змінює механічних властивостей системи.
Всі ці закони збереження виконуються для ізольованої системи, що є наслідком принципу відносності.
32
Своїм походженням фундаментальні закони збереження зумовлені властивостями симетрії природи. Суть цього полягає в тому, що фізичні закони не змінюються, тобто є інваріантними відносно таких перетворень симетрії:
Зсуву початку координат (однорідність простору), оскільки всі точки фізичного простору еквівалентні;
Встановлення початку відліку часу (однорідність часу) і повороту координатних осей (ізотропність простору).
§ 5.1. Закон збереження імпульсу
Як уже відомо, м.т. чи тілу, що мають масу m та рухаються із швидкістю , властивий імпульс
p m . Під час взаємодії з іншими матеріальними тілами цей фізичний стан тіла зазнає зміни, що описується такою теоремою:
Теорема.
Під час руху механічної системи під дією яких завгодно зовнішніх та внутрішніх сил похідна по часу від імпульсу системи матеріальних точок дорівнює головному вектору зовнішніх сил, прикладених до точок системи.
Дійсно, згідно з ІІ -гим законом Ньютона, якщо система
складається з N м.т., то |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
d |
|
N |
|
|
|
N |
K |
|
|
|
|
|
|
mi i |
|
Fi Fi , |
|
(5.1.1) |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
де Fi - зовнішні сили, |
Fi - внутрішні сили. Вираз (5.1.1) у загальному вигляді |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|||||
|
d(m ) |
dp F dt |
або |
|
|
Fi = F .(5.1.2) |
||||||
|
|
dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ще називають теоремою про зміну імпульсу точки. Ліва його частина – це геометрична зміна імпульсу рухомої м.т. або системи точок за безмежно малий проміжок часу dt , а праву частину у механіці ще називають елементарним імпульсом прикладеної з зовні сили. Із (5.1.2) випливає, що елементарний імпульс головного вектора зовнішніх сил характеризує ту кількість руху, яка надходить (від навколишніх тіл) до цієї точки або їх системи за безмежно малий проміжок часу.
Рівність (5.1.2) узагальнює другий закон Ньютона на випадок системи м.т. Цю теорему можна сформулювати аналогічно тому, як Ньютон сформулював свій другий закон:
Зміна кількості руху системи м.т. пропорційна головному вектору зовнішніх сил і відбувається в
напрямку, паралельному цьому вектору. Після інтегрування (5.1.2) одержуємо, що |
||
|
|
|
p Fdt , |
(5.1.3) |
|
тобто:
Зміна імпульсу системи м.т. за деякий проміжок часу дорівнює повному імпульсу головного вектора зовнішніх сил, які діють на точки системи протягом того ж проміжку часу.
Для замкнутої системи*) м.т. чи тіл головний вектор зовнішніх сил дорівнює нулеві
N |
|
|
|
|
|
|
|
Fi 0 , |
|
|
(5.1.4) |
|
|||
i 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
dp |
|
dp |
|
||
тому згідно з основним рівнянням динаміки |
F |
, для неї |
0 і сумарний імпульс з часом залишається |
||||
dt |
dt |
||||||
|
|
|
|
|
|||
сталим |
const . |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
(5.1.5) |
|
|||
Отже, в ізольваній системі проявляються лише взаємодії між окремими її складовими частинками через внутрішні сили та сили
------------
*) Якщо зміна імпульсу тіла визначається тільки зовнішніми силами, то система незамкнута.. ТОму, до неї відносять групу тіл, взаємодіючих не тільки між собою, але і з тими, що не входять до цієї групи тіл.
реакцій внутрішніх в’язей, якщо вони ідеальні. Тому, якщо геометрична сума зовнішніх сил, прикладених
до системи матеріальних точок дорівнює нулеві, то її імпульс з часом зберігається незмінним за величиною і напрямком. Це відомий закон збереження імпульсу для замкнутої системи. Він покладений в
33
основу реактивного руху ракет і космічних апаратів (рівняння Мещерського (3.11.1)). Щоб передсвідчитись в прояві цього закону, досить пригадати ефект віддачі або відкату, що виникає під час пострілу з гвинтівки чи з гармати.
Сформулюємо закон збереження імпульсу для ізольованої системи із двох твердих тіл масами m1 і
m2 , що довільним чином рухаються із швидкостями 1 і 2 , мають точку дотику і зазнають удару.
Зазначимо, що удар – це короткочасна взаємодія тіл при безпосередньому зіткненні їх. При цьому виникають пружні сили, які ведуть до змін швидкостей тіл, до перерозподілу імпульсу та енергії, до деформацій, коливань, нагрівань, руйнувань тощо. Якщо центри мас тіл лежать на лінії удару, то такий удар зветься центральним , а якщо вектори швидкостей спрямовані по паралельних прямих, то ще й прямим.
Характер взаємодії між тілами принципової ролі не відіграє, а важливо щоб виконувався ІІІ-ій закон
Ньютона, тобто щоб мала місце одночасна рівність дій і протидій. |
Тому якщо допустити, що за час дії t |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
сили залишаються незмінними, то за ІІ-им законом Ньютона m |
1 1 |
F |
, m |
|
2 |
|
F |
, за третім |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
t |
12 |
|
|
|
t |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
законом Ньютона F12 |
F21 і справджується рівність |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 1 |
m2 2 |
m1 1 m2 2 . |
(5.1.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тут величини без штрихів описують фізичний стан тіл до взаємодії, а зі штрихами – після акту взаємодії. Вираз (5.1.6) називається законом збереження імпульсу. У записаній формі справджується він для
абсолютно пружного удару. Для абсолютно непружного удару він запишеться так: |
|||
|
|
|
|
m1 1 |
m2 2 |
(m1 m2 )u . |
(5.1.7) |
Отже, після абсолютно непружного удару тіла рухаються в одному напрямку із однаковою швидкістю u .
§ 5.2. Закон збереження моменту імпульсу Закон збереження моменту імпульсу - ще один фундаментальний закон природи. Він стверджує, що
коли повний момент зовнішніх сил дорівнює нулеві або всі моменти зовнішніх сил зрівноважені, або плечі |
|||||||||
моментів сил дорівнюють нулеві, то момент імпульсу замкненої системи з часом не змінюється: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L const . |
|
|
(5.2.1) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
N |
N |
|
Дійсно, оскільки для системи м.т. головний вектор моменту імпульсу L Li |
ri , pi , то |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
продиференціювавши цю рівність із врахуванням моментів зовнішніх і внутрішніх сил, одержуємо, що |
|||||||||
|
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
dLi |
|
|
|
|
||||
|
M i M i . |
(5.2.2) |
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
|
|||||
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тут перший доданок виражає головний вектор моменту зовнішніх, а другий – моменту внутрішніх сил, який
|
|
N |
|
|
дорівнює нулеві M i 0 . |
Тому, якщо на систему матеріальних точок не діють ніякі зовнішні сили, тобто |
|||
|
|
i 1 |
|
|
вона ізольована, то |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dL |
0 , |
|
(5.2.3) |
|
dt |
|
||
|
|
|
|
|
звідки |
|
|
|
|
|
L I const . |
(5.2.4) |
||
Отже, момент імпульсу замкнутої системи не змінюється з часом або при відсутності моменту імпульсу момент кількості руху залишається незмінним. Для системи тіл, він формулюється так:
При відсутності моментів зовнішніх сил, сума векторів моментів імпульсів системи тіл (вектор повного моменту імпульсу), не змінюється з часом. Це фундаментальний закон природи.
Відзначимо такі важливі висновки з цього закону:
1.У замкнутій системі можна змінювати швидкість обертання тіла, змінюючи його момент інерції.
2.Закон (5.2.3) справджується і в незамкненій системі, коли проекція моменту сили на деякий напрям дорівнює нулю; тоді момент імпульсу системи для цього напрямку сталий. Оскільки закон збереження (5.2.3) відображає ізотропність простору , то обертання замкнутої системи тіл без зміни їх конфігурації і відносних швидкостей не змінює їхніх механічних властивостей;
34
3. Закон збереження моменту імпульсу пов’язаний із інваріантністю фізичних законів відносно операції повороту замкнутої системи в просторі на довільний кут. Тому при русі тіла в полі центральної сили її момент дорівнює нулеві, оскільки ця сила діє вздовж прямої, що сполучає тіло з центром її дії.
Прикладом такого руху є обертання супутника вздовж еліптичної орбіті. Земля не передає моменту сили притягання на супутник, тому його момент імпульсу під час руху залишається незмінний і там, де радіус орбіти більший, швидкість супутника менша і навпаки. Це один із відомих законів Кеплера..
Однак, той факт, що у замкнутій системі зміна моменту імпульсу дорівнює нулеві, ще не означає, що ізольоване тіло, яке обертається, завжди повинно мати одну і ту ж кутову швидкість.
Якщо геометричний розподіл маси системи матеріальних точок по відношенню до осі обертання змінюється, то змінюється і момент інерції системи відносно цієї осі, а отже, змінюється і кутова швидкість. Наприклад, планети поблизу Сонця обертаються швидше, ніж ті, що далі від нього.
Закон збереження моменту імпульсу досить наглядно можна продемонструвати на прикладі ковзаняра, що обертається навколо вертикальної осі. Якщо тертям знехтувати, то можна прийняти, що момент зовнішніх сил дорівнює нулеві. Оскільки момент імпульсу системи зберігається, то притискаючи руки до себе ковзаняр зменшує момент інерції і при цьому збільшується кутова швидкість обертання.
Іншим прикладом є гімнаст, що виконує сальто. У початковий момент обертання він згинає коліна до грудей, зменшуючи при цьому свій момент інерції, в результаті чого досягається збільшення кутової швидкості. Завдяки закону збереження імпульсу людині вдається, стоячи на лаві Жуковського, самій її розкрутити, якщо в руках вона тримає обертаюче колесо і переводить вісь обертання із горизнтального положення у вертикальне.
§ 5.3. Закон збереження та перетворення механічної енергії
Нагадаємо, що до механічної енергії відносять потенціальну і кінетичну. Разом вони складають повну механічну енергію фізичного тіла чи системи.
Вприроді виконується закон збереження енергії взагалі, а за певних умов закон збереження механічної енергії. Розкриємо суть цього твердження. Для повної механічної енергії закон її збереження формулюється так:
Вдовільний момент повна механічна енергія ізольованої системи м.т., на які діють лише консервативні сили, не змінюється з часом
W WK Wp const. |
(5.3.1) |
Це означає, що її зміна виражатиметься через повний диференціал dW і розкриває фізичний зміст поняття роботи:
Pобота консервативних сил дорівнює тій механічній енергії, яка перетворюється із одного виду в інший. Якщо система не замкнута, то робота неконсервативних сил дорівнює
A dW |
(5.3.2) |
і повна механічна енергія системи не зберігається з часом. Нагадаємо, що закон збереження механічної енергії є прямим наслідком одної із основних теорем динаміки системи матеріальних точок:
Під час руху механічної системи під впливом яких завгодно зовнішніх і внутрішніх сил зміна кінетичної енергії системи на елементарному переміщенні
дорівнює роботі, виконуваній на тому самому переміщенні всіма зовнішніми і внутрішніми силами системи.
Оскільки кінетична енергія – величина адитивна, то її приріст для системи м.т. складатиметься із суми приростів для окремих точок
m 2 |
|
N |
|
|
i i |
|
F |
d |
2 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
dri . |
|
F |
(5.3.3) |
Тут у правій частині обчислена робота зовнішніх і внутрішніх сил на елементарному проміжку переміщенння dri . Той факт, що і внутрішні сили можуть виконувати роботу, можна підтвердити на прикладі взаємодії двох
електричних зарядів, що притягуються. Завдяки кулонівський силі притягання вони рухаються назутріч один одному і тому кожна з двох прикладених до зарядів внутрішніх сил виконує додатну роботу. Отже, приріст
кінетичної енергії системи м.т. на певному проміжку переміщення дорівнює роботі всіх прикладених до точок системи сил на цьому самому проміжку переміщення.
Закон збереження енергії - це третій фундаментальний закон природи. Він справджується на теренах макро- і мікросвіту. На його основі узагальнюються такі основні висновки:
1.В системі тіл, між якими діють лише консервативні сили, повна механічна енергія зберігається.
2.В системі тіл, між якими діють дисипативні сили, повна механічна енергія не зберігається.
Частина її переходить в іншу форму енергії. Наприклад, в процесі тертя між рухомими тілами частина енергії їх кінетичного руху переходить у внутрішню енергію тіл. Однак сумарна механічна і внутрішня енергія замкнутої системи не змінюється.
35
3.Енергія не зникає нікуди і ні з чого не виникає. Вона лише з однієї форми преретворюється в іншу в еквівалентних кількостях. Цей закон якраз і виражає суть незнищуваності матерії та її руху, як форми її існування.
Наведемо приклад застосування закону збереження та перетворення енергії для випадку взаємодії двох
тіл. Якщо під час їх удару відбувається лише перерозподіл імпульсів p між тілами, то закон збереження кінетичної енергії у цьому випадку запишеться так
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
p1 |
|
|
|
p2 |
|
|
|
p1 |
|
|
|
p2 |
. |
(5.3.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2m1 |
|
|
|
2m2 |
|
|
2m1 |
|
2m2 |
|
|||||||
Параметри без штрихів описують стан системи до удару, а з штрихами – після удару. |
||||||||||||||||||
Якщо ж під час удару частина механічної енергії |
W переходить у інші види енергії, такі як в |
|||||||||||||||||
енергію їх деформації або у теплову, то закон (5.3.3) у випадку двох тіл запишенться так: |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
p1 |
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3.5) |
||||||
|
2m |
|
|
2m |
2 |
|
2(m m |
2 |
) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Це закон збереження для абсолютно непружного удару. Він є прикладом того, як відбувається |
||||||||||||||||||
незворотна втрата механічної енергії системи під час взаємодії тіл. Треба зазначити, що теорію абсолютно пружного удару розробив Гюйгенс. Зокрема він встановив, що при пружному ударі сума добутків мас на
квадрати швидкостей m 2 співударних тіл зберігається. Пізніше Ньютон пов’язав питання про сталість суми m 2 з третім законом динаміки.
Розділ VI. Гармонічні одновимірні механічні коливання і механічні хвилі
§ 6. 1. Загальні положення
Відомо, що добре коливаються пружні тіла: струни, мембрани, підвішені на нитці або пружині вантажі, і тощо.
Коливання (осциляції) - це процеси, які відбуваються з точним або наближеним повторенням у часі відносно положення рівноваги фізичних станів системи. Фізичну систему, яка здійснює такі коливання, називатимемо осцилятором. В цьому розділі мова йтиме про механічний осцилятор, а в розділі XVIII – електромагнітний.
Коливання осцилятора поділяють на вільні і вимушені, власні і затухаючi та автоколивання.
Важливою характеристикою коливань є їх гармонічність.
Коливання характеризують амплітудою, періодом, частотою і фазою. Важливим серед них є так звані динамічні параметри, такі як амплітуда відхилення механічного осцилятора від положення рівноваги.
Простим є коливання синусоїдного (косинусоїдного) характеру, яке називається гармонічним, тому вживаним є термін "гармонічний осцилятор". Він означає пропорційний характер зв’язку відновлюючої сили , що діє на осцилятор, із його положенням відносно стійкої рівноваги.
До простих осциляторних моделей належать:
1.Математичний маятник за умови, коли його коливання здійснюються у межах малого кута відхилення від рівновисного положення, та пружинний маятник, у вигляді металевої кульки, підвішеної до пружини за умови, що амплітуда деформації пружини незначна. В обох випадках обмежуються дослідженням коливань осциляторів у одному вимірі. Тому їх ще називають одновимірними.
3.Електромагнітний LC -контур за умови, що сила струму та напруга в ньому такі малі, що електричні і магнітні властивості реактивних елементів кола мають лінійні вольт - амперні характеристики.
До найбільш характерних ознак гармонічних коливань відносять:
1.Частота (період) коливання не залежить від амплітуди, тобто запасу енергії у коливній системі. 2. Виконується принцип суперпозиції сил у випадку механічного осцилятора, або напруг для
електричного коливного контура.
§ 6.2. Вільні коливання в однорідному полі пружних сил
Розглянемо коливання пружного осцилятора у вигляді матеріальної точки масою m , що закріплена до пружини з лінійною жорсткістю . Це так званий пружинний маятник і належить він до систем із
зосередженими параметрами. Суть останнього полягає в тому, що інерційні властивості осцилятора зосереджені у інертній масі осцилятора, а пружні – в силі зв’язку з положенням рівноваги. Лише в цьому
36
випадку під час коливань забезпечується періодичне взаємо перетворення потенціальної енергії пружного звязку в кінетичну інертності руху осцилятора і навпаки.
Розглянемо коливання пружинного маятника вздовж вертикальної осі Y . На нього, крім пружної сили, ще діє сила тяжіння. Обидві сили позиційні, тобто визначаються положенням кульки в силовому полі. Хоч ці
сили непотенціальні і нестаціонарні, оскільки залежать від часу та зміщення, однак для незначних амплітуд,
силу тяжіння P можна вважати сталою. Це дозволяє початок системи відліку змістити у положення стійкої
рівноваги і , згідно із другим законом Ньютона, закон руху сформулювати у такому вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ma y |
|
|
|
|
|
|
|
(6.2.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
звідки диференціальне рівняння руху запишеться так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
d 2 y |
|
|
|
y 0 |
або |
d 2 y |
2 y , |
|
(6.2.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
dt 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
де |
|
|
|
|
|
|
- циклічна частота вільних коливань. Важливо, що вона, а, отже і період коливань T |
2 |
, не |
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
залежить від амплітуди, а лише від інертної маси m і пружності зв’язку . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Частота 0 має одне значення, тобто вільне коливання характеризується одною власною частотою |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(модою), |
тому кажуть, що такий осцилятор має одну ступінь вільності і його ще називають одномодовим. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Загальний розв’язок рівняння (6.2.2) задовольняє принципу суперпозиції і має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y(t) Asin 0t B cos 0t , |
|
(6.2.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
в якому сталі інтегрування A та B визначаються за початковими умовами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Бачимо, що при довільних початкових умовах закон зміни амплітуди y(t) завжди залишається |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
гармонічним, тобто коливання осцилятора відбуватимуться з однією і тією ж частотою, хоча із різними |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
амплітудами та із різними фазами. Дійсно, наприклад, якщо в початковий момент t 0 осцилятор був |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
виведений із положення стійкої рівноваги і перебував там у спокої, тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y0 , |
|
|
t 0 |
0 |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
t 0 |
|
|
(6.2.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
то A 0, B y0 |
і в подальшому осцилятор буде коливатись гармонічно за косинусоїдним законом |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(рис.6.2.1,а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y y0 cos 0t . |
|
|
|
|
|
|
|
(6.2.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
В кожну мить амплітуда осцилятора відстає за фазою на |
від швидкості |
dy |
y |
|
|
sin |
|
t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dt |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 cos 0t |
|
|
|
|
, та на |
від прискорення a |
|
0 0 sin |
0t |
|
= a0 cos 0t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0.1 25 |
|
|
|
1.0 05 |
|
1 |
|
0.1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) |
|
|
|
p(t) |
|
|
|
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
m 0 y0 |
1 |
0 |
1 |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 25 |
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 05 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
5 |
|
1.0 05 |
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
1.0 05 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
а |
|
|
|
|
б |
|
Рис.6.2.1
Функції y, , a з часом змінюються так, що різниця фаз між ними залишається сталою. Тому незмінним залишається зсув фаз між мірою руху осцилятора p m , мірою дії на нього сили наслідком – координати зміщення y . Саме цим забезпечується періодичний процес перетворення потенціальної енергії в кінетичну і навпаки, про що пересвідчимось в подальшому.
37
§ 6.3. Затухаючі вільні коливання
На практиці важливе значення мають затухаючі коливання, оскільки опір коливному рухові осцилятора у більшості випадків присутній завжди. Вплив дисипативних процесів на характер коливання найпростіше дослідити, коли допустити, що осцилятор рухається в рідині або в газі з не досить великою швидкістю. В цьому разі дисипативна сила, якою є сила опору, пропорційна швидкості руху осцилятора
|
F 2 m , |
(6.3.1) |
||
де |
|
, - коефіцієнт пропорційності, а - коефіцієнт затухання. Сила опору спрямована завжди проти |
||
2m |
||||
|
|
|
||
напряму руху, що відображено знаком мінус у формулі (6.3.1), тому 0 . Сила опору призводть до зменшення
повної механічної енергії осцилятора, тому вона неконсервативна.
За наявності опору рухові диференціальне рівняння коливань затухаючого осцилятора запишеться так:
|
d 2 y |
2 |
dy |
|
2 y . |
(6.3.2) |
||
|
|
|
||||||
|
dt2 |
|
|
dt |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
Якщо 0 і незначне, то коливання й надалі залищаються |
||||||||
гармонічними, однак із зміненою циклічною частотою |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 2 . |
|
(6.3.3) |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Це зумовлено тим, що опір (6.3.1) не змінює лінійності рівняння (6.3.2) і його розв’язок можна виразити через добуток експоненти та гармонічної функції:
y( ,t) exp t ( A1 cos t A2 sin t) (6.3.4)
Тут сталі інтегрування визначаються так само, як і для незаючого осцилятора. Наприклад, якщо в початковий момент
|
t 0, y y0 |
, 0 |
dy |
|t 0 0 , |
(6.3.5) |
||||||
dt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то підставивши їх в (6.3.4) і визначивши першу похідну |
|
||||||||||
|
dy |
exp t A sin t A cos t |
(6.3.6) |
||||||||
|
|
||||||||||
|
dt |
|
|
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
exp t A1 sin t A2 cos t |
|
|||||||||
одержимо сталі інтегрування |
|
|
|
||||||||
|
A y |
|
, A |
|
0 y0 |
. |
(6.3.7) |
||||
|
0 |
|
|||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тому загальний розв’язок рівняння (6.3.2) за умов (6.3.5) матиме вигляд
|
|
cos t |
0 y0 |
|
. (6.3.8) |
||
y( ,t) exp t y |
0 |
|
|
|
sin t |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язок (6.3.8) має осциляторний характер за умови 0 ,
(рис.6.3.1), хоч, насправді, відома умова періодичності для консервативного осцилятора
виконується, але задовольняється періодичність повторення нулів функції F( y) 2
y(t T ) y(t) і не
dydt 02 y . Тому для
затухаючого осцилятора із законом опору (6.3.1) всеодно можна ввести так званий умовний період, як
T |
2 |
|
2 |
. |
(6.3.9) |
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
Визначений такимч ином період насправді не дорівнює тому періоду, який визначений як час, через який осцилятор періодично перебуватиме у положенні із тим же значенням амплітуди відхилення, та в одному і тому ж напрямку від положення рівноваги.
Як бачимо із рис.6.3.1, для лінійного осцилятора обвідною діаграми коливань амплітуди y(t) є
експоненційна функція y0 ( ,t) y0 exp( t) . Тому фазовий портрет їх матиме вигляд спіралі.
Такі коливання зручно характеризувати відношенням двох послідовних амплітуд відхилення осцилятора від рівновисного положення в одну і ту ж сторону:
38
D |
y0,n |
exp T exp |
y |
, |
(6.3.10) |
y0,n 1 |
|
|
|||
|
|
|
|||
де y 2 . Величина D називається декрементом загасання коливань. Взявши від нього натуральний |
|||||
|
|
|
|
|
|
логарифм, одержимо так званий логарифмічний декремент затухання. |
|||||
Інформативним для характеристики загасних коливань є час , протягом якого амплітуда коливань |
|||||
зменшується в e (основа натурального логарифму) разів. Цей час називається часом релаксації. |
|||||
0.1 |
|
|
|
|
|
y(t) |
|
|
|
|
|
y0 exp t |
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
|
10 |
|
|
Рис.6.3.1 |
|
||
Кількість коливань Ne за час дорівнює відношенню до періоду T затухаючих коливань Ne . |
|||||
|
|
|
|
|
T |
Оскільки 1 |
, то |
y 1 . |
|
|
|
|
|
Ne |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
Рис.6.3.2 |
|
||
Якщо 0 |
, то коливання аперіодичні*) і їх напрямок |
||||
------------------------- |
|
|
|
||
*)Аперіодичні системи – це такі системи, в яких через великі втрати енергії не можуть виникати |
|||||
власні коливання. Період аперіодичного коливання набуває нескінченного значення. |
|||||
змінюється лише один раз. "Критичний” випадок 0 |
має важливе практичне застосування в |
||||
електровимірювальних приладах, наприклад, у балістичних гальванометрах для повернення стрілки у стан |
|||||
рівноваги після акту вимірювання та швидкого встановлення стрілки на належну поділку шкали при |
|||||
вимірюваннях. |
|
|
|
|
|
§ 6.4. |
Енергетичні закономірності затухаючих коливань |
||||
Введемо функцію Q( , t) , що описує зменшення повної механічної енергії осцилятором в процесі |
|||||
затухаючих коливань. Якщо в початковий момент він мав енергію W0 , то в довільний момент вона дорівнює |
|||||
W ( ,t) WK ( ,t) Wp ( ,t) = W0 Q( , t) . |
|
(6.4.1) |
Обчислимо роботу, яку виконують дисипативні сили. Для цього рівняння (6.3.16) домножимо з обох |
||
сторін на елементарне зміщення dy осцилятора за час dt : |
d |
dy 2 dy 2 ydy , після чого його |
|
||
|
dt |
0 |
|
|
|
перепишемо як
39
|
|
|
2 |
2 |
dy 2 |
|
|
|
|
||||
d 0 y dy |
|
|
dt . |
|
|
(6.4.2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||
Після інтегрування (6.4.2) одержимо рівняння балансу енергій (перший інтеграл) загасаючого |
|||||||||||||
одновимірного осцилятора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m 2 ( , t) |
|
m 02 y 2 ( ,t) |
W0 |
|
t |
dy |
2 |
Q( , t) . (6.4.3) |
|||||
2 |
|
2 |
|
2 m |
|
|
dt W0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
dt |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут Q( , t) - це так звана пасивна функція Релея. |
Наприклад, якщо в початковий момент t 0 осцилятор |
||||||||||||
був відхилений з положення рівноваги |
y t0 y0 |
і не мав швидкості t0 0 , то втрата енергії |
|||||||||||
осцилятором в процесі коливань описуватиметься функцією |
|
||||||||||||
Q( ,t) my 2 2e2 t |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
cos 2 t |
sin 2 t , |
||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4.4) |
|
графік якої приведений на рис.6.4.1. |
|
|
|
|
|
||||||||
Бачимо, що функція Релея є обвідною зміни в часі кінетичної і потенціальної енергій. Причому |
|||||||||||||
дисипативні втрати корелюють із тією ділянкою коливного процесу, для якої енергія осцилятора запасена у |
|||||||||||||
|
0.05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wk t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Wp t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.6.4.1 |
|
|
|
|
|||
вигляді кінетичної. |
Тому обвідна Q( , t) не плавна, а має ступінчатий характер. Її зміна найбільша в околі, |
||||||||||||
коли осцилятор проходить через стан рівноваги з найбільшою швидкістю. |
|||||||||||||
§ 6.5. Вимушені коливання осцилятора із зосередженими параметрами
Спершу розглянемо вимушені одновимірні коливання осцилятора під дією зовнішньої гармонічної
сили F ( , t) F0ei t з циклічною частотою та амплітудою F0 у середовищі без опору. За умови, що й
надалі справджується принцип суперпозиції вважатимемо, що коливання, викликані різними силами, незалежні і загальна сила “пружності плюс зовнішня” збудить коливання з амплітудою
|
y( , t) y1(t) y2 ( , t) . |
(6.5.1) |
||
Тут перший доданок описує вільні коливання, тому функція |
||||
|
y1(t) A1 cos 0t A2 sin 0t |
(6.5.2) |
||
є розв’язком однорідного рівняння |
|
|||
|
d 2 y (t) |
2 y (t) 0 . |
|
|
|
1 |
(6.5.3) |
||
|
|
|||
|
dt2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Другий доданок в (6.5.1) описує вимушені коливання осцилятора. Тому функція y2 (t) є частковим розв’язком неоднорідного рівняння
40